/2024-2025學(xué)年度三明市高一第二學(xué)期高中數(shù)學(xué)期末預(yù)測(cè)卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）1.平面∥平面，，則直線和的位置關(guān)系（）A.平行 B.平行或異面 C.平行或相交 D.平行或相交或異面【答案】B【解析】【分析】利用平面∥平面，可得平面與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，根據(jù)，可得直線，沒(méi)有公共點(diǎn)，即可得到結(jié)論．【詳解】∵平面平面，∴平面與平面沒(méi)有公共點(diǎn)∵，，∴直線，沒(méi)有公共點(diǎn)∴直線，的位置關(guān)系是平行或異面，故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可求解.【詳解】解析因?yàn)?，所以?故選：B3.下列命題中，正確是（）A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.垂直于同一直線的兩條直線平行C.若直線與平面上的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則D.若a、b、c是三條直線，且與c都相交，則直線a、b、c在同一平面上【答案】D【解析】【分析】利用空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系直接判斷.【詳解】A.不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；B.由墻角模型，顯然B錯(cuò)誤；C.根據(jù)線面垂直的判定定理，若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直，若直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行直線垂直，則直線與平面不一定垂直，故C錯(cuò)誤；D.因?yàn)?，所以確定唯一一個(gè)平面，又與都相交，故直線共面，故D正確；故選：D.4.甲、乙兩個(gè)氣象站同時(shí)作氣象預(yù)報(bào)，如果甲站、乙站預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率分別為和，那么在一次預(yù)報(bào)中兩站恰有一次準(zhǔn)確預(yù)報(bào)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)榧?、乙兩個(gè)氣象站同時(shí)作氣象預(yù)報(bào)，甲站、乙站預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率分別為和，

所以在一次預(yù)報(bào)中兩站恰有一次準(zhǔn)確預(yù)報(bào)的概率為：.故選：D．5.已知三棱錐的高為1，底面為等邊三角形，，且P，A，B，C都在體積為的球O的表面上，則該三棱錐的底面的邊長(zhǎng)為（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】利用球的體積公式求出球的半徑，畫(huà)出圖形，設(shè)點(diǎn)為的外心，則平面．求解．通過(guò)求解三角形推出即可．【詳解】設(shè)球的半徑為，由球的體積為可得，，解得．因?yàn)槿忮F的高為1，所以球心在三棱錐外．如圖，設(shè)點(diǎn)為的外心，則平面．在△中，由，且，得．因?yàn)闉榈冗吶切危?，所以．故選：．6.新冠肺炎疫情的發(fā)生，我國(guó)的三大產(chǎn)業(yè)均受到不同程度的影響，其中第三產(chǎn)業(yè)中的各個(gè)行業(yè)都面臨著很大的營(yíng)收壓力.2020年7月國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布了我國(guó)上半年國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，如圖所示：圖1為國(guó)內(nèi)三大產(chǎn)業(yè)比重，圖2為第三產(chǎn)業(yè)中各行業(yè)比重.以下關(guān)于我國(guó)上半年經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的說(shuō)法正確的是（）A.第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值與第三產(chǎn)業(yè)中“租賃和商務(wù)服務(wù)業(yè)”的生產(chǎn)總值基本持平B.第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值超過(guò)第三產(chǎn)業(yè)中“房地產(chǎn)業(yè)”的生產(chǎn)總值C.若“住宿餐飲業(yè)”生產(chǎn)總值為7500億元，則“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為32500億元D.若“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為41040億元，則第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為166500億元【答案】D【解析】【分析】利用扇形統(tǒng)計(jì)圖和第三產(chǎn)業(yè)中各行業(yè)比重統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)即可求解.【詳解】對(duì)于A，57%×6%=3.42%<6%，錯(cuò)誤；對(duì)于B，57%×13%=7.41%>6%，錯(cuò)誤；對(duì)于C，（億），錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)題意，第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為億元，正確.故選：D.7.在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)余弦定理和的面積公式，結(jié)合題意求出、的值，再用表示，求出的取值范圍，即可求出的取值范圍．【詳解】解：中，由余弦定理得，，且的面積為，由，得，化簡(jiǎn)得；又，，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（不合題意，舍去）；因?yàn)樗裕?，由，且，，解得，所以，所以，所以；設(shè)，其中，所以，又，所以時(shí)，取得最大值為，時(shí)，，時(shí)，，且，所以，即的取值范圍是．故選：．8.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，滿足，，為球O的直徑且，則點(diǎn)P到底面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】球心O是的中點(diǎn)，球半徑，取AB的中點(diǎn)D，可知，求得,利用勾股定理證得，利用線面垂直的判定定理證得平面，進(jìn)而求得點(diǎn)P到底面的距離【詳解】∵三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，為球O的直徑且，∴球心O是的中點(diǎn)，球半徑，取AB的中點(diǎn)D，連接OD，OB，則，且∵滿足，，∴，∴又，平面，平面所以點(diǎn)P到底面的距離為,故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，關(guān)鍵是分析出球心O到平面ABC的距離，利用線面垂直的判定定理證得平面，求出OD即可求出點(diǎn)到底面的距離.