專題7.10正態(tài)分布（重難點題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列是關(guān)于正態(tài)曲線fx①曲線關(guān)于直線x=μ對稱，且恒位于②曲線關(guān)于直線x=σ對稱，且僅當(dāng)x∈③曲線對應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，因此曲線關(guān)于y軸對稱；④曲線在x=⑤曲線的位置由μ確定，曲線的形狀由σ確定.其中說法正確的是（

）A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤【解題思路】根據(jù)正態(tài)密度曲線的特點和性質(zhì)逐一判斷①②③④⑤的正確性，即可得正確選項.【解答過程】正態(tài)曲線fx關(guān)于直線x=μ對稱，該曲線總是位于x軸上方，故①只有當(dāng)μ=0時，正態(tài)密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，曲線關(guān)于y軸對稱；此時為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，當(dāng)μ≠0時，不是偶函數(shù)，故正態(tài)曲線fx是一條關(guān)于直線x=μ對稱，在x曲線的位置由對稱軸x=μ確定，曲線的形狀由σ確定，σ越大，圖象越矮胖，σ越小，圖象越瘦高，故故①④⑤說法正確.故選：A.2．（3分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)X~Nμ1,A．μ1>μC．PY≥μ【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，確定出兩個均值和方差的大小，然后結(jié)合圖比較概率的大小【解答過程】因為X~Nμ1,所以由圖可知，μ1<μ因為X的分布曲線“高瘦”，Y的分布曲線“矮胖”，所以σ1<σ2所以PY≥μ所以C錯誤，D正確，故選：D.3．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（

）附：若X～N(μA．2386 B．2718 C．3413 D．4772【解題思路】根據(jù)題意可得P(0<x【解答過程】因為曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線，所以根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，P(0<所以落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為10000×0.3413=3413，故選：C.4．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知某批零件的長度（單位：毫米）服從正態(tài)分布N100,32，從中隨機(jī)抽取一件，其長度落在區(qū)間103,106（附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%【解題思路】利用3σ原則，分別求出P(94<ξ【解答過程】正態(tài)分布N(100，3所以P(97<P(94<所以P(103<故選：B.5．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）某地組織普通高中數(shù)學(xué)競賽.初賽共有20000名學(xué)生參賽，統(tǒng)計得考試成績X（滿分150分）服從正態(tài)分布N110,100.考試成績140分及以上者可以進(jìn)入決賽.本次考試可以進(jìn)入決賽的人數(shù)大約為（

）附：PA．26 B．52 C．456 D．13【解題思路】由題意可得正態(tài)分布中的μ,σ，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性結(jié)合題中數(shù)據(jù)求【解答過程】考試成績X（滿分150分）服從正態(tài)分布N110,100，所以μ=110,σPX所以可進(jìn)入決賽的人數(shù)大約為20000×0.0013=26人.故選：A．6．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X,Y，X~B4,12，Y~NA．0 B．14 C．12 D【解題思路】利用二項分布的方差計算公式得出EY，即μ的值，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，可得實數(shù)a【解答過程】由題意，DX=4×1又PY≤a-故選：A.7．（3分）（2022春·江西宜春·高二期末）隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X-N10,σ2，PA．3+42 B．6+22 C．3+22 【解題思路】利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出m+n=12，再將代數(shù)式2【解答過程】由于X～N10,所以，PX<8+P8≤由基本不等式可得1

