第3講統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的分析

［考情分析］高考對本講內(nèi)容的考查往往以實際問題為背景，考查隨機抽樣與用樣本估計總

體、經(jīng)驗回歸方程的求解與運用、獨立性檢驗問題，常與概率綜合考查，中等難度.

考點一統(tǒng)計圖表、數(shù)字特征

【核心提煉】

頻率頻率

1.頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標之差表示組距，縱坐標表示77請，頻率=組距乂了百.

組距組距

2.在頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.

3.利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù).

（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標即眾數(shù).

（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和相等.

（3）平均數(shù)是頻率分布直方里的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小

長方形底邊中點的橫坐標之和.

例1（1）（多選）（2023?海南模擬）為了向社會輸送優(yōu)秀畢業(yè)生，中等職業(yè)學校越來越重視學生的

實際操作（簡稱實操）能力的培養(yǎng).中職生小王在對口工廠完成實操產(chǎn)品100件，質(zhì)檢人員測

量其質(zhì)量（單位：克），將所得數(shù)據(jù)分成5組：［95,97）,［97,99）,［99,101）,［101,103）,［103,105］.根

據(jù)所得數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中質(zhì)量在［99,101）內(nèi)的為優(yōu)等品.對于這100

件產(chǎn)品，下列說法正確的是（）

A.質(zhì)顯的平均數(shù)為99.7克（同一區(qū)間的平均數(shù)用區(qū)間中點值代替）

B.優(yōu)等品有45件

C.質(zhì)量的眾數(shù)在區(qū)間［98』00）內(nèi)

D.質(zhì)量的中位數(shù)在區(qū)間［99,101）內(nèi)

答案ABD

解析對于選項A,質(zhì)量的平均數(shù)為(96X0.025+98X0.15+100X0.225+102X0.075+

104X0.025)X2—987(克)，選項A正確；

對于選項B,優(yōu)等品有0.225X2X100=45（件），選項B正確；

對于選項C,質(zhì)量的眾數(shù)不一定落在區(qū)間［98,100）內(nèi)，所以選項C錯誤；

對于選項D,質(zhì)量在［99,101）內(nèi)的有45件,質(zhì)量在［101,103）內(nèi)的有15件，質(zhì)量在［103,105］

內(nèi)的有5件，所以質(zhì)量的中位數(shù)一定落在區(qū)間［99,101）內(nèi)，所以選項D正確.

（2）（多選）（2023?新高考全國【）有一組樣本數(shù)據(jù)xi，X2，…，工6，其中41是最小值，工6是最大值,

則（）

A.A2，X3，X4，XS的平均數(shù)等于Xl，X2，…，X6的平均數(shù)

B.X2，%3，心，怒的中位數(shù)等于沏，X2，…，46的中位數(shù)

C.必，工3，X4，X5的標準差不小于即，力，…，X6的標準差

D.X2，X3，X4，X5的極差不大于Xl，X2>…，北的極差

答案BD

解析取X］=l,12=月=必=工5=2,、6=9,

則X2,為，工4,X5的平均數(shù)等于2,標準差為0,為，及，…，工6的平均數(shù)等于3,標準差為、住

二增故A,C均不正確；

根據(jù)中位數(shù)的定義，將為，也，…，X6按從小到大的順序進行排列，中位數(shù)是中間兩個數(shù)的

算術平均數(shù)，由于X］是最小值，X6是最大值，故工2，X3，工4,工5的中位數(shù)是將X2，%3，14，&

按從小到大的順序排列后中間兩個數(shù)的算術平均數(shù)，與XI,X2,…，X6的中位數(shù)相等，故B

正確；

根據(jù)極差的定義，知X2,A3,X4,刖的極差不大于X|,X2，…，死的極差，故D正確.

易錯提醒（1）對于給出的統(tǒng)計圖表，一定要結(jié)合問題背景理解圖表意義.

（2）頻率分布直方圖中縱坐標不要誤以為是頻率.