二、多選題（本大題共4小題，共20分）9.某市12月17日至21日期間空氣質(zhì)量呈現(xiàn)重度及以上污染水平,經(jīng)市政府批準(zhǔn),該市啟動(dòng)了空氣重污染紅色預(yù)警,期間實(shí)行機(jī)動(dòng)車“單雙號(hào)”限行等措施.某報(bào)社會(huì)調(diào)查中心聯(lián)合問(wèn)卷網(wǎng),對(duì)2400人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到如下餅圖則下列結(jié)論正確的是（）A.“不支持”部分所占的比例大約是整體的;B.“一般”部分所占的人數(shù)估計(jì)是800人;C.餅圖中如果圓的半徑為2,則“非常支持”部分扇形的面積是;D.“支持”部分所占的人數(shù)估計(jì)是1100人【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)支持是，約占總體的一半，所以圓的面積是，依次進(jìn)行判斷即可。【詳解】A選項(xiàng)：“不支持”部分所占，所以比例大約是整體的，正確。B選項(xiàng)：“一般”部分所占比例為，所以占的人數(shù)估計(jì)是人，不正確；C選項(xiàng)：“非常支持”部分占比例，所以面積是，正確；D選項(xiàng)：“支持”部分所占比例，共有，正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】此題考查餅圖在實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用，注意各部分所占比重，屬于簡(jiǎn)單題目。10.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為若,則角的大小是A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案.【詳解】由正弦定理可得,,而,,,故或.故選:BD.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)正弦定理求解三角形內(nèi)角,解題關(guān)鍵是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判斷,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中等題.11.如圖，已知正方體，分別為和的中點(diǎn)，則下列四種說(shuō)法中正確的是（）A.B.C.與所成的角為D.與為異面直線【答案】BCD【解析】【分析】由異面直線定義可知AD正誤；證得平面后，利用線面垂直性質(zhì)可知B正確；由可知所求角為，由長(zhǎng)度關(guān)系可得，知C正確.【詳解】對(duì)于A，平面，，，平面，與是異面直線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，平面，平面，又平面，，B正確；對(duì)于C，，即為異面直線與所成的角，，為等邊三角形，，C正確；對(duì)于D，，平面，，平面，與為異面直線，D正確.故選：BCD.12.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，E為線段的中點(diǎn)，，其中，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.時(shí)，B.時(shí)，的最小值為C.時(shí)，三棱錐的體積為定值D.時(shí)，直線與面的交點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABC【解析】【分析】取為的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，得到點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，證得和，證得平面，可判定A正確；取得，連接，得到當(dāng)時(shí)，得到點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，沿將平面旋轉(zhuǎn)到與平面重合，可判定B正確；取的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，得到點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合，可判定C正確；連接，交于點(diǎn)和點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，得到點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，證得平面，得到平面平面，求得的長(zhǎng)度，可判定D不正確.【詳解】由題意，正方體的棱長(zhǎng)為1，E為線段的中點(diǎn)，且，其中，對(duì)于A中，取分別為的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，如圖（1）所示，在正方形中，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，可得，又由平面，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以A正確.對(duì)于B中，在上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使得，連接，當(dāng)當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，在直角中，，可得，如圖（2）所示，沿將平面旋轉(zhuǎn)到與平面重合，得到平面，連接，則，即的最小值為，所以B正確.對(duì)于C中，如圖（3）所示，取的中點(diǎn)，分別連接，當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，由且平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，又由的面積為定值，所以（定值），所以C正確.對(duì)于D中，如圖（4）所示，連接，交于點(diǎn)和點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榍移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，由與相似，且相似比為，所以，即直線與面的交點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為，所以D不正確.綜上可得，選項(xiàng)正確的是ABC.故答案為：ABC.三、填空題（本大題共4題，共20.0分）13.