專題7.6離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022春·江蘇常州·高二期末）下列說法正確的是（

）A．離散型隨機(jī)變量的均值是0,1上的一個(gè)數(shù)B．離散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平C．若離散型隨機(jī)變量X的均值E(XD．離散型隨機(jī)變量X的均值E【解題思路】利用離散型隨機(jī)變量的均值的定義即可判斷選項(xiàng)AB；結(jié)合離散型隨機(jī)變量的均值線性公式即可判斷選項(xiàng)C；由離散型隨機(jī)變量的均值為E(X)=i【解答過程】對(duì)于A，離散型隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，不一定在0,1上，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，故B正確，對(duì)于C，離散型隨機(jī)變量X的均值E(則E(2故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，離散型隨機(jī)變量X的均值E(故D錯(cuò)誤．故選：B．2．（3分）（2022春·黑龍江綏化·高二期末）設(shè)ξ的分布列如表所示，又設(shè)η=2ξ+5，則Eξ1234P1111A．76 B．176 C．173【解題思路】根據(jù)分布列求出E(ξ【解答過程】解：依題意可得E(所以E(故選：D．3．（3分）（2023秋·河南焦作·高二期末）設(shè)隨機(jī)變量X，Y滿足：Y=3X-1，X～A．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型．先利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式求出DX【解答過程】解：因?yàn)閄～B=又Y=3X-故選：A．4．（3分）（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X12Pmn若EX=53，則A．16 B．13 C．23【解題思路】根據(jù)期望公式及概率和為1列方程求解.【解答過程】由已知得m+2解得m=故選：B.5．（3分）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))X0123P0.20.30.4a則下列計(jì)算結(jié)果正確的是（

）A．a(chǎn)=0.2 B．PX≥2=0.7 C．EX【解題思路】由概率之和為1可判斷A，根據(jù)分布列計(jì)算可判斷B,C,D.【解答過程】因?yàn)?.2+0.3+0.4+a=1，解得a=0.1由分布列知P(X≥2)=0.4+0.1=0.5EX=0×0.2+1×0.3+2×0.4+3×0.1=1.4，故DX=0-1.42故選：C.6．（3分）（2022秋·浙江寧波·高二期中）設(shè)0<a<1X-112P11a則當(dāng)DX最大時(shí)的a的值是A．14 B．316 C．1【解題思路】先求得EX=5a2，【解答過程】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算公式，可得EX又由E可得DX因?yàn)?<a<12，所以當(dāng)DX故選：D.7．（3分）（2023秋·上海·高二期末）已知0<p<12，隨機(jī)變量ξ、η相互獨(dú)立，隨機(jī)變量ξ的分布為-112313，A．Eξ+η減小，Dξ+η增大C．Eξ+η增大，Dξ+η增大【解題思路】利用數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)直接求解.【解答過程】由題意可得：Eξ=-所以Eξ所以當(dāng)p在0,12內(nèi)增大時(shí)，EDξ=-所以Dξ所以當(dāng)p在0,12內(nèi)增大時(shí)，D故選：C.8．（3分）（2022秋·浙江·高三開學(xué)考試）互不相等的正實(shí)數(shù)x1,x2,x3,xA．EX<EC．EX<E【解題思路】根據(jù)題意，分x1,x2=1,2或3,4，x1,x2=1,3或【解答過程】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X,Y所以當(dāng)x1,x2=當(dāng)x1,x2=當(dāng)x1,x2=所以X，Y的分布列為：X23P231Y23P132所以EXDX所以EX故選：C.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022春·山西呂梁·高二期中）已知隨機(jī)變量X滿足EX=-4，DXA．E1-X=-5C．D1-X=5【解題思路】根據(jù)平均數(shù)和方差的知識(shí)求得正確答案.【解答過程】依題意，EX=-4，所以E1-D1-故選：BC.10．（4分）（2022春·黑龍江七臺(tái)河·高二期中）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中PX=0=14，EX，A．PX=1=C．DX=3【解題思路】首先寫出兩點(diǎn)分布，再根據(jù)期望和方差公式求EX，DX，再根據(jù)E4X【解答過程】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且PX=0=EX=0×14+1×E4X+1DX=0-D4X+1=故選：ABC.11．（4分）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)a∈(0,13)，隨機(jī)變量X的分布列如表所示，隨機(jī)變量Y=3X+2，則當(dāng)a在(0,X--0P2baA．E(B．E(C．D(D．D(【解題思路】根據(jù)分布列的性質(zhì)求b，再由期望和方差公式求E(X),D(X)，再由期望和方差的性質(zhì)求【解答過程】∵2b+b-∴E(故D(所以D又∵Y=3∴E(所以當(dāng)a在0,13上增大時(shí)，D(函數(shù)y=-9a2∴當(dāng)a在0,13上增大時(shí)，故選：AD．12．（4分）（2022春·廣東潮州·高二期中）2022年世界田聯(lián)半程馬拉松錦標(biāo)賽，是揚(yáng)州首次承辦高規(guī)格、大規(guī)模的國(guó)際體育賽事.運(yùn)動(dòng)會(huì)組織委員會(huì)欲從4名男志愿者、3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)的隊(duì)長(zhǎng)，下列說法正確的有（