跟蹤演練1（1）（多選）（2023?鹽城模擬）隨機抽取6位影迷對某電影的評分，得到一組樣本數(shù)據(jù)

如卜：92,93,95,95,97,98,則下列關于該樣本的說法中正確的有（）

A.平均數(shù)為95B.極差為6

C.方差為26D.第80百分位數(shù)為97

答案ABD

「上皿”f必亞，、?92+93+95+95+97+98-,

解析由t題意得92,93,95,95,97,98的平均數(shù)為-----------------------=95,A正確；

極差為98—92=6,B正確；

I

方差為升(92—95)2+(93—95)2+(95—95)2+(95—95)2+(97—95)2+(98—95)2]=彳，C錯誤;

由于80%X6=4.8,故第80百分位數(shù)為第5個數(shù)，即97,D正確.

（2）（2023?葫蘆島模擬）游戲?qū)η嗌倌甑挠绊懢薮?某市青少年健康管理委員會對該市下學年度

青少年上網(wǎng)打游戲的情況進行統(tǒng)計，作出如圖所示的人數(shù)變化走勢圖.

35000

3()(XX)

25(XM)

20(XM)

15000

1()(MM)

5(MM)

0

根據(jù)該走勢圖，下列結(jié)論正確的是()

A.這半年中，青少年上網(wǎng)打游戲的人數(shù)呈周期性變化

B.這半年中，青少年上網(wǎng)打游戲的人數(shù)不斷減少

C.從青少年上網(wǎng)打游戲的人數(shù)來看，10月份的方差小于11月份的方差

D.從青少年上網(wǎng)打游戲的人數(shù)來看，12月份的平均數(shù)大于1月份的平均數(shù)

答案D

解析對于A,由走勢圖可得，青少年上網(wǎng)打游戲的人數(shù)沒有周期性變換，故A錯誤；

對于B,由走勢圖可知B縉誤；

對于C』0月份波動較大，方差大，11月波動較小，方差小，故10月份的方差大于11月份

的方差，故C錯誤；

對于D,由走勢圖可得，12月份的平均數(shù)大于1月份的平均數(shù)，故D正確.

考點二回歸分析

【核心提煉】

求經(jīng)臉回歸方程的步臊

(1)依據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系(有時可省略).

AA

(2)計算出x,y,a,b.

(3)寫出經(jīng)臉回歸方程.

例2(2023?唐山模擬)據(jù)統(tǒng)計，某城市居民年收入(所有居民在一年內(nèi)收入的總和，單位：億

元)與某類商品銷售額(單位：億元)的10年數(shù)據(jù)如下表所示：

第〃年12345678910

居民年收入X32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0

商品銷售額y25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0

依據(jù)表格數(shù)據(jù)，得到下面一些統(tǒng)計量的值.

101010_10―10__

2

ZrZ（為-X）2Z（y/~y）z（苞一X>8—y）

t=lr=lr=li=lr=l

379.6391246.904568.9m

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到樣本相關系數(shù)產(chǎn)文).95.以此推斷，丁與％的線性相關程度是否很強？

⑵根據(jù)統(tǒng)計量的值與樣本相關系數(shù)個0.95,建立)，關于)的經(jīng)驗回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；

(3)根據(jù)(2)的經(jīng)驗回歸方程.計算第I個樣本點(32225.0)對應的殘差(精確到0.01)：并判斷若

剔除這個樣本點再進行回口分析，?的值將變大還是變小？(不必說明理由，直接判斷即可).

E(3-x)t>7-y)

尸1

附：樣本相關系數(shù)r=---/----/,42.30421.518,

'Z(Xi~~丫弋￡8一下)2

n__

z(XLK)()Ly)

A尸IAA__

b=------------,a=y-bx.

Z(為一x)2

1=1

解(1)根據(jù)樣本相關系數(shù)「g0.95,可以推斷)，與x的線性相關程度很強.

io__

Z(為一X心一)，)

1=1

(2)由r=--/--]，0.95及

/io_/10_

A/￡(Xi-x)2A/￡⑴-y)2

10__

z(Xj-x)(y—y)

/10-

A/S(yi-y>

==R2.304,

雄尸?