張衡（78年~139年）是中國(guó)東漢時(shí)期杰出的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家、發(fā)明家、地理學(xué)家、文學(xué)家，他的數(shù)學(xué)著作有《算罔論》.張衡給立方體定名為質(zhì)，給球體定名為渾.他研究過(guò)球的外切立方體體積和內(nèi)接立方體體積，研究過(guò)球的體積，其中還定圓周率值為10的開(kāi)平方，直到五百多年后，印度和阿拉伯的數(shù)學(xué)家才得出這個(gè)數(shù)值.現(xiàn)有棱長(zhǎng)為的正方體，利用張衡的結(jié)論可得該正方體的內(nèi)切球的體積為_(kāi)_____.【答案】3600【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，內(nèi)切球的半徑為r，由a=2r，求得半徑，再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，內(nèi)切球的半徑為r，則a=2r，因?yàn)閍=，所以，又，所以球的體積為，故答案為：360014.已知，，、的夾角為，則在方向上的數(shù)量投影為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】直接按照投影的概念進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由已知得，在方向上的數(shù)量投影為因?yàn)?，，、的夾角為，所以所以在方向上的數(shù)量投影為故答案為：215若，且，則___________.【答案】400【解析】【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)化，可求得，同理轉(zhuǎn)化即可求值.【詳解】，又，∴，而，∴，則.故答案為：16.四面體中，，，，且異面直線和所成的角為，若四面體的外接球半徑為，則四面體的體積的最大值為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】過(guò)B作，由題設(shè)知四邊形為矩形且面，根據(jù)外接圓圓心與四面體外接球球心以及的關(guān)系即可求外接圓半徑，利用余弦定理求，并得到()，而四面體的體積，結(jié)合基本不等式即可求體積最大值.【詳解】四面體中，，，異面直線和所成的角為，可得如下示意圖：過(guò)B點(diǎn)作且，連接，則有且面，如下圖，若為外接圓圓心，則可找到外接球圓心，為BC的中點(diǎn)，即，外接球半徑為，∴四邊形為矩形，，∴在平面中有，可得，令，則四面體的體積，而由余弦定理知：，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1、由已知線線垂直關(guān)系，可知線面垂直：面，以及面面垂直：面面；2、由上述垂直關(guān)系，結(jié)合外接圓圓心，即可根據(jù)在四面體外接球半徑求得外接圓半徑；3、在中利用余弦定理得到，以及另兩邊a，b與的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用體積公式用a，b表示四面體的體積，結(jié)合基本不等式求最值.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.已知復(fù)數(shù)，求．【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，因此?18.2020年“雙十一”購(gòu)物節(jié)之后，某網(wǎng)站對(duì)購(gòu)物超過(guò)1000元的20000名購(gòu)物者進(jìn)行年齡調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表：分組編號(hào)年齡分組購(gòu)物人數(shù)15500245003430005（1）從這20000名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取1人，求該購(gòu)物者的年齡不低于50歲的概率；（2）從年齡在的購(gòu)物者中用分層抽樣的方法抽取7人進(jìn)一步做調(diào)查問(wèn)卷，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取2人中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的2人中年齡在，內(nèi)各有一人的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）根據(jù)參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)確定的值，進(jìn)而求得購(gòu)物者的年齡不低于50歲的概率；（2）年齡在的購(gòu)物者中用分層抽樣的方法抽取7人，則年齡在的應(yīng)抽取4人，年齡在的應(yīng)抽取3人，利用古典概型，確定中獎(jiǎng)的2人中年齡在，內(nèi)各有一人的概率.【詳解】（1）因?yàn)閰⑴c調(diào)查的總?cè)藬?shù)為20000人，由表中數(shù)據(jù)可得，解得，所以從這20000名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取1人，該購(gòu)物者的年齡不低于50歲的概率為.（2）由（1）知，這20000名購(gòu)物者中，年齡在的有3000人，年齡在的有4000人，從年齡在的購(gòu)物者中用分層抽樣的方法抽取7人，則年齡在的應(yīng)抽取4人，用，，，表示，年齡在的應(yīng)抽取3人，用，，表示.在這7人中隨機(jī)取出2人中獎(jiǎng)的所有可能情況有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種情況，其中中獎(jiǎng)的2人中在，內(nèi)各有一人有：，，，，，，，，，，，，共12種情況，所以所求的概率為.【點(diǎn)睛】有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹(shù)狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.19.在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，且．（1）求角C的大?。唬?）若，且a＋b＝3，求△ABC的面積．【答案】（1）60°；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，進(jìn)而可求得，即可解出C；（2）由余弦定理可得ab＝1，結(jié)合三角形面積公式代入計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)镃是銳角，故.【小問(wèn)2詳解】由余弦定理，得，所以，又因?yàn)閍＋b＝3，所以ab＝1，則．20.的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．已知．（1）求角C的大小；（2）若，求的值．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】(1)將等式化簡(jiǎn)，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角；(2)利用正弦定