高等幾何試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.射影平面上，兩條直線的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.重合D.平行或相交2.點(diǎn)列與線束之間的對應(yīng)是（）A.一一對應(yīng)B.多對一對應(yīng)C.一對多對應(yīng)D.非對應(yīng)關(guān)系3.仿射變換保持（）不變A.距離B.角度C.平行性D.面積4.射影變換把三角形變成（）A.三角形B.四邊形C.直線D.點(diǎn)5.若點(diǎn)P的齊次坐標(biāo)為(1,2,3)，則其非齊次坐標(biāo)為（）A.(1/3,2/3)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,2)6.直線[1,1,0]與直線[1,-1,0]的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(0,0,1)B.(1,0,0)C.(0,1,0)D.(1,1,0)7.仿射不變量是（）A.長度比B.角度C.面積比D.交比8.射影變換的基本不變量是（）A.距離B.角度C.交比D.面積9.點(diǎn)列中的四點(diǎn)A、B、C、D的交比(AB,CD)等于（）A.(AC,BD)B.(AD,BC)C.(BA,CD)D.(CB,AD)10.平面上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)的第三個分量為（）A.0B.1C.2D.任意非零實(shí)數(shù)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于仿射性質(zhì)的有（）A.平行性B.共線性C.中點(diǎn)D.距離2.射影平面上的元素有（）A.點(diǎn)B.直線C.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)D.無窮遠(yuǎn)直線3.仿射變換可以由（）確定A.不共線的三對對應(yīng)點(diǎn)B.共線的三對對應(yīng)點(diǎn)C.兩對對應(yīng)點(diǎn)D.一對對應(yīng)點(diǎn)和一個不變直線4.以下關(guān)于交比的說法正確的是（）A.交比是射影不變量B.交比與點(diǎn)的順序有關(guān)C.交比可以取任意實(shí)數(shù)D.交比為1時四點(diǎn)調(diào)和共軛5.直線的齊次坐標(biāo)[1,2,3]表示的直線方程為（）A.\(x_1+2x_2+3x_3=0\)B.\(x_1-2x_2+3x_3=0\)C.\(2x_1+x_2+3x_3=0\)D.是平面上一條確定直線6.射影變換的性質(zhì)有（）A.保持共線性B.保持交比不變C.保持平行性D.保持距離不變7.仿射不變圖形有（）A.平行四邊形B.梯形C.三角形D.圓8.以下哪些是高等幾何的研究方法（）A.綜合法B.解析法C.變換群法D.向量法9.點(diǎn)列與線束的關(guān)系是（）A.點(diǎn)列中的點(diǎn)與線束中的直線一一對應(yīng)B.點(diǎn)列與線束可以建立射影對應(yīng)C.點(diǎn)列與線束無關(guān)聯(lián)D.不同中心的線束之間可建立射影對應(yīng)10.射影平面上，兩個不同的點(diǎn)可以確定（）A.唯一一條直線B.多條直線C.一個線束D.一個點(diǎn)列三、判斷題（每題2分，共10題）1.仿射變換一定是射影變換。（）2.射影平面上，無窮遠(yuǎn)直線與任意直線都相交。（）3.交比為-1時，四點(diǎn)構(gòu)成調(diào)和共軛。（）4.齊次坐標(biāo)(1,2,0)表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。（）5.仿射變換保持角度不變。（）6.射影變換可以把一個三角形變成一個四邊形。（）7.平面上的點(diǎn)與它的齊次坐標(biāo)是一一對應(yīng)的。（）8.直線的齊次坐標(biāo)[1,1,1]與[2,2,2]表示同一條直線。（）9.仿射不變量只有平行性。（）10.射影平面上，三個不共線的點(diǎn)可以確定一個三角形。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述仿射變換與射影變換的關(guān)系。答：仿射變換是射影變換的一種特殊情況。射影變換是更為廣泛的變換，仿射變換保持無窮遠(yuǎn)直線不變，而射影變換可對無窮遠(yuǎn)直線進(jìn)行變換，仿射變換具有的性質(zhì)射影變換不一定有，但射影變換的基本性質(zhì)仿射變換都滿足。2.什么是點(diǎn)列的交比？答：點(diǎn)列中四點(diǎn)\(A、B、C、D\)的交比定義為\((AB,CD)=\frac{(A-C)(B-D)}{(A-D)(B-C)}\)，它是射影不變量，與點(diǎn)的順序有關(guān)，不同順序交比取值不同，在射影幾何中有重要作用。3.如何根據(jù)齊次坐標(biāo)判斷點(diǎn)是否為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)？答：若點(diǎn)的齊次坐標(biāo)\((x_1,x_2,x_3)\)滿足\(x_3=0\)，則該點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。因?yàn)樵谏溆捌矫嬷?，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)中某一分量為無窮大，反映在齊次坐標(biāo)上就是第三個分量為0。4.簡述仿射變換的基本不變性質(zhì)。答：仿射變換基本不變性質(zhì)有：保持共線性，即共線點(diǎn)經(jīng)變換后仍共線；保持平行性，平行直線變換后仍平行；保持簡單比不變，如線段的定比分點(diǎn)在變換后仍保持相應(yīng)比例關(guān)系。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論射影幾何中交比的重要性及應(yīng)用。答：交比是射影幾何的基本不變量，重要性在于它是區(qū)分不同射影位置的關(guān)鍵。應(yīng)用廣泛，如判斷四點(diǎn)的位置關(guān)系、證明幾何命題、研究圖形的射影性質(zhì)等。通過交比相等可確定射影對應(yīng)，為圖形的射影分類提供依據(jù)。2.分析仿射變換在實(shí)際生活中的應(yīng)用實(shí)例。答：在實(shí)際生活中，仿射變換常用于圖形處理，如地圖繪制中對局部區(qū)域的拉伸、壓縮處理以適應(yīng)圖紙。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里，對圖像進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等操作也基于仿射變換。此外，建筑設(shè)計(jì)圖紙的繪制，保持平行關(guān)系和相對位置關(guān)系，也是仿射變換的應(yīng)用體現(xiàn)。3.探討射影平面與歐氏平面的聯(lián)系與區(qū)別。答：聯(lián)系：歐氏平面是射影平面的一部分，射影平面可看作是在歐氏平面基礎(chǔ)上添加了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)直線得到的。區(qū)別：歐氏平面中存在平行概念，而射影平面上任意兩條直線都相交；射影平面元素更豐富，研究的性質(zhì)基于射影變換，歐氏平面基于剛體運(yùn)動，研究性質(zhì)也不同。4.說說高等幾何的研究方法對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的啟示。答：高等幾何的綜合法、解析法和變換群法啟示我們，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究中，多種方法結(jié)合可加深理解。綜合法直觀，解析法嚴(yán)謹(jǐn)，變換群法從整體把握。學(xué)會從不同角度思考問題，用不同方法解決問題，還能將方法遷移到其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域，提升研究能力。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.A3.C4.A5.A6.C7.C8.C9.B10.A二、多項(xiàng)選擇題