A_____

所以匕?R2.3O4=0.95X1.518^1.442,

又因為工=37.96,7=39.1,

A__A__A

所以〃=y—bx%—15.64,所以y關于上的經(jīng)驗回歸方程為y=1.44x—15.64.

(3)第一個樣本點(32.2,25.0)的殘差為25.0—(1.44X32.2—15.64)=—5.728比一5.73,

由于該點在經(jīng)驗回歸直線的左下方，故將其剔除后，i的值將變小.

易錯提醒(1)樣本點不一定在經(jīng)驗回歸直線上，但點(：，亍)一定在經(jīng)驗回歸直線上.

(2)求,時，靈活選擇公式，注意公式的推導和記憶.

(3)利用樣本相關系數(shù)判斷相關性強弱時，看用的大小，而不是「的大小.

(4)區(qū)分樣本相關系數(shù)，?與決定系數(shù)R2.

(5)通過經(jīng)驗回歸方程求的都是估計值，而不是真實值.

跟蹤演練2(2023?雅安模擬)2023年5月17日，318?川藏線零公里自駕游大本營旅游推介暨

“547我要騎”雅安站活動在雨城區(qū)拉開帷幕，318?川藏線零公里自駕游大本營再次成為關

注焦點.318?川藏線零公里自駕游大本營項目以“此生必駕318,首站打卡在雅安”，“世界

第三極，雅安零公里”的交旅IP為文化指引，利用雅安交通區(qū)位和品牌資源優(yōu)勢，創(chuàng)新打造

吸引力體驗項FI，提高雅安川藏游的話語權和影響力.近段時間某騎行愛好者在專業(yè)人士指

導下對騎行情況進行了統(tǒng)計，各次騎行期間的身體綜合指標評分x與對應用時)，(單位：小時)

如表：

身體綜合指標評分(外12345

用時(W小時)9.58.67.876.1

(1)由上表數(shù)據(jù)看出，可.用線性回歸模型擬合)，與x的關系，請用樣本相關系數(shù)加以說明;

⑵建立關于x的經(jīng)驗回歸方程.

Z（為一x）（57-y）2（為一x）（>,；-y）

參考數(shù)據(jù)和參考公式：樣本相關系數(shù)廠=/b

A/E（方-x）2E（yi-y）2￡（為-x>

\J/=?tf

5—1+2+3+4+5

解(1)x==3,

9.5+8.6+7.8+7+6.I

—7.8,

)'='5

X(x-x)2=(l-3)2+(2-3)24-(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,

5一

Z(yi-y)2=(9.5-7.8)24-(8.6-7.8)2+(7.8-7.8)2+(7-7.8)24-(6.1-7.8)2=7.06.

5__

E8一%)(>7-y)=-8.4,

5__

z{Xi-X)(?—y)

22

f(A7-T)i(37-7)

一8.4

=i2—1.

[10X7.06

樣本相關系數(shù)近似為-1,說明y與x負相關，且相關程度相當高，從而可用線性回歸模型擬

合)，與x的關系.

(2)由(1)中數(shù)據(jù),

5__

Zx)()Ly)

/=,-8.4

得Q

Iu-T)2

a=y~bx=7.8—(一0.84X3)=10.32,

???)，關于x的經(jīng)驗回歸方程為)=-0.84x+l0.32.

考點三獨立性檢驗

【核心提煉】

獨立性檢驗的一般步驟

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列2X2列聯(lián)表.

n(ad-bc￥

(2)根據(jù)公式三=,計算戶的值.

(a+〃)(c?十d)(a十c)(b+d)

(3)查表比較z2與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計判斷.z2越大，對應假設事件Ho成立(兩類變量

相互獨立)的概率越小，兒不成立的概率越大.

