第15講三角函數(shù)與解三角形大題18類【題型一】圖像與性質(zhì)1:給圖求解析式和值域（最值）【典例分析】1．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求；(2)將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.【變式演練】1.已知函數(shù)的部分圖象如圖.(1)求函數(shù)的解析式;(2)將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求值域.2.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求的解析式及對稱中心坐標(biāo)：(2)先把的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時(shí)，求的值域．3.已知函數(shù)的圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)首先將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，然后將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，最后再向上平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在內(nèi)的值域.【題型二】圖像與性質(zhì)2:二倍角降冪公式恒等變形【典例分析】已知函數(shù)的最小正周期是π.(1)求ω值；(2)求f（x）的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；(3)將f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求若，|g（x）﹣m|<2恒成立，求m的取值范圍.【變式演練】1.已知函數(shù)，在中，角、、所對的邊分別為、、，(1)求函數(shù)的最大值，并求出此時(shí)的值；(2)若，且，求的值．2.已知，其中0＜＜4，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝對稱．(1)求的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若＝2，c＝，求△ABC面積的最大值．【題型三】圖像與性質(zhì)3:恒等變形（“打散”-重組-輔助角）【典例分析】已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，試判斷的形狀．【變式演練】1.已知函數(shù)．在下列條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中，選擇可以確定和值的兩個(gè)條件作為已知．(1)求的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值．條件①：的最小正周期為；條件②：的最大值與最小值之和為0；條件③：．2.已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期，及對稱軸方程.(2)先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.3.已知，設(shè)函數(shù)．(1)若f(x)是偶函數(shù)，求的取值集合；(2)若方程有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．【題型四】圖像與性質(zhì)4:零點(diǎn)求參【典例分析】已知.(1)求函數(shù)的對稱中心和單調(diào)增區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象上的各點(diǎn)___________得到函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，方程有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.在以下①?②中選擇一個(gè)，補(bǔ)在（2）的橫線上，并加以解答，如果①?②都做，則按①給分.①向左平移個(gè)單位，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的一半；②縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的一半，再向右平移個(gè)單位.【變式演練】1.已知函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2.已知函數(shù)，其中常數(shù)．(1)若，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的圖象，求；(2)若在，上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)對（1）中的，區(qū)間，，且滿足：在，上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的，中，求的最小值．3.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為．(1)求的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若在上有兩個(gè)不同的根，求m的取值范圍．【題型五】解三角形基礎(chǔ)：正弦定理、角與對邊【典例分析】已知中，角所對的邊分別為．(1)求的值；(2)若的面積為，求的值．【變式演練】1.在中，角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求的值；(2)若，，求的值2.的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，已知．(1)求角的大?。?2)若，的面積為，求的周長．3.的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求角C；(2)若，求的面積.【題型六】解三角形基礎(chǔ)2：余弦定理變形【典例分析】在中，角，，的對邊分別為，，，的面積為，且.（1）求角；（2）若，求.【變式演練】1.已知中，角，，所對的邊分別為，，，，且滿足.（1）求的面積；（2）若，求的最大值.2.已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若同時(shí)滿足以下四個(gè)條件中的三個(gè)：①，②，③，④.（1）條件①②能否同時(shí)滿足，請說明理由；（2）以上四個(gè)條件，請?jiān)跐M足三角形有解的所有組合中任選一組，并求出對應(yīng)的面積.3.