高等幾何試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.射影平面上，兩條直線的位置關系是（）A.平行B.相交C.重合D.平行或相交2.點列與線束之間的對應是（）A.一一對應B.多對一對應C.一對多對應D.非對應關系3.仿射變換保持（）不變A.距離B.角度C.平行性D.面積4.射影變換把三角形變成（）A.三角形B.四邊形C.直線D.點5.若點P的齊次坐標為(1,2,3)，則其非齊次坐標為（）A.(1/3,2/3)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,2)6.直線[1,1,0]與直線[1,-1,0]的交點坐標是（）A.(0,0,1)B.(1,0,0)C.(0,1,0)D.(1,1,0)7.仿射不變量是（）A.長度比B.角度C.面積比D.交比8.射影變換的基本不變量是（）A.距離B.角度C.交比D.面積9.點列中的四點A、B、C、D的交比(AB,CD)等于（）A.(AC,BD)B.(AD,BC)C.(BA,CD)D.(CB,AD)10.平面上無窮遠點的齊次坐標的第三個分量為（）A.0B.1C.2D.任意非零實數(shù)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于仿射性質(zhì)的有（）A.平行性B.共線性C.中點D.距離2.射影平面上的元素有（）A.點B.直線C.無窮遠點D.無窮遠直線3.仿射變換可以由（）確定A.不共線的三對對應點B.共線的三對對應點C.兩對對應點D.一對對應點和一個不變直線4.以下關于交比的說法正確的是（）A.交比是射影不變量B.交比與點的順序有關C.交比可以取任意實數(shù)D.交比為1時四點調(diào)和共軛5.直線的齊次坐標[1,2,3]表示的直線方程為（）A.\(x_1+2x_2+3x_3=0\)B.\(x_1-2x_2+3x_3=0\)C.\(2x_1+x_2+3x_3=0\)D.是平面上一條確定直線6.射影變換的性質(zhì)有（）A.保持共線性B.保持交比不變C.保持平行性D.保持距離不變7.仿射不變圖形有（）A.平行四邊形B.梯形C.三角形D.圓8.以下哪些是高等幾何的研究方法（）A.綜合法B.解析法C.變換群法D.向量法9.點列與線束的關系是（）A.點列中的點與線束中的直線一一對應B.點列與線束可以建立射影對應C.點列與線束無關聯(lián)D.不同中心的線束之間可建立射影對應10.射影平面上，兩個不同的點可以確定（）A.唯一一條直線B.多條直線C.一個線束D.一個點列三、判斷題（每題2分，共10題）1.仿射變換一定是射影變換。（）2.射影平面上，無窮遠直線與任意直線都相交。（）3.交比為-1時，四點構成調(diào)和共軛。（）4.齊次坐標(1,2,0)表示無窮遠點。（）5.仿射變換保持角度不變。（）6.射影變換可以把一個三角形變成一個四邊形。（）7.平面上的點與它的齊次坐標是一一對應的。（）8.直線的齊次坐標[1,1,1]與[2,2,2]表示同一條直線。（）9.仿射不變量只有平行性。（）10.射影平面上，三個不共線的點可以確定一個三角形。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述仿射變換與射影變換的關系。答：仿射變換是射影變換的一種特殊情況。射影變換是更為廣泛的變換，仿射變換保持無窮遠直線不變，而射影變換可對無窮遠直線進行變換，仿射變換具有的性質(zhì)射影變換不一定有，但射影變換的基本性質(zhì)仿射變換都滿足。2.什么是點列的交比？答：點列中四點\(A、B、C、D\)的交比定義為\((AB,CD)=\frac{(A-C)(B-D)}{(A-D)(B-C)}\)，它是射影不變量，與點的順序有關，不同順序交比取值不同，在射影幾何中有重要作用。3.如何根據(jù)齊次坐標判斷點是否為無窮遠點？答：若點的齊次坐標\((x_1,x_2,x_3)\)滿足\(x_3=0\)，則該點為無窮遠點。因為在射影平面中，無窮遠點的非齊次坐標中某一分量為無窮大，反映在齊次坐標上就是第三個分量為0。4.簡述仿射變換的基本不變性質(zhì)。答：仿射變換基本不變性質(zhì)有：保持共線性，即共線點經(jīng)變換后仍共線；保持平行性，平行直線變換后仍平行；保持簡單比不變，如線段的定比分點在變換后仍保持相應比例關系。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論射影幾何中交比的重要性及應用。答：交比是射影幾何的基本不變量，重要性在于它是區(qū)分不同射影位置的關鍵。應用廣泛，如判斷四點的位置關系、證明幾何命題、研究圖形的射影性質(zhì)等。通過交比相等可確定射影對應，為圖形的射影分類提供依據(jù)。2.分析仿射變換在實際生活中的應用實例。答：在實際生活中，仿射變換常用于圖形處理，如地圖繪制中對局部區(qū)域的拉伸、壓縮處理以適應圖紙。在計算機圖形學里，對圖像進行平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等操作也基于仿射變換。此外，建筑設計圖紙的繪制，保持平行關系和相對位置關系，也是仿射變換的應用體現(xiàn)。3.探討射影平面與歐氏平面的聯(lián)系與區(qū)別。答：聯(lián)系：歐氏平面是射影平面的一部分，射影平面可看作是在歐氏平面基礎上添加了無窮遠點和無窮遠直線得到的。區(qū)別：歐氏平面中存在平行概念，而射影平面上任意兩條直線都相交；射影平面元素更豐富，研究的性質(zhì)基于射影變換，歐氏平面基于剛體運動，研究性質(zhì)也不同。4.說說高等幾何的研究方法對數(shù)學學習和研究的啟示。答：高等幾何的綜合法、解析法和變換群法啟示我們，在數(shù)學學習研究中，多種方法結(jié)合可加深理解。綜合法直觀，解析法嚴謹，變換群法從整體把握。學會從不同角度思考問題，用不同方法解決問題，還能將方法遷移到其他數(shù)學領域，提升研究能力。答案一、單項選擇題1.B2.A3.C4.A5.A6.C7.C8.C9.B10.A二、多項選擇題