例3我國綜合性太陽探測專用衛(wèi)星“夸父一號”是中國科學院空間科學二期先導專項研制

的一顆空間科學衛(wèi)星，衛(wèi)星以“一磁兩暴”為科學目標，即同時觀測太陽磁場和太陽.上兩

類最劇烈的爆發(fā)現(xiàn)象——耀斑和日冕物質(zhì)拋射.某學校為了解該校某興趣小組對“夸父一

號”探測衛(wèi)星相關知識是否感興趣，對該興趣小組的l(X)位學生進行了問卷調(diào)查，已知被調(diào)

查學生中男生占調(diào)查人數(shù)的55%,其中感興趣的有45人，余下的不感興趣，在被調(diào)查的女

生中，感興趣的有20人，其余人不感興趣.

(1)請補充完整2X2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.()05的獨立性檢驗，能否認為對“夸父一

號”探測衛(wèi)星相關知識感興趣與學生的性別有關聯(lián)？

感興趣不感興趣合計

男生

女生

合計

⑵從興趣小組100人中任選1人，4表示事件“選到的人是男生”，B表示事件“選到的人

對‘夸父一號’探測衛(wèi)星相關知識不感興趣”，求P(8|A)；

(3)按隨機抽樣的方法從感興趣的學生中抽取4名男生和3名女生，組成一個容量為7的樣本,

再從抽取的7人中隨機抽取3人,隨機變量X表示3人中女生的人數(shù)，求X的分布列和均值.

附：參考公式：/=(〃+頌;胃胃c)s+〃)，其中〃="+"+(?+”

臨界值表：

a0.150.100.050.010.005

Xa2.0722.7063.8416.6357.879

解(1)補充2X2列聯(lián)表如下:

感興趣不感興趣合計

男生451055

女生202545

合計6535100

零假設為：對“夸父一號”探測衛(wèi)星相關知識感興趣與學生的性別無關聯(lián),

,100X(45X25—20X10)2於6900

K=65X35X45X55=9009215.196>7.879=血)05,

根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢瞼，推斷為不成立,

即對“夸父一號”探測衛(wèi)星相關知識感興趣與學生的性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于

0.005.

(2)由題意可得，〃(A8)=10,n(A)=55,則P(B\A)==55=TT

(3)由題意可知，X的可能取值為()』,2,3.

P(X=0)=^=條，?(X=1)=魯=H，

尸吠=2)=普=懸尸(X=3)=3==

所以X的分布列為

X0123

418121

P

35353535

￡(X)=0X—4-1X運+2X京+3X^=不

易錯提醒(I)72越大兩分類變量無關的可能性越小，推斷犯錯誤的概率越小，通過表格查得

無關的可能性.

(2)在犯錯誤的概率不大于0.01的前提下認為兩個變量有關，并不是指兩個變量無關的可能性

為0.01.

跟蹤演練3(2023?湖南四大名校聯(lián)考)某學校有4,B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機選

擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去8

餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為08

(1)①求王同學第2天去A餐廳用餐的概率；

②如果王同學第2天去A餐廳用餐，求他第1天在A餐廳用餐的概率；

(2)A餐廳對就餐環(huán)境、菜品種類與品質(zhì)等方面進行了改造與提升，改造提升后，A餐廳對就

餐滿意程度進行了調(diào)查，統(tǒng)計了100名學生的數(shù)據(jù)，如表(單位：人).

4餐廳改造提升情況

就餐滿意程度合計

改造提升前改造提升后

滿意283785

不滿意12315

合計4060KX)

依據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，能否認為學生對于A餐廳的滿意程度與餐廳的改造提

升有關聯(lián)？

附：固=5I。)(押狀?c)S而其中〃="+”+。+”

a0.10.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

解(1)設事件Ai：第i天去餐廳用餐，事件6?：第i天去3餐廳用餐，其中i=l,2.

①王同學第2天去A餐廳用餐的概率為

P(A2)=P(Ai)P(A2|Ai)4-P(Bi)P(A2|fii)

=0.5X0.64-0.5X0.8=0.7.

