第08講相似三角形的性質(zhì)（知識清單+6大題型+好題必刷）題型匯聚題型匯聚題型一利用相似三角形的性質(zhì)求解題型二證明三角形的對應(yīng)線段成比例題型三相似三角形——動點問題題型四相似三角形的判定與性質(zhì)綜合題型五相似三角形的綜合問題題型六重心的有關(guān)性質(zhì)知識清單知識清單知識點1．相似三角形的性質(zhì)相似三角形的定義：如果兩個三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似．（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．（2）相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．知識點2．相似三角形的判定與性質(zhì)（1）相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應(yīng)邊的比相等和對應(yīng)角相等兩方面下定義；反過來，兩個三角形相似也有對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應(yīng)有的條件方可．知識點3．相似三角形的應(yīng)用（1）利用影長測量物體的高度．①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度．（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）．①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．（3）借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．知識點4．作圖相似變換（1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到．（2）相似圖形的作圖在沒有明確規(guī)定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進行簡單的相似變換作圖．如圖所示：（3）如果題目有條件限制，可根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù)．比較簡單的是把原三角形的三邊對應(yīng)的縮小或放大一定的比例即可得到對應(yīng)的相似圖形．知識點5．射影定理（1）射影定理：①直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項．②每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．（2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：①AD2＝BD?DC；②AB2＝BD?BC；AC2＝CD?BC．題型練習(xí)題型練習(xí)【題型一】利用相似三角形的性質(zhì)求解A． B． C． D．【答案】C【知識點】利用相似三角形的性質(zhì)求解【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意可得相似比，再根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比得出答案．故選：C．【舉一反三】1．（2425九年級上·安徽安慶·階段練習(xí)）小明同學(xué)拿一個放大鏡將三角形的一條邊由原圖中的放大變成了，則放大后的三角形的面積是原圖中三角形面積的（

）A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．9倍【答案】C【知識點】利用相似三角形的性質(zhì)求解【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可解答．【詳解】解：∵拿一個放大鏡將三角形的一條邊由原圖中的放大變成了，∴放大后的三角形的面積是原圖中三角形面積的4倍，故選：C．【答案】【知識點】利用相似三角形的性質(zhì)求解【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形周長的比等于相似比，根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比，解答即可．故答案為：．【知識點】比例的性質(zhì)、利用相似三角形的性質(zhì)求解【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及比例的性質(zhì)，熟記相關(guān)結(jié)論即可．【題型二】證明三角形的對應(yīng)線段成比例【例2】（2324九年級上·安徽滁州·期中）若兩個相似三角形的對應(yīng)中線之比為，則它們的對應(yīng)高之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】證明三角形的對應(yīng)線段成比例【分析】本題考查了相似三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)邊包括角平分線、中線、高以及邊長和周長等，據(jù)此作答即可．【詳解】解：依題意，因為兩個相似三角形的對應(yīng)中線之比為，所以它們的對應(yīng)高之比為，故選：A．【舉一反三】【答案】C【知識點】證明三角形的對應(yīng)線段成比例【分析】先證明△BAD∽△BCA，則利用相似的性質(zhì)得AB：BC=BD：AB，然后根據(jù)比例性質(zhì)得到AB2=BC?BD．【詳解】∵∠BAD=∠C，而∠ABD=∠CBA，∴△BAD∽△BCA，∴AB:BC=BD:AB，∴AB2=BC?BD.故選C.【點睛】本題考查三角形中線段的比列關(guān)系，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用射影定理.

【答案】/【知識點】證明三角形的對應(yīng)線段成比例故答案為：．

【答案】．【知識點】相似三角形的判定綜合、證明三角形的對應(yīng)線段成比例【分析】利用相似三角形的性質(zhì)和判定即可求解．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定及其應(yīng)用．【題型三】相似三角形——動點問題