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若角的平分線與交于點(diǎn)，且，求的值.【題型七】解三角形1：面積最值【典例分析】如圖，在△中，D為BC邊上的點(diǎn)，連接AD，且滿足.(1)求證：；(2)若，，求△的面積的最小值.【變式演練】1.三個(gè)內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，且，．(1)若，求C；(2)求的面積S的取值范圍．2.在三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A；(2)若，求三角形面積的最大值.3.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，3bsin(1)求角C；(2)若的外接圓半徑為2，求面積的最大值.【題型八】解三角形2：周長最值【典例分析】在①是和的等差中項(xiàng)；②；③．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足條件（填寫所選條件的序號）．(1)求角；(2)若，求銳角的周長的取值范圍．【變式演練】1.在中，角的對邊分別為，其中，且.(1)求角的大?。?2)求周長的取值范圍。2.在中，角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求；(2)若的面積，求周長的最小值.3.在①acosA=b+ccosB+cosC，②向量m=(a+c,b)與n=(c?a,b?c)，且(1)求角的大小;(2)若的面積為18abc，求周長的取值范圍.【題型九】解三角形3：邊長最值【典例分析】在①bcosπ2?C=3ccosB；②2(1)求角；(2)若是銳角三角形，且c=4，求的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【變式演練】1.在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且2acosC?b(1)求角C；(2)若a+b=2，求c的取值范圍.2.在中，角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，a?b=bcosC.(1)求證：sinC=(2)若，為銳角，求的取值范圍.3.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(1)求的最大值，并寫出使取最大值時(shí)的集合；(2)已知中，角的對邊分別為，若f(A)=32，b+c=2，求的最小值.【題型十】解三角形4：不對稱型最值【典例分析】在中，分別是角所對的邊，滿足．(1)求角B大?。?2)求的取值范圍．【變式演練】1.在①，②3a=3ccos問題：已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，c=3，____________，求a+2b的最大值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.2.在①cos2A?3sinAsinC=cos2B+sin2C，②2bcos(A+π3(1)求角B(2)若b=2，求3c+2a3.中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，已知.(1)求角A的大小；(2)求的取值范圍.【題型十一】解三角形5：中線【典例分析】在中，，且邊上的中線長為，(1)求角的大??；(2)求的面積.【變式演練】1.在①；②,這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答.已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)判斷△ABC的形狀；(2)在（1）的條件下，若，b＝10，AD為BC邊上的中線，求AD的長.2.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角A；(2)若AD為BC邊上中線，，求△ABC的面積.3.在中，角所對的邊分別為，且滿足cosC=ab（1）求角;（2）若外接圓的半徑為，且邊上的中線長為172，求的面積【題型十二】解三角形6：角平分線【典例分析】在中，已知D是BC上的點(diǎn)，AD平分，且.(1)若，求的面積；(2)若，求.【變式演練】1.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，分別是角的對邊，，若為上一點(diǎn)，且滿足____________，求的面積.請從①；②為的中線，且；③為的角平分線，且.這三個(gè)條件中任意選一個(gè)補(bǔ)充到橫線處并作答.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）2.已知的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，且．(1)求；(2)若的面積為，角的平分線交于，且，求．3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.且滿足（a+2b）cosC+ccosA=0.(1)求角C的大??；(2)設(shè)AB邊上的角平分線CD長為2，求△ABC的面積的最小值.【題型十三】三角形存在個(gè)數(shù)【典例分析】設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,a=6,b2(1)求；(2)從以下三個(gè)條件：①b=8；②sinB=33；③邊上的高BH=11【變式演練】1.在中，.(1)求；(2)若，從條件①、條件②、條件③中任選一個(gè)作為已知，使存在并唯一確定，并求的值.條件①：條件②：條件③：注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．2.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，記的面積為S.(1)求a；(2)請從下面的三個(gè)條件中任選一個(gè)，探究滿足條件的的個(gè)數(shù)，并說明理由.條件：①，②，③.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.3.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=2t?1，b=4t，c=4t+1t>1．(1)當(dāng)t=3時(shí)．求；(2)是否存在正整數(shù)，使得角C為鈍角？如果存在，求出的值，并求此時(shí)的面積；如果不存在．說明理由．【題型十四】四邊形轉(zhuǎn)化為解三角形【典例分析】如圖，在四邊形中，.(1)求證：；(2)若，求的長.【變式演練】1.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．