②如果王同學第2天去A餐廳用餐，那么他第1天在A餐廳用睿的概率為

山.A、.”44)()?5X()63

RAMAp(A2)一o.7一，?

(2)零假設Ho：學生對于A餐廳的滿意程度與餐廳的改造提升沒有關聯(lián).

100X(28><3-57X12)2_200

工二85X15X40X60=萬”879,

根據(jù)小概率值。=0.005的獨立性檢驗，我們推斷從不成立，即認為學生對于4餐廳的滿意

程度與餐廳的改造提升有關聯(lián).

專題強化練

一、單項選擇題

1.某班有男生25人，女生20人，采用比例分配的分層隨機抽樣的方法從這45名學生中抽

取一個容量為9的樣本，則應抽取的女生人數(shù)為()

A.2B.3C.4D.b

答案C

解析由題意得，女生比例為患=方,所以抽取一個容量為9的樣本，則應抽取的女生人數(shù)為

4

9X§=4.

2.第七次全國人口普查數(shù)據(jù)顯示，德州市各區(qū)縣常住人口數(shù)據(jù)如圖所示，則這些區(qū)縣的人口

數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為()

德州市各區(qū)縣常住人口數(shù)據(jù)(單位：萬)

A.43.86B.48.8C.55.92D.52.36

答案D

解析把德州市各區(qū)縣常住人口數(shù)據(jù)從小到大排列：22.33,31.81,35.37,41.91,45.81,46.68,47.33,

47.34,48.8,55.92,57.64,69.53,因為12X75%=%所以75%分位數(shù)為數(shù)據(jù)從小到大排列的第

9,10兩個數(shù)的平均數(shù)，即曳史詈%=52.36.

3.（2023?遵義模擬）2023年4月，國內(nèi)鮮菜、食用油、糧食、禽肉、鮮果、雞蛋、豬肉價格

同比（與去年同期相比）的變化情況如圖所示，則下列說法正確的是（）

鮮菜、食用油、糧食、禽肉

鮮果、雞蛋、豬肉價格同比變化情況

食

用油

糧食

禽肉

鮮果

雞蛋

豬肉

34.4%

A.食用油、糧食、禽肉、鮮果、雞蛋、豬肉這6種食品中，食用油價格同比漲幅最小

B.豬肉價格同比漲幅超過禽肉價格同比漲幅的5倍

C.2022年4月鮮菜價格要比2023年4月高

D.這7種食品價格同比漲幅的平均數(shù)超過10%

答案C

解析由圖可知，糧食價格同比漲幅比食用油價格同比漲幅小，故A錯誤；

豬肉價格同比漲幅為34.4%,禽肉價格同比漲幅為8.5%,34.4%-5X8.5%〈0,故B錯誤；

因為鮮菜價格同比漲幅為-21.2%,說明2022年4月鮮菜價格要比2023年4月高，故C正確;

34.4%+10.4%+9.6%+8.5%+3%+7.6%—21.2%

這7種食品價格同比漲幅的平均數(shù)為

7

^7.47%<10%,故D錯誤.

4.某工廠為了調(diào)查工人文化程度與月收入的關系，隨機抽取了部分工人，得到如下列聯(lián)表（單

位:人）:

月收入

文化贏月收入2000元以下月收入2000元及以上合計

高中文化以上104555

高中文化及以下203050

合計3075105

由上表中數(shù)據(jù)計算得了=*白黑聯(lián)箸￡-6.109.如果認為文化程度與月收入有關

系，那么犯錯誤的概率不會超過（）

附表:

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.0.01B.0.025C.0.03D.0.05

答案D

解析因為所以認為文化程度與月收入有關系，那么犯錯誤的概率

不會超過0.05.