A． B． C．或 D．或【答案】C【知識點】相似三角形——動點問題【分析】根據(jù)題意，可知分兩種情況，然后根據(jù)題目中的條件，利用三角形相似，可以求得的長，從而可以解答本題．【詳解】解：由題意可得，由上可得，的長為或，故選：C．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換，利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答是解答本題的關(guān)鍵．【舉一反三】A．或 B．C． D．或【答案】D【知識點】相似三角形——動點問題∴當(dāng)以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是1.5秒或2.4秒，故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．【答案】【知識點】相似三角形——動點問題【分析】先證△CRQ為等邊三角形，并用含t的式子表示圖中的相關(guān)線段，由QR∥BA推得∠QPR=∠APR，從而△PRQ中再有一個角等于∠A，即等于60°，即可得△APR∽△PRQ．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即可．【點睛】本題屬于動點問題與相似三角形的綜合問題，用含t的代數(shù)式表示相關(guān)線段，并找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題難度較大．【答案】經(jīng)過2.4秒或者經(jīng)過秒后兩個三角形都相似【知識點】相似三角形——動點問題【分析】此題考查了相似三角形的判定與勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．所以，經(jīng)過2.4秒或者經(jīng)過秒后兩個三角形都相似．【題型四】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【答案】C【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合故選：C．【舉一反三】【答案】C【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、等邊對等角【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．∵，故選：C；（1）的長為．【答案】912【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，理解并掌握相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．故答案為：9；故答案為：12．【答案】(1)見解析(2)【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法及靈活應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【題型五】相似三角形的綜合問題【例5】（安徽馬鞍山·二模）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊AD上一點，過點E作EF⊥BC，垂足為點F，將△BEF繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在邊BC上的點N處，點F落在邊DC上的點M處，若點M恰好是邊CD的中點，那么的值是（

）【答案】D【知識點】相似三角形的綜合問題詳解：如圖，將△BEF繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到△EMN，∴BE=EN，EM=EF，MN=BF，∵EF⊥BC，∴BF=FN，∴BF=FN=NM，∵EF⊥BC，∴四邊形EFCD是矩形，∴EF=CD，∵點M恰好是邊DC的中點，設(shè)CN=x，∴BF=FN=NM=2x，∴BC=5x，故選D.點睛：考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，題目難度較大，得出BF=FN=NM，是解題的關(guān)鍵.【舉一反三】1．如圖，在?ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，若EF：AF=2：5，則S△DEF：S四邊形EFBC為（）A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35【答案】C【知識點】相似三角形的綜合問題【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可證明△DEF∽△BAF，可求得△DEF和△AFE、△ABF的面積之間的關(guān)系，從而可求得△DEF和△BCD的面積之間的關(guān)系，可求得答案．【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴S△ABD=S△DBC=S，∴S四邊形EFBC=S△BDCS△DEF=SS=S，∴S△DEF：S四邊形EFBC=4：31．故選：C．2．（安徽蚌埠·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．翻折∠C，使點C落在斜邊上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）．若△CEF與△ABC相似，則AD的長為．【答案】或【知識點】相似三角形的綜合問題詳解：若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：若CE:CF=3:4，如圖1所示：∵CE:CF=AC:BC，∴EF∥AB.由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高，若CF:CE=3:4，如圖2所示：∵△CEF∽△CBA，∴∠CEF=∠B.∴∠A=∠ECD，∴AD=CD.同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，∴D點為AB的中點，綜上所述，AD的長為或故答案為或點睛：考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.（1）求證：△GAD∽△EAB；（2）猜想GD與BE之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）請連接DE，BG，若AB=6，AE=3，求DE2+BG2的值．【答案】（1）證明見解析；（2）GD⊥BE，理由見解析；（3）125【知識點】相似三角形的綜合問題（2）設(shè)QE與AG相交于點M，根據(jù)△GAD∽△EAB可得到∠AGD=∠AEB，又因為∠QMG=∠AME，得到∠GQE=∠GAE，進而證得GD⊥BE；【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD與AEFG為矩形，∴∠DAB=∠EAG=90°，∴∠DAG=∠EAB，∴△GAD∽△EAB；（2）GD⊥BE，理由如下：如圖，設(shè)QE與AG相交于點M，∵△GAD∽△EAB；∴∠AGD=∠AEB，又∵∠QMG=∠AME，∴∠GQE=∠GAE，又∵∠GAE=90°，∴∠GQE=90°，∴GD⊥BE；（3）如圖，連接BD和EG，∵GD⊥BE，∴AD=8，AG=4，【點睛】本題考查三角形的相關(guān)性質(zhì)及勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是綜合運用相關(guān)知識．【題型六】重心的有關(guān)性質(zhì)A．3 B．6 C．2 D．4【答案】B【知識點】重心的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的重心，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．所以點到邊的距離是6．故答案為∶B．【舉一反三】1．（2023·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）下列說法中正確的是（

）①等邊三角形三條高的交點就是它的重心；②三角形的重心到一邊的距離等于這邊上中線長的三分之一；③三角形的重心到一邊中點的距離等于這邊上中線長的三分之一；④三角形的重心到一邊的距離等于這邊上高的三分之一A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【知識點】重心的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)分別判斷，利用相似三角形的判定和性質(zhì)判斷相應(yīng)推論．【詳解】解：①等邊三角形三條高的交點既是它的垂心，也是重心，故正確；③三角形的重心到一邊中點的距離等于這邊上中線長的三分之一，故正確；如圖，O為重心，過點O和點A分別作的垂線，垂足為E，F(xiàn)，即三角形的重心到一邊的距離等于這邊上高的三分之一，故②錯誤，④正確；故選A．【點睛】本題考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．【答案】【知識點】重心的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．熟練掌握中線，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．故答案為：．3．閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的重心．【答案】(1)(2)是，(3)是，12【知識點】重心的有關(guān)性質(zhì)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合（2）根據(jù)（1）的證明可求解；【詳解】（1）解：連接，如圖一，

