奧數(shù)題庫答案及過程高中

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)2.若復數(shù)\(z=1+2i\)，則\(\vertz\vert\)等于（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(5\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(3\)3.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，則公差\(d\)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)4.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)5.曲線\(y=x^3\)在點\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)6.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(3\)人參加活動，至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有（）種A.\(46\)B.\(56\)C.\(64\)D.\(72\)7.若\(\log_2x=3\)，則\(x\)的值為（）A.\(8\)B.\(6\)C.\(4\)D.\(2\)8.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的離心率是（）A.\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{2}\)9.已知\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\)，則\(\sin\alpha\)的值為（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(1\)10.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=e^x\)2.已知直線\(l_1:ax+y+1=0\)，\(l_2:x+ay+1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，則\(a\)的值可能為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)3.以下哪些是等比數(shù)列的性質(zhì)（）A.\(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}(n\gt1)\)B.\(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}\)成等比數(shù)列C.\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q(m+n=p+q)\)D.\(a_n=a_1q^{n-1}\)4.下列說法正確的是（）A.空間中，垂直于同一條直線的兩條直線平行B.直線\(l\)與平面\(\alpha\)內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則\(l\perp\alpha\)C.平面\(\alpha\)與平面\(\beta\)平行，直線\(a\subset\alpha\)，則\(a\parallel\beta\)D.兩個平面平行，它們的法向量平行5.對于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c(a\neq0)\)，以下說法正確的是（）A.當\(a\gt0\)時，函數(shù)圖象開口向上B.對稱軸為\(x=-\frac{2a}\)C.頂點坐標為\((-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)D.當\(\Delta=b^2-4ac\lt0\)時，函數(shù)與\(x\)軸無交點6.已知\(a,b\inR\)，且\(a+b=4\)，則（）A.\(ab\leqslant4\)B.\(a^2+b^2\geqslant8\)C.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant1\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leqslant2\sqrt{2}\)7.以下哪些是雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的性質(zhì)（）A.漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)B.離心率\(e\gt1\)C.實軸長為\(2a\)D.焦點在\(y\)軸上8.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則（）A.\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)B.\(\tan\alpha=-\frac{3}{4}\)C.\(\sin2\alpha=-\frac{24}{25}\)D.\(\cos2\alpha=\frac{7}{25}\)9.下列積分值正確的是（）A.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)B.\(\int_{-1}^{1}xdx=0\)C.\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2\)D.\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=1\)10.從\(1,2,3,4,5\)中任取\(3\)個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)是偶數(shù)的情況有（）A.個位是\(2\)時，有\(zhòng)(A_{4}^2\)種B.個位是\(4\)時，有\(zhòng)(A_{4}^2\)種C.共\(24\)種D.共\(30\)種三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）2.向量\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)。（）3.函數(shù)\(y=\log_ax(a\gt0,a\neq1)\)在\((0,+\infty)\)上一定是增函數(shù)。（）4.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2+1\)，則\(a_n=2n-1\)。（）5.空間中，一條直線與一個平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則這條直線與該平面垂直。（）6.若\(z_1,z_2\)為復數(shù)，\(\vertz_1+z_2\vert=\vertz_1\vert+\vertz_2\vert\)。（）7.橢圓的離心率越大，橢圓越圓。（）8.函數(shù)\(y=\sinx\)的圖象向左平移\(\frac{\pi}{2}\)個單位得到\(y=\cosx\)的圖象。（）9.對于命題\(p\)和\(q\)，若\(p\landq\)為假命題，則\(p\)，\(q\)都為假命題。（）10.二項式\((a+b)^n\)展開式的通項公式為\(T_{r+1}=C_{n}^ra^{n-r}b^r\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的最值。答案：對函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)配方得\(y=(x-2)^2-1\)。因為\((x-2)^2\geqslant0\)，所以當\(x=2\)時，\(y\)有最小值\(-1\)，無最大值。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求\(a_n\)的通項公式。答案：設公差為\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，即\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)。則\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：直線\(2x-y+1=0\)斜率為\(2\)，所求直線與之平行，斜率也為\(2\)。由點斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)，可得\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。4.計算\(\int_{0}^{2}(x^2+1)dx\)。答案：根據(jù)積分公式\(\int(x^2+1)dx=\frac{1}{3}x^3+x+C\)，\(\int_{0}^{2}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{2}=(\frac{8}{3}+2)-0=\frac{14}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調(diào)性。答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(y_1-y_2=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減；同理在\((-\infty,0)\)上也單調(diào)遞減。2.探討在立體幾何中，如何判斷兩個平面平行。答案：可以用判定定理，一個平面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行；也可用垂直關系判斷，若兩個平面垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行。3.分析在解析幾何中，橢圓、雙曲線、拋物線的定義及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。答案：橢圓是到兩定點距離和為定值的點的軌跡；雙曲線是到兩定點距離差的絕對值為定值的點的軌跡；拋物線是到一定點和定直線距離相等的點的軌跡。聯(lián)系是都屬于圓錐曲線，區(qū)別在于定義中的條件不同，導致圖形和性質(zhì)有差異。4.說說在數(shù)列問題中，求通項公式和前\(n\)項和的常見方法。答案：求通項公式常見方法有：公式法、累加法、累乘法、構造法等；求前\(n\)項和常見方法有：公式法、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法等，具體根據(jù)數(shù)列特點選擇合適方法。答案一、單項選