任意角的三角函數(shù)（第一課時(shí)）【學(xué)習(xí)者分析】在初中學(xué)生學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)。因此本課的內(nèi)容對于學(xué)生來說，有比較厚實(shí)的基礎(chǔ)，新課的引入會比較容易和順暢。學(xué)生要面對的新的學(xué)習(xí)問題是，角的概念推廣了，原先學(xué)生所熟悉的銳角三角函數(shù)的定義是否也可以推廣到任意角呢？通過這個(gè)問題，讓學(xué)生體會到新知識的發(fā)生是可能的，自然的。【教學(xué)目標(biāo)】1知識與技能目標(biāo)：理解任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義（包括定義域、正負(fù)符號判斷）；2過程與方法目標(biāo)：通過從銳角三角函數(shù)定義過度到任意角三角函數(shù)定義的推廣過程，體驗(yàn)三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程.領(lǐng)悟直角坐標(biāo)系的工具功能，豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn).3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生通過現(xiàn)象看本質(zhì)的唯物主義認(rèn)識論觀點(diǎn)，滲透事物相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義世界觀.培養(yǎng)學(xué)生求真務(wù)實(shí)、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.【教學(xué)重點(diǎn)】任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義、定義域、（正負(fù)）符號判斷法.【教學(xué)難點(diǎn)】把三角函數(shù)理解為以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).【教學(xué)方法】教學(xué)中注意用新課程理念處理傳統(tǒng)教材，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不僅要接受、記憶、模仿和練習(xí)，而且要自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程.根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容、高一學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和我自己的教學(xué)風(fēng)格，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方法組織教學(xué).【教學(xué)關(guān)鍵】如何想到建立直角坐標(biāo)系；三個(gè)比值的確定性（α確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著α的變化而變化）.【教學(xué)手段】計(jì)算機(jī)、投影儀．【教學(xué)過程】【回憶與探索】（情景1）OMP435師：上課，同學(xué)們好，相信剛剛?cè)呛瘮?shù)版的小蘋果應(yīng)該把同學(xué)們中午的困意都趕跑了，那接下來我們在來個(gè)熱身活動，看OMP435學(xué)生1：師：回答非常好，那你得出這個(gè)結(jié)果的依據(jù)是：生：三角函數(shù)定義？師：這三個(gè)三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？學(xué)生口述教師書寫對對邊鄰邊αsinα=，conα=，tanα=（圖1）（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)概念，現(xiàn)在學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)展）.溫故知新，要讓學(xué)生體會知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知狀況開始，對銳角三角函數(shù)的復(fù)習(xí)就必不可少.）（情景2）師：我們已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，任意角是在直角坐標(biāo)系下研究的，那么剛這個(gè)角能否放到直角坐標(biāo)系下，怎么放？生：銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊落在第一象限師：非常好，那我們一起把他拖過去（演示課件），那么這時(shí)P點(diǎn)為終邊上一點(diǎn)，坐標(biāo)為（3,4），P距O點(diǎn)距離為5，剛才的三角函數(shù)時(shí)恰好用了終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)來表示。這給我們表達(dá)銳角三角函數(shù)提供了新思路。師：當(dāng)我們把一個(gè)銳角放入直角坐標(biāo)系后，如果P點(diǎn)為終邊上任意一點(diǎn)，那三個(gè)三角函數(shù)值可以表示為？請同學(xué)完成學(xué)練稿問題1，（學(xué)生回答，教師板書，畫出直角坐標(biāo)系及角的終邊上任意一點(diǎn)，觀察學(xué)生回答情況，進(jìn)行引導(dǎo)，由學(xué)生給出定義）生：（坐標(biāo)化）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，那么它的終邊在第一象限．在的終邊上任取一點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），它與原點(diǎn)的距離．過作軸的垂線，垂足為，則線段的長度為X，線段的長度為y．則：師;回答的非常棒。初中銳角三角定義在直角三角形中我們認(rèn)定為“直角三角形版定義”，那么剛剛這個(gè)定義就可稱之為“直角坐標(biāo)系版”看到這個(gè)定義啊讓人激動不已啊，這個(gè)定義好?。空l來說說這個(gè)版本定義好在那里？生：用坐標(biāo)師：好,這是革命性的突破啊，我們打破了三角函數(shù)的束縛，角終邊上的點(diǎn)開始翻身做主了，還有一個(gè)關(guān)鍵這個(gè)坐標(biāo)P是任意的對嗎？意思是不是P點(diǎn)不論在哪都可以？生：是的師：問題來了，對于確定的角，P點(diǎn)變了，比值會不會改變？話句話說這三個(gè)比值是否會隨點(diǎn)在的終邊上的位置的改變而改變呢？為什么？追問：銳角α大小發(fā)生變化時(shí)，比值會改變嗎？（先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時(shí)作好解釋說明：保持r不變，讓P繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)即α在銳角范圍內(nèi)變化，三個(gè)比值隨之變化的直觀形象。結(jié)論是：比值隨α的變化而變化.xOxO·MPy（圖3）P′M′α探索發(fā)現(xiàn)：對于銳角α的每一個(gè)確定值，三個(gè)比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.得出結(jié)論(強(qiáng)調(diào))：當(dāng)α為銳角時(shí)，三個(gè)比值隨α的變化而變化；但對于銳角α的每一個(gè)確定值，三個(gè)比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.）（情景3）師：看來影響函數(shù)值變化的是角，而不是點(diǎn)P位置，那么P點(diǎn)在什么位置時(shí)可以讓定義更簡潔？