，為，邊上的中點，故答案為：；定值為12．【點睛】本題是一道相似形綜合題目，主要考查的是三角形重心的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．好題必刷好題必刷一、單選題1．若△ABC∽△A′B′C′，且相似比為2∶3，則對應(yīng)邊上的高的比等于(

)A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．9∶4【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分析判斷即可.【詳解】∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比為2∶3，∴△ABC和△A′B′C′對應(yīng)邊上的高的比為2：3.故選A.【點睛】熟知“相似三角形的性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)邊上的高之比等于相似比”是解答本題的關(guān)鍵.【答案】C故答案為C.【點睛】此題主要考查相似三角形相似比的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.3．若△ABC∽△DEF，相似比為1：2，且△ABC的面積為2，則△DEF的面積為（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】B所以S△DEF=4×2=8．故選B．點睛：相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例解答即可．【詳解】△ABC∽△DEF，故：A．∠A＝∠D正確，故本選項錯誤；B．∠B=∠E正確，故本選項錯誤；C．AB＝DE不一定成立，故本選項正確；故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，作出圖形更形象直觀．5．在△ABC中，三條邊的長分別為2、3、4，△A′B′C′的兩邊長分別為1、1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三邊長應(yīng)該是(

)A．2 B． C．4 D．2【答案】A故選A.A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】A【詳解】有三種不同的截法：故選A．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．2:3【答案】B【分析】根據(jù)BD=2AD，求出AD：AB的值，在根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得DE：BC，最后再根據(jù)面積之比即可求解．【詳解】解：∵BD=2AD，∴AD：AB=1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=1：3．∵△DBE和△EBC的高相同，設(shè)這個高為h，故選B．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，找準(zhǔn)對應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．8．如圖，一束光線從y軸的點A（0，2）出發(fā)，經(jīng)過x軸上的點C反射后經(jīng)過點B（6，6），則光線從點A到點B所經(jīng)過的路程是（）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】A【分析】過B點作x軸的垂線與X軸相交于點D，由已知條件可以得到△OAC∽△DBC，從而得到OA與BD、OC與CD、AC與BC的關(guān)系，然后求的A點到B點所經(jīng)過的路程為AC+BC【詳解】過B點作x軸的垂線與x軸相交于點D，則BD⊥CD，∵A點經(jīng)過點C反射后經(jīng)過B點，∴∠OCA=∠DCB，又∵BD⊥CD，AO⊥OC，∴△OAC∽△DBC，∵OA=2，BD=6，∵OD=OC+CD=6∴OC=6×=1.5．BC=2.5×3=7.5，AC+BC=2.5+7.5=10.故選A．【點睛】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①④⑤【答案】C【分析】①由正方形證明OC=OD，∠ODF=∠OCE=45°，∠=∠DOF，可得結(jié)論；②由全等三角形得OE=OF，得∠OEG=∠FCG=45°，再利用對頂角相等，證得△OGE∽△FGC；③先證明S△COE=S△DOF，可得S四邊形CEOF=S△OCD=S正方形ABCD；④證明△OEG∽△OCE，得OG?OC=OE2，再證明BE2+DF2=EF2，由EF＞OE，可得結(jié)論；⑤由CH=OH，則點H在OC的垂直平分線上，可得點H的軌跡是PQ，通過證明△CPQ∽△CDB，可求PQ=2，即可得結(jié)論．【詳解】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴OC=OD，AC⊥BD，∠ODF=∠OCE=45°，∵∠MON=90°，∴∠=∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正確；②∵△COE≌△DOF，∴OE=OF，∵∠MON=90°，∴∠OEG=45°=∠FCG，∵∠OGE=∠FGC，∴△OGE∽△FGC，故②正確；③∵△COE≌△DOF，∴S△COE=S△DOF，∴S四邊形CEOF=S△OCD=S正方形ABCD，故③正確；④∵△COE≌△DOF，∴OE=OF，又∵∠EOF=90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠OEG=45°=∠OCE，∵∠EOG=∠COE，∴△OEG∽△OCE，∴OE：OC=OG：OE，∴OG?OC=OE2，∵CE=DF，BC=CD，∴BE=CF，又∵Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，∴BE2+DF2=EF2，∵EF2＞OE2，∴BE2+DF2＞OG?OC，故④錯誤；⑤如圖，連接OH，CH，作OC的垂直平分線交BC于Q，交CD于點P，∵△EOF是等腰直角三角形，點H是EF的中點，∴OH=EF，∵∠BCD=90°，點H是EF的中點，∴CH=EF，∴CH=OH，∴點H在OC的垂直平分線上，∴點H的軌跡是PQ，∵正方形ABCD的邊長為2，∴BD=4，∵PQ⊥AC，BD⊥AC，∴PQ∥BD，∴△CPQ∽△CDB，∴PQ=BD=2，∴H點經(jīng)過的路程為2，故⑤錯誤，故選：C．