）A．設(shè)“抽取的3人中恰有1名女志愿者”為事件A，則PB．設(shè)“抽取的3人中至少有1名男志愿者”為事件B，則PC．用X表示抽取的3人中女志愿者的人數(shù)，則ED．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人數(shù)，則D【解題思路】理解題意，利用超幾何分布，求概率，求期望，求方差即可.【解答過程】對(duì)于A：從7名志愿者中抽取3人，所有可能的情況有C73=35（種），其中恰有1名女志愿者的情況有C31對(duì)于B：PB=C對(duì)于C：由題意知X的可能取值為0，1，2，3，則PX=0=C43C所以EX=0×435對(duì)于D：由題可知Y的可能取值為0，1，2，3，則PY=0=PX=3=則EYEY則DY=EY故選：BD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X=1)=0.4，設(shè)ξ=2X-【解題思路】先求出E(X【解答過程】E(X故答案為：-2.214．（4分）（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若EX=13X－101P1ab【解題思路】利用離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，列出方程組，求出a，b，由此能求出方差，再根據(jù)方差的性質(zhì)計(jì)算可得．【解答過程】依題意可得a+b+所以DX所以D3故答案為：5.15．（4分）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）袋中有1個(gè)白球，2個(gè)黃球，2個(gè)紅球，這5個(gè)小球除顏色外完全相同，每次不放回地從中取出1個(gè)球，取出白球即停，記X為取出的球中黃球數(shù)與紅球數(shù)之差，則E(0.【解題思路】按照取出的球的順序羅列出X=0,X【解答過程】PXPXPX故E(故答案為：0.16．（4分）（2022·高二單元測(cè)試）已知A，B兩個(gè)不透明的盒中各有形狀、大小都相同的紅球、白球若干個(gè)，A盒中有m0<m<10個(gè)紅球與10-m個(gè)白球，B盒中有10-m個(gè)紅球與m個(gè)白球，若從A，B兩盒中各取1個(gè)球，ξ表示所取的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則當(dāng)D【解題思路】寫出隨機(jī)變量ξ的可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，再根據(jù)期望和方差公式求出期望與方差，從而可得出答案.【解答過程】解：ξ的可能取值為0，1，2，PξPξPξ所以ξ的分布列為ξ012Pm10-mEξD=m10-m所以當(dāng)Dξ取到最大值時(shí)，m的值為故答案為：5.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022春·遼寧撫順·高二期末）已知隨機(jī)變量X的分布列為X--012P111m1（1）求E（2）若Y=2X-【解題思路】（1）由分布列求出m的值，再根據(jù)隨機(jī)變量X期望公式可得答案；（2）由EY=【解答過程】（1）由分布列得14+1EX（2）若Y=2則EY18．（6分）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示，且E(X01xP11p(1)求D((2)若Y=X+4(3)若Z=2-3X，求【解題思路】（1）利用離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)以及期望和方差的計(jì)算公式即可求解；（2）利用方差的性質(zhì)求解即可；（3）利用方差的性質(zhì)求解即可.【解答過程】（1）由題意可知12+1又∵E(X)=0×∴D(（2）∵Y=∴D(（3）∵Z=2-3∴D(19．（8分）（2023春·浙江·高三開學(xué)考試）第二十二屆世界足球賽于2022年11月21日在卡塔爾舉行，是歷史上首次在中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是第二次再亞洲舉行的世界杯足球賽，在此火熱氛圍中，某商場(chǎng)設(shè)計(jì)了一款足球游戲：場(chǎng)地上共有大、小2個(gè)球門，大門和小門依次射門，射進(jìn)大門后才能進(jìn)行小門射球，兩次均進(jìn)球后可得到一個(gè)世界杯吉祥物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顧客射進(jìn)大門的概率均為34，射進(jìn)小門的概率依次為23，13(1)求這3人中至少有2人射進(jìn)大門的概率；(2)記這3人中得到“拉伊卜”的人數(shù)為X，求X的分布列及期望．【解題思路】(1)根據(jù)二項(xiàng)分布求概率公式計(jì)算即可求解；(2)分別求出甲和乙、丙獲得“拉伊卜”的概率，再求出P(X【解答過程】（1）設(shè)三人中射進(jìn)大門的人數(shù)為Y，則Y~∴P（2）甲獲得“拉伊卜”的概率p1乙、丙獲得“拉伊卜”的概率pP(XP(P(∴XX0123P91571∴E20．