5.（2023?晉中模擬）人工智能聊天機器人，不僅能流暢對話，還能寫詩、撰文、編碼等.一經(jīng)

推出，便受到廣泛關注，并產(chǎn)生了豐富的社會應用.某調(diào)查機構為了解大學生使用聊天機器人

的情況，對8所高校進行了調(diào)查，其中6所學校給出了使用的學生占比，將數(shù)據(jù)從小到大依

次排列為71%,75%,77%,80%,82%,85%,另外兩所學校未給出調(diào)查數(shù)據(jù)，那么這8所

學校使用的學生比例的中位數(shù)不可能是（）

A.76%B.77.5%C.80%D.81.5%

答案D

_1_77°/

解析當另外兩所學校都小于或等于71%時，中位數(shù)為一--=76%,此時中位數(shù)最小，

NO%+32%

當另外兩所學校都大于或等于85%時，中位數(shù)為-5—=81%,此時中位數(shù)最大，故中

位數(shù)的取值區(qū)間為［76%.81%］.

6.（2023?孝感模擬）已知一組樣本數(shù)據(jù)共有8個數(shù)，其平均數(shù)為8,方差為12,將這組樣本數(shù)

據(jù)增加兩個未知的數(shù)據(jù)構成一組新的樣本數(shù)據(jù)，己知新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9,則新的樣

本數(shù)據(jù)的方差最小值為（）

A.10B.10.6C.12.6D.13.6

答案D

解析設增加的數(shù)為x,y,原來的8個數(shù)分別為0,S,…，舞，

則。］+&+…+。8=64,卬+。2+…+a8+x+y=90,所以x+y=26,

又因為《￡(3—8)2=12,

J=1

即±3—8)2=96,

新的樣本數(shù)據(jù)的方差為

tf(?,-9)2+(X-9)2+(>--9)2

1881

=正[￡(0-8)2—2￡(0一8)+8+。-9)2+°，-9)2]=而(?+)，2—202),

i=l尸I

因為yW222牛=13,/+)，2-2022136,

所以方差的最小值為13.6(當且僅當x=)，=13時取到最小值).

二、多項選擇題

7.已知一組數(shù)據(jù)3,5,6.9,9,10的平均數(shù)為；.方差為在這組數(shù)據(jù)中加入一個數(shù)據(jù)7后得

到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為；，方差為s'2,則下列判斷正確的是()

A.x=/B.x<x'

C.s2=s'2D.52>5r2

答案AD

一1

解析x=4X(3+5+6+9+9+10)=7,

T-=：X(3+5+6+9+9+10+7)=7,

所以x=x',A正確，B錯誤：

Iio

52=^X[(3-7)2+(5-7)2-|-(6-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(10-7)2]=—,

I38

s'2=7X[(3-7)2+(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2l=~,

所以$2>$'2,C錯誤，D正確.

8.(2023?洪江模擬)某服裝生產(chǎn)商為了解青少年的身高和體重的關系，在15歲的男生中隨機

抽測了10人的身高和體重，數(shù)據(jù)如表所示：

編號12345678910

身高/cm165168170172173174175177179182

體重/kg55896165677075757880

由表中數(shù)據(jù)制作成如圖所示的散點圖:

體重/kg

由最小二乘法計算得到經(jīng)驗回歸直線八的方程為），=b工一0,樣本相關系數(shù)為門，決定系數(shù)

為昨經(jīng)過殘差分析確定（168,89）為離群點（對應殘差過大），把它去掠后，再用剩下的9組數(shù)

據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸直線/2的方程為;=1*+；2,樣本相關系數(shù)為小決定系數(shù)為爬廁以下

結(jié)論中正確的有（）

A.ai>（i2B.Z>I>Z>2

C.r\<n,D.R]>Rj

答案AC

解析身高的平均數(shù)為

165+168+170+172+173+174+175+177+179+182

=173.5,

因為離群點（168,89）的橫坐標168小于平均數(shù)173.5,縱坐標89相對過大，所以去掉離群點后

經(jīng)驗回歸直線的截距變小而斜率變大，所以0>他，從〈岳，所以A正確,B錯誤；

去掉離群點后成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度更強，擬合效果會更好，所以ri</-2,旃〈爬，所

以C正確，D錯誤.

