高數(shù)開學(xué)考試題庫(kù)及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)答案：A2.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值是（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.\(\frac{2}{3}\)答案：A3.函數(shù)\(y=e^x\)在\(x=0\)處的切線方程是（）A.\(y=x+1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=x\)D.\(y=-x\)答案：A4.極限\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}\)的值是（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)答案：B5.若\(y=\lnx\)，則\(y^{\prime\prime}\)是（）A.\(-\frac{1}{x^2}\)B.\(\frac{1}{x}\)C.\(\frac{1}{x^2}\)D.\(-\frac{1}{x}\)答案：A6.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)B.\((-1,1)\)C.\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)D.\((-\infty,+\infty)\)答案：A7.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(2,-1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)等于（）A.0B.3C.4D.5答案：A8.設(shè)\(z=x+y\)，\(x=1\)，\(y=2\)時(shí)，\(\frac{\partialz}{\partialx}\)的值為（）A.0B.1C.2D.3答案：B9.無窮級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的B.絕對(duì)收斂的C.發(fā)散的D.條件收斂的答案：C10.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的曲率是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.2C.\(\frac{2}{\sqrt{5}}\)D.\(\frac{1}{\sqrt{5}}\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=e^x-e^{-x}\)答案：ABD2.下列定積分值為0的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)B.\(\int_{-\pi}^{\pi}\sinxdx\)C.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)D.\(\int_{-a}^{a}\cosxdx\)（\(a>0\)）答案：AB3.函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處可導(dǎo)的充分條件有（）A.函數(shù)在\(x=x_0\)處連續(xù)B.函數(shù)在\(x=x_0\)處左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等C.函數(shù)在\(x=x_0\)的某鄰域內(nèi)有定義D.函數(shù)在\(x=x_0\)處的極限存在答案：B4.對(duì)于向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)，下列等式成立的有（）A.\(\vert\vec{a}+\vec\vert=\vert\vec{a}\vert+\vert\vec\vert\)B.\((\vec{a}+\vec)\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec\cdot\vec{c}\)C.\(\vec{a}\times\vec=-\vec\times\vec{a}\)D.\(\vert\vec{a}\times\vec\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\)答案：BC5.下列級(jí)數(shù)收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)答案：ABC6.設(shè)\(z=f(x,y)\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)表示（）A.\(z\)對(duì)\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)B.當(dāng)\(y\)固定時(shí)\(z\)關(guān)于\(x\)的變化率C.曲線\(\left\{\begin{array}{l}z=f(x,y)\\y=y_0\end{array}\right.\)在點(diǎn)\((x_0,y_0,z_0)\)處的切線對(duì)\(x\)軸的斜率D.\(z\)關(guān)于\(x\)的全導(dǎo)數(shù)答案：ABC7.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的性質(zhì)有（）A.在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減B.在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞減C.是奇函數(shù)D.是偶函數(shù)答案：ABC8.若\(y=e^{kx}\)（\(k\neq0\)），則\(y^{(n)}\)（\(n\)階導(dǎo)數(shù)）等于（）A.\(k^ne^{kx}\)B.\(n!e^{kx}\)C.\((kx)^ne^{kx}\)D.\(\frac{n!}{k^n}e^{kx}\)答案：A9.下列曲線中，在點(diǎn)\((0,0)\)處有切線的有（）A.\(y=\sqrt{x}\)B.\(y=x^{\frac{2}{3}}\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=e^x\)答案：CD10.設(shè)\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)，則\(\intf(x)dx\)等于（）A.\(F(x)+C\)B.\(F(x)\)C.\(F^{\prime}(x)\)D.\(F^{\prime}(x)+C\)答案：A三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\vertx\vert\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。（）答案：錯(cuò)誤2.定積分\(\int_{a}^f(x)dx=\int_^{a}f(x)dx\)。（）答案：錯(cuò)誤3.若\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\)，則級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂。（）答案：錯(cuò)誤4.函數(shù)\(y=x^2\)在\((-\infty,+\infty)\)上是凹函數(shù)。（）答案：正確5.向量\(\vec{a}=(1,1)\)與\(\vec=(1,-1)\)垂直。（）答案：錯(cuò)誤6.對(duì)于函數(shù)\(z=f(x,y)\)，\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}\)恒成立。（）答案：錯(cuò)誤7.無窮小量與無窮大量互為倒數(shù)。（）答案：錯(cuò)誤8.函數(shù)\(y=\ln(x+1)\)的定義域是\((-1,+\infty)\)。（）答案：正確9.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定可積。（）答案：正確10.設(shè)\(y=\cosx\)，則\(y^{\prime}=-\sinx\)。（）答案：正確四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的極值。答案：首先求導(dǎo)\(y^{\prime}=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^{\prime}=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(y^{\prime}>0\)；當(dāng)\(0<x<2\)時(shí)，\(y^{\prime}<0\)；當(dāng)\(x>2\)時(shí)，\(y^{\prime}>0\)。所以\(x=0\)時(shí)取極大值\(y(0)=2\)，\(x=2\)時(shí)取極小值\(y(2)=-2\)。2.簡(jiǎn)述定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的幾何意義。答案：當(dāng)\(f(x)\geqslant0\)時(shí)，\(\int_{a}^f(x)dx\)表示由曲線\(y=f(x)\)，直線\(x=a\)，\(x=b\)以及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形的面積；當(dāng)\(f(x)\leqslant0\)時(shí)，表示曲邊梯形面積的相反數(shù)；當(dāng)\(f(x)\)在\([a,b]\)上有正有負(fù)時(shí)，\(\int_{a}^f(x)dx\)表示\(x\)軸上方圖形面積減去\(x\)軸下方圖形面積。3.求向量\(\vec{a}=(1,2)\)與\(\vec=(3,-1)\)的夾角\(\theta\)。答案：根據(jù)向量點(diǎn)積公式\(\vec{a}\cdot\vec=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\cos\theta\)，\(\vec{a}\cdot\vec=1\times3+2\times(-1)=1\)，\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)，\(\vert\vec\vert=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}\)，則\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert}=\frac{1}{\sqrt{5}\times\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{10}\)，\(\theta=\arccos\frac{\sqrt{2}}{10}\)。4.求函數(shù)\(y=\sinx\)的麥克勞林級(jí)數(shù)展開式。答案：\(y=\sinx\)的麥克勞林級(jí)數(shù)展開式為\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}\)，即\(\sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots\)五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性。答案：函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域?yàn)閈(x\neq1\)。求導(dǎo)得\(y^{\prime}=-\frac{1}{(x-1)^2}<0\)（\(x\neq1\)），所以函數(shù)在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。2.討論級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}\)的收斂性。答案：這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，根據(jù)萊布尼茨判別法，\(a_n=\frac{1}{n}\)單調(diào)遞減且\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\)，所以該級(jí)數(shù)收斂。3.討論函數(shù)\(y=e^x-x-1\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。答案：求導(dǎo)得\(y^{\prime}=e^x-1\)，令\(y^{\prime}=0\)得\(x=0\)。當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(y^{\prime}<0\)，函數(shù)遞