（8分）（2022秋·上海浦東新·高三階段練習(xí)）某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購(gòu)商從采購(gòu)的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個(gè)數(shù)10304020(1)若將頻率視為概率，從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取5個(gè)，求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；(2)用樣本估計(jì)總體，果園老板提出兩種購(gòu)銷方案給采購(gòu)商參考，方案1：不分類賣出，單價(jià)為21元/kg方案2：分類賣出，分類后的水果售價(jià)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果售價(jià)（元/16182224從采購(gòu)商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？(3)用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，再?gòu)某槿〉?0個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè)，X表示抽取的是精品果的數(shù)量，求X的分布列及方差DX【解題思路】（1）根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)分布運(yùn)算求解；（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)求方案二的平均單價(jià)，結(jié)合題意分析判斷；（3）先根據(jù)分層抽樣求各層應(yīng)抽取的樣本個(gè)數(shù)，再結(jié)合超幾何分布求分布列和方差.【解答過程】（1）記“從這100個(gè)水果中隨機(jī)抽取1個(gè)，這個(gè)水果是禮品果”為事件A，則PA從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取5個(gè)，設(shè)禮品果的個(gè)數(shù)為Y，則Y～故恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率PY（2）方案2：每公斤的單價(jià)為x=16×∵21>20.6，故從采購(gòu)商的角度考慮，應(yīng)該采用第二種方案.（3）用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，則標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果應(yīng)抽取的個(gè)數(shù)分別為1,3,4,2，即4個(gè)精品果，6個(gè)非精品果，由題意可得：X的可能取值有：0,1,2,3，則有：PXX的分布列如下：X0123P1131則EXDX21．（8分）（2022春·湖北·高二期中）某知名電腦品牌為了解客戶對(duì)其旗下的三種型號(hào)電腦的滿意情況，隨機(jī)抽取了一些客戶進(jìn)行回訪，調(diào)查結(jié)果如表：電腦型號(hào)ⅠⅡⅢ回訪客戶（人數(shù)）250400350滿意度0.50.40.6滿意度是指，回訪客戶中，滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值.用滿意度來估計(jì)每種型號(hào)電腦客戶對(duì)該型號(hào)電腦滿意的概率，且假設(shè)客戶是否滿意相互獨(dú)立.（1）從型號(hào)Ⅰ和型號(hào)Ⅱ電腦的所有客戶中各隨機(jī)抽取1人，記其中滿意的人數(shù)為X，求X的分布列和期望；（2）用“ξ1=1”，“ξ2=1”，“ξ3=1”分別表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型號(hào)電腦讓客戶滿意，“ξ1=0”，“ξ2=0”，“ξ3=0”分別表示Ⅰ【解題思路】（1）由題意得X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）由題意ξ1，ξ2，ξ3【解答過程】解：（1）由題意得X的可能取值為0，1，2，設(shè)事件A為“從型號(hào)Ⅰ電腦所有客戶中隨機(jī)抽取的人滿意”，事件B為“從型號(hào)Ⅱ電腦所有客戶中隨機(jī)抽取的人滿意”，且A，B為獨(dú)立事件，根據(jù)題意，PA=1PXPXPX∴X的分布列為：X012P311EX（2）由題意ξ1，ξ2，則DξDξDξ∴Dξ22．（8分）（2022春·江蘇宿遷·高二期末）在做數(shù)學(xué)卷多選題時(shí)考生通常有以下兩種策略：策略A：為避免有選錯(cuò)得0分，在四個(gè)選項(xiàng)中只選出一個(gè)自己最有把握的選項(xiàng)，將多選題當(dāng)作“單選題”來做，選對(duì)得2分；策略B：爭(zhēng)取得5分，選出自己認(rèn)為正確的全部選項(xiàng)，漏選得2分，全部選對(duì)得5分．本次期末考試前，某同學(xué)通過模擬訓(xùn)練得出其在兩種策略下作完成下面小題的情況如下表：策略概率每題耗時(shí)（分鐘）第11題第12題A選對(duì)選項(xiàng)0.80.53B部分選對(duì)0.60.26全部選對(duì)0.30.7已知該同學(xué)作答兩題的狀態(tài)互不影響，但這兩題總耗時(shí)若超過10分鐘，其它題目會(huì)因?yàn)闀r(shí)間緊張而少得1分．根據(jù)以上經(jīng)驗(yàn)解答下列問題：(1)若該同學(xué)此次考試決定用以下方案：第11題采用策略B，第12題采用策略A，設(shè)他這兩題得分之和為X，求X的分布列、均值及方差；(2)若該同學(xué)期望得到高分，請(qǐng)你替他設(shè)計(jì)答題方案．【解題思路】（1）先求出隨機(jī)變量X的可能取值，然后求出其對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望與方差；（2）依題意列出所有可能情況，分別求出數(shù)學(xué)期望，即可判斷；【解