(1)求的正弦值；(2)求AB的長及的面積．2.如圖，在中，對邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)已知，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，且，求四邊形的面積.3.如圖，在平面四邊形ABCD中，已知，點(diǎn)E在AB上且AE=2BE，．(1)求的值；(2)求的周長．【題型十五】解三角形：四邊形求最值【典例分析】如圖，在凸四邊形中，為定點(diǎn)，,為動點(diǎn)，滿足．（1）寫出與的關(guān)系式；（2）設(shè)和的面積分別為和，求的最大值．【變式演練】1.在平面四邊形中，，，，（1）求的長；（2）求的最大值．2.在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.在中，角，，的對邊分別為，，且______，作，使得四邊形滿足，，求的取值范圍.3.如圖，在四邊形中，CD=33，BC=7，cos（1）求；（2）若∠A=π3，求【題型十六】三角形中證明題【典例分析】在平面四邊形中，已知AD//BC，∠CBD=∠BDC=α，∠ACD=β（1）若α=30°，β=75°，（2）若α+β>90°，求證：【變式演練】1.在非直角三角形ABC中，角的對邊分別為，（1）若，求角B的最大值；（2）若a+c=mbm>1（i）證明：tanA（可能運(yùn)用的公式有sinα+（ii）是否存在函數(shù)φm，使得對于一切滿足條件的m，代數(shù)式cosA+cos2.在中，A為定角且，求證：．3.在中，為上一點(diǎn)，，，是線段的延長線上一點(diǎn)．（1）證明：∠MEG=∠HEG；（2）若HG=3，EH=2，求EG．【題型十七】解三角形綜合【典例分析】D為邊上一點(diǎn)，滿足，，記，．(1)當(dāng)時(shí)，且，求CD的值；(2)若，求面積的最大值．【變式演練】1.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，.(1)求的大??；(2)若，，求|AB|.2.如圖，在中，，，D，E分別在邊BC，AC上，，且．(1)求；(2)求的面積．3.如圖，在ΔABC中，∠ABC=90°,AB=3,BC=1，為（1）若PC=32，求（2）若∠APB=120°，求ΔABP的面積【題型十八】建模應(yīng)用【典例分析】北京2022年冬奧會將于2022年2月4日在北京和張家口開幕，運(yùn)動員休息區(qū)本著環(huán)保，舒適，溫馨這一出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，如圖，在四邊形休閑區(qū)域，四周是步道，中間是花卉種植區(qū)域，為減少擁堵，中間穿插了氫能源環(huán)保電動步道，且.(1)求氫能源環(huán)保電動步道的長；(2)若，求花卉種植區(qū)域總面積（電動步道的面積忽略不計(jì)）.【變式演練】1.某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域.如圖，AO、OB為直線岸線，OA=1000米，OB=1500米，∠AOB=π3，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧AB，過弧AB上一點(diǎn)P按線段PA和PB修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知∠APB=(1)求岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離；(2)如果線段PA上的網(wǎng)箱每米可獲得40元的經(jīng)濟(jì)收益，線段PB上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟(jì)收益.記∠PAB=θ，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少？（精確到元）2.如圖，某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃，其直徑AB為6，O是圓心，且OC⊥AB.在OC上有一座觀賞亭Q，其中∠AQC＝，.計(jì)劃在上再建一座觀賞亭P，記∠POB＝θ.（1）當(dāng)θ＝時(shí)，求∠OPQ的大?。唬?）當(dāng)∠OPQ越大時(shí)，游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳，求游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時(shí)，角θ的正弦值．3.某沿海特區(qū)為了緩解建設(shè)用地不足的矛盾，決定進(jìn)行圍海造陸以增加陸地面積.如圖，兩海岸線，所成角為，現(xiàn)欲在海岸線，上分別取點(diǎn)，修建海堤，以便圍成三角形陸地，已知海堤長為6千米.（1）如何選擇，的位置，使得的面積最大；（2）若需要進(jìn)一步擴(kuò)大圍海造陸工程，在海堤的另一側(cè)選取點(diǎn)，修建海堤，圍成四邊形陸地.當(dāng)海堤與的長度之和為10千米時(shí)，求四邊形面積的最大值.【課后練習(xí)】1.函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．2.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求的解析式及對稱中心坐標(biāo)：(2)先把的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3.函數(shù)，．(1)把的解析式改寫為(，)的形式；(2)求的最小正周期并求在區(qū)間上的最大值和最小值；(3)把圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到函數(shù)的圖象，再把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上至少有個(gè)零點(diǎn)，求的最小值．4.已知函數(shù)的最小正周期是π.(1)求f（x）的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求若，|g（x）﹣m|<2恒成立，求m的取值范圍.5.從以下條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題的橫線中，并作答.①；②；③且為銳角.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，若，______，.(1)求角；(2)求的周長.注：如果選多個(gè)條件分別作答，則按第一個(gè)解答記分.6.在中，角、、所對的邊分別為、、，向量m=a+b,sinA?sinC，向量n=c,sinA?(1)求角的大??；(2)