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的綜合運用．靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．10．如圖，已知D、E、F分別是等邊△ABC的邊AB、BC、AC上的點，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，則下列結(jié)論不成立的是（）A．△DEF是等邊三角形B．△ADF≌△BED≌△CFEC．DE=ABD．S△ABC=3S△DEF【答案】C【分析】求出∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，求出∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，推出DF=DE=EF，即可得出等邊三角形DEF，根據(jù)全等三角形性質(zhì)推出三個三角形全等即可．求出AB=3BE，DE=BE，即可判斷選項C．根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可判斷選項D．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠B=∠C=∠A=60°，∵DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，∴∠DEB=∠EFC=∠FDA=90°，∴∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=180°﹣90°﹣30°=60°，∴DF=DE=EF，∴△DEF是等邊三角形，在△ADF、△BED、△CFE中∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴AD=BE=CF，∵∠DEB=90°，∠BDE=30°，∴BD=2BE，DE=BE，∴AB=3BE，即DE=AB，即DE=AB錯誤；∵△ABC和△DEF是等邊三角形，∴△ABC∽△DEF，∴S△ABC：S△DEF=（AB）2：（DE）2=（DE）2：DE2=3，即只有選項C錯誤；選項A、B、D正確．故選C．【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握判定定理和性質(zhì)是關(guān)鍵.二、填空題【答案】相似∴△ADE∽△ACB．（兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似）故答案為相似．12．如圖，△ABC中，DE∥BC，AE：EB=2：3，則△AED的面積與四邊形DEBC的面積之比為．【答案】4：21【詳解】解：∵AE：EB=2：3，∴AE：AB=2：5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴△AED的面積與四邊形DEBC的面積之比=4：21，故答案為4：21．13．如圖，在△ABC中，AC＝BC，在邊AB上截取AD＝AC，連接CD，若點D恰好是線段AB的一個分割點，則∠A的度數(shù)是．【答案】36°/36度【分析】根據(jù)分割的定義得到AD2＝BD?AB，而AD＝AC＝BC，則BC2＝BD?AB，根據(jù)相似三角形的判定得△BCD∽△BAC，則∠A＝∠BCD，設(shè)∠A＝x，則∠B＝x，∠BCD＝x，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ADC＝∠BCD+∠B＝2x，所以∠ACD＝∠ADC＝2x，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到x+2x+x+x＝180°，再解方程即可．【詳解】解：∵點D是線段AB的一個分割點，∴AD2＝BD?AB，∵AD＝AC＝BC，∴BC2＝BD?AB，即BC：BD＝AB：BC，而∠ABC＝∠CBD，∴△BCD∽△BAC，∴∠A＝∠BCD，設(shè)∠A＝x，則∠B＝x，∠BCD＝x，∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝2x，而AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝2x，∴x+2x+x+x＝180°，解得x＝36°．故答案為：36°．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)分割點得出比例式，證明三角形相似．

【答案】．

故答案為：．【點睛】此題考查的是三角形的面積和相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握三角形的面積和反比例函數(shù)的比例系數(shù)的關(guān)系和相似三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．三、解答題15．如圖，A、B、C三點均在邊長為1的小正方形網(wǎng)格的格點上．(1)請在BC上標(biāo)出點D，連接AD，使得△ABD∽△CBA；(2)試證明上述結(jié)論：△ABD∽△CBA．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的定義作圖即可．（2）借助勾股定理求出AB的長度，根據(jù)相似三角形的判定定理證明．【詳解】（1）如圖，點D是所求作的點，∵∠DBA＝∠ABC，∴△ABD∽△CBA．【點睛】本題考查相似三角形的判定、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是熟悉相似三角形的判定定理．16．如圖，兩個四邊形相似，求未知邊x、y的長度及角α的大?。敬鸢浮縳=24，y=28，α=75°【分析】已知題意，想到根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，從而正確解答此題．【詳解】∵兩個四邊形相似，∴20：5=x：6=y：7，解得：x=24，y=28，∵四邊形內(nèi)角和等于360°，∴x=24，y=28，α=75°