三、填空題

9.（2023?大慶模擬）某校學生參與“保護地球”知識問答活動，滿分20分，根據(jù)學生的作答

成績繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，請據(jù)此估計學生成績的第60百分位數(shù)為.

J1U2"成績/分

答案14

解析由圖可知第一組的頻率為0.04X5=0.2<0.6,前兩組的頻率之和為0.04X5+0.1X5=

0.7乂）.6,所以第60百分位數(shù)在[1015）內(nèi)，設為心

則IX10）=0.6—02解得x=14.

10.（2023?南京模擬）某工廠月產(chǎn)品的總成本），（單位：萬元）與月產(chǎn)量M單位：萬件）有如下一

組數(shù)據(jù)，從散點圖分析可知），與x線性相關.如果經(jīng)驗回歸方程是；=x+3.5,那么表格中數(shù)

據(jù)a的值為.

力萬件1234

W萬元3.85.6a8.2

答案6.4

—1+2+3+4

解析由題意及表知，.r=——1一=2.5,

—3.8+5.6+〃+8.217.6+〃

)'=4=-4-

???經(jīng)驗回歸方程是y=x+3.5,

17.6+a,百―

:.-4—=2.54-3.5,解得4=6.4.

11.(2023.佛山模擬)足球是一項大眾喜愛的運動，某校足球社通過調(diào)查并進行科學的統(tǒng)計分

析，對學校學生喜愛足球是否與性別有關的問題，得出了結(jié)論：喜愛足球與性別有關，此推

斷犯錯誤的概率不大于0.005.據(jù)足球社透露，他們隨機抽取了若干人進行調(diào)查，抽取女生人

數(shù)是男生人數(shù)的2倍，男生喜愛足球的人數(shù)占男生人數(shù)的亮，女生喜愛足球的人數(shù)占女生人數(shù)

的!.通過以上信息，可以確定本次足球社所調(diào)查的男生至少有人.

.〃(ad-bc)2

?'(a+〃)(c+d)(a+c)(》+6().

a0.100.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

答案12

解析設被調(diào)查的男生為x人，則女生為2%人，依題意可得列聯(lián)表如下:

男生女生合計

5x2.V3x

喜愛足球

ET~2

4x

不喜愛足球X3x

6TT

合計X2A-3x

、(5x4戈4

2x

所以/=3x3》0—

~~x-2x

因為本次調(diào)查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛足球與性別有關”的結(jié)

91'

論，所以有/27.879,即727.879,解得x211.8185,

又因為上述列聯(lián)表中的所有數(shù)字均為整數(shù)，故x的最小值為12.

12.某校采用比例分配的分層隨機抽樣采集了高一年級學生的身高情況，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:

性別樣本量樣本平均數(shù)樣本方差

男10017022

女10()16038

則估計該校高一年級的全體學生的身高的平均數(shù)為，方差為.

答案16555

解析由題意可得，該校高一年級全體學生的身高的邛均數(shù)為加X(100X170+100X160)=

165,

由結(jié)論可得,方差為^=200><{100X[22+(170-165)2]+100X[38+(160-165)2]}=55.

四、解答題

13.(2023?新高考全國II)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學

指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如卜?的患病者和大患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c,將該指標大于c?的人判定為陽性，小于

或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)：

誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(c).假設數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生

的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.

(1)當漏診率p(c)=0.5%時，求臨界值c和誤診率(7(c)；

(2)設函數(shù)火c)=/Xc)+q(c),當。￡[95,105]時，求"c)的解析式,并求人c)在區(qū)間[95,105]的最

小值.

解(1)依題可知，患病者該指標的頻率分布直方圖中第一個小矩形的面積為5X0.002=0.01

=1%>0.5%,

所以95<。<100,

所以(c-95)X0.002=0.5%,

解得c=97.5,

q(c)=0.01X(100—97.5)+5X0.002=0.035=3.5%.

(2)當［95,100］時,

Xc)=p(c)+<7(c)=(c-95)X0.002+(100-c)X0.01+5X0.002=-0.008c+0.82>0.