（引導(dǎo)：我們注意到比值是個(gè)分?jǐn)?shù)……）生：r=1（設(shè)計(jì)意圖：引入單位圓。深化對單位圓作用的認(rèn)識，用數(shù)學(xué)的簡潔美引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究，為定義的拓展奠定基礎(chǔ)。該問題與問題1結(jié)合，分步推進(jìn)，降低難度，基本尊重教材的處理方式。）預(yù)計(jì)的困難：由于學(xué)生第一次接觸單位圓，對它所能起的作用不了解，所以需要教師的引導(dǎo)。也可以引導(dǎo)學(xué)生從形式上對上述定義化簡，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結(jié)合起來。根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角，三個(gè)比值不以點(diǎn)P在的終邊上的位置的改變而改變大小．我們可以將點(diǎn)P取在使線段的長的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)：單位圓：在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)為圓心，以單位長度為半徑的圓稱為單位圓．師：上述P點(diǎn)就是的終邊與單位圓的交點(diǎn)，銳角的三角函數(shù)可以用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示．這個(gè)升級版定義是的定義表達(dá)式更加簡潔，這也是我們數(shù)學(xué)一直追求的，隨著后面學(xué)習(xí)，大家就會感受到這個(gè)定義絕不僅僅是簡潔。（情景4）推廣到任意角：以上三個(gè)版本我們定義的都是銳角，我們角的概念推廣之后范圍是范圍是全體實(shí)數(shù)R，那銳角范圍之外的教的三角函數(shù)該如何表示，比如1500角，“直角三角形版本”定義還能行嗎？那我們觀察一下升級版可以嗎？升級版不需要直角三角形（演示課件，隨著角的變化，引導(dǎo)學(xué)生分析，終邊有，交點(diǎn)就有，坐標(biāo)有，三角函數(shù)值就有，此外觀察各象限三角函數(shù)值的正負(fù)變化，最終認(rèn)可這個(gè)定義可以推廣到任意角。）（設(shè)計(jì)意圖：具體認(rèn)識任意角的三角函數(shù)，突現(xiàn)本課時(shí)的研究重點(diǎn)。如果問題太一般化，如設(shè)計(jì)為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請寫出任意角的三角函數(shù)的定義。那么學(xué)生不知道“上述定義”是指哪個(gè)，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設(shè)計(jì)中再次強(qiáng)調(diào)要借助于單位圓，利用坐標(biāo)，限定學(xué)生的思維，以免太發(fā)散。）結(jié)論：如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么：A(1,0)_OPA(1,0)_OP(x,y)yx（2）叫做的余弦(cosine)，記做，即；（3）叫做的正切(tangent)，記做，即．師：在上述三角函數(shù)定義中，自變量是什么？對應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn)，函數(shù)值是什么？（設(shè)計(jì)意圖：通過這樣的活動強(qiáng)化學(xué)生對任意角三角函數(shù)定義的理解，達(dá)到對概念的初步精致。）預(yù)計(jì)的困難：學(xué)生對三角函數(shù)的自變量認(rèn)識可能會存在問題。教師的引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦的值域。預(yù)計(jì)的答案：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x,y）。說明：（1）當(dāng)時(shí)，的終邊在軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于，所以無意義，除此情況外，對于確定的值，上述三個(gè)值都是唯一確定的實(shí)數(shù)．（2）當(dāng)是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同；當(dāng)不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)?，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值．（3）正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將這種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)．【展示與點(diǎn)撥】例1：求的正弦、余弦和正切值（設(shè)計(jì)意圖：鞏固對定義的理解。）口算：下列三角函數(shù)值分析：根據(jù)定義求解，先利用銳角三角函數(shù)知識求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)定義求解。探究問題:請把三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號標(biāo)出：（）+（）（）（）（）（）（）x（）（）x（）（）x發(fā)現(xiàn)：_____________________________________________________。三角函數(shù)的定義告訴我們，各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，取決于x，y的符號，當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí)，縱坐標(biāo)y>0，點(diǎn)P在第三、四象限時(shí)，縱坐標(biāo)y<0，所以正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的，對于第三、四象限角是負(fù)的(可制作課件展示);同樣地，余弦函數(shù)在第一、四象限是正的，在第二、三象限是負(fù)的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的，在第二、四象限是負(fù)的．從而完成上面探究問題．即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．（設(shè)計(jì)意圖：判斷三角函數(shù)值的正負(fù)符號，是本章教材的一項(xiàng)重要的知識、技能要求.要引導(dǎo)學(xué)生抓住定義、數(shù)形結(jié)合判斷和記憶三角函數(shù)值的正負(fù)符號，并總結(jié)出形象的識記口訣，這也是理解和記憶的關(guān)鍵.）例2、不求值。你能判斷下列三角函數(shù)值的符號嗎？（1）；（2）；（3）【課堂小結(jié)】下課后，你走出教室，如果有人問你：“過去你就學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，今天又學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？（設(shè)計(jì)意圖：通過問題小結(jié)．不追求面面俱到，突出銳角三角函數(shù)是三角形中，邊長的比值，而任意角的三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，或者是坐標(biāo)的比值．）若時(shí)間允許，再問：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數(shù)相等；各象限三角函數(shù)的符號；任意角三角函數(shù)的定義域，等．拓展1：3個(gè)數(shù)可以形成6個(gè)比值，為什么只