=42當(dāng)且僅當(dāng)4mn=因此，1m+2故選D.8．（3分）（2022春·安徽蕪湖·高二期中）近年來中國進(jìn)入一個鮮花消費的增長期，某農(nóng)戶利用精準(zhǔn)扶貧政策，貸款承包了一個新型溫室鮮花大棚，種植銷售紅玫瑰和白玫瑰．若這個大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別服從正態(tài)分布Nμ,302和N280,40附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Nμ,σA．若紅玫瑰日銷售量范圍在(μ-30,280)的概率是B．紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中C．白玫瑰日銷售量范圍在(240,+∞)D．白玫瑰日銷售量范圍在(320,+∞)【解題思路】利用正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可逐項判斷求解.A：根據(jù)P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826即可求解；B：根據(jù)紅玫瑰日銷售量的方差為302，白玫瑰的日銷售量的方差為402即可比較判斷；C【解答過程】對于A，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Nμ,σ∴對于紅玫瑰的銷量，若紅玫瑰日銷售量范圍在(μ-30,280)則&μ-30=μ-對于B，∵紅玫瑰日銷量的方差為900，小于白玫瑰日銷量的方差1600，∴紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中，故B正確；對于C，設(shè)白玫瑰日銷售量為X，X～Nμ2,則P==0.6826+1-0.68262=0.8413對于D，白玫瑰日銷售量范圍在(320,+∞)，即(280+40,+∞)的概率為故選：D．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022春·重慶九龍坡·高二階段練習(xí)）假設(shè)兩所學(xué)校的數(shù)學(xué)聯(lián)考成績（分別記為X，Y）均服從正態(tài)分布，即X～Nμ1,σ12，參考數(shù)據(jù)：若ξ～Nμ,A．μ1>μC．Pμ1-【解題思路】由圖可知μ1<μ由圖可知Y分布更集中，有σ12>由P(μ1由μ1<μ2可知，【解答過程】對A，由圖可知μ1<μ對B，由圖可知Y分布更集中，所以σ12>σ2對C，由正態(tài)分布，P(μ1則P(μ1-2對D，由圖可知，μ1<μ2，所以故選：CD.10．（4分）（2023·江蘇徐州·徐州市一模）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N1,32A．EX=1，DX=9 BC．PX>1=12 D．隨機(jī)變量【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布的定義求數(shù)學(xué)期望和方差求解A，再根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性可求解相應(yīng)的概率求解B,C，再根據(jù)變量關(guān)系的期望公式可求解D.【解答過程】因為X～N1,32,所以E因為PX>2=PX因為μ=1，所以PX>1因為2X+Y所以EY=故選:ABC.11．（4分）（2023春·福建泉州·高三階段練習(xí)）已知某地區(qū)有20000名同學(xué)參加某次模擬考試（滿分150分），其中數(shù)學(xué)考試成績X近似服從正態(tài)分布N90,σ2（參考數(shù)據(jù)：①P(μ-σ<X≤A．根據(jù)以上數(shù)據(jù)無法計算本次數(shù)學(xué)考試的平均分B．σ的值越大，成績不低于100分的人數(shù)越多C．若σ=15，則這次考試分?jǐn)?shù)高于120分的約有46D．從參加考試的同學(xué)中任取3人，至少有2人的分?jǐn)?shù)超過90分的概率為1【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布中μ,σ的意義判斷AB選項，根據(jù)σ=15計算對應(yīng)的概率求出人數(shù)判斷C，由獨立重復(fù)試驗計算至少有2人的分?jǐn)?shù)超過【解答過程】對A，根據(jù)正態(tài)分布知，數(shù)學(xué)考試成績X的平均值為90，故A錯誤；對B，根據(jù)N90,σ2(σ>0)中標(biāo)準(zhǔn)差的意義，σ的值越大則高于90分低于對于C，σ=15時，P故這次考試分?jǐn)?shù)高于120分的約有20000×0.02275=455人，故C錯誤；對D，由數(shù)學(xué)考試成績X近似服從正態(tài)分布N90,σ2由n次獨立重復(fù)試驗可知，從參加考試的同學(xué)中任取3人，至少有2人的分?jǐn)?shù)超過90分的概率為C32(1故選：BD.12．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）趙先生早上9：00上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行．趙先生從家到公交站或地鐵站都要步行5min．公交車多且路程近一些，但乘坐公交路上經(jīng)常擁堵，所需時間（單位：min）服從正態(tài)分布N33,42，下車后從公交站步行到公司要12min；乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需時間（單位：min）服從正態(tài)分布N44,2參考數(shù)據(jù)：若Z～Nμ,σ2，則A．若8：00出門，則乘坐公交上班不會遲到B．若8：02出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大C．若8：06出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大D．若8：12出門，則乘坐地鐵上班幾乎不可能不遲到【解題思路】利用正態(tài)分布的性質(zhì)以及正態(tài)分布在特殊區(qū)間的概率進(jìn)行計算求解.【解答過程】對于A，若8：00出門，趙先生乘坐公交的時間Z1不大于43min才不會遲到，因為乘坐公交所需時間（單位：min）服從正態(tài)分布N所以PZ1≤43所以PZ所以趙先生上班遲到還是有可能發(fā)生的，A不正確；對于B，若8：02出門，若乘坐地鐵，則乘坐時間Z2不大于48min才不會遲到，因為乘坐地鐵所需時間（單位：min）服從正態(tài)分布N所以P44-4<所以PZ所以趙先生乘坐地鐵上班不遲到的可能性為0.9772，若8：02出門，若乘坐公交，則乘坐時間Z1不大于41min才不會遲到，因為乘坐公交所需時間（單位：min）服從正態(tài)分布N所以P33-8<所以PZ1≤41對于C，若8：06出門，若乘坐公交，則乘坐時間Z1不大于37min才不會遲到，因為乘坐公交所需時間（單位：min）服從正態(tài)分布N所以P33-4<所以PZ若8：06出門，若乘坐地鐵，則乘坐時間Z2不大于44min才不會遲到，因為乘坐地鐵所需時間（單位：min）服從正態(tài)分布N所以PZ2≤44對于D，若8：12出門，趙先生乘坐地鐵的時間Z2不大于38min才不會遲到，因為乘坐地鐵所需時間（單位：min）服從正態(tài)分布N所以P44-6<所以PZ所以乘坐地鐵上班不遲到的可能性非常小，D正確．故選：CD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2023·高三課時練習(xí)）某校400名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績X服從正態(tài)分布，正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則成績X位于區(qū)間51,69的人數(shù)大約是273．【解題思路】由圖知：X～N60,92，利用3σ原則可求出

【解答過程】由題意可知：X～Nμ∵Pμ-σ∴成績X位于區(qū)間51,69的人數(shù)大約是400×0.6826≈273.故答案為：273.14．（4分）（2023·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X～N1,σ2，Y=2X+1【解題思路】根據(jù)隨機(jī)變量X～N1,σ2，由正態(tài)分布的性質(zhì)可得概率分布關(guān)于X=1對稱，又根據(jù)Y=2X【解答過程】解：由于隨機(jī)變量X～N1,且PX所以a+a-故答案為：5315．（4分）（2022春·山東威?！じ叨谥校┮阎S機(jī)變量X服從二項分布B（4，p），其期望E（X）=3，隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布N（1，2），若P(Y>0)=p，則P(0<Y<1)=0.25．【解題思路】根據(jù)X～B(4,p)，及E(X)=4p【解答過程】由X～B(4,p)則Y～N(1,2)故P(因此P(0<故答案為：0.25.16．（4分）（2022·高二單元測試）某品牌的一款純電動車單次最大續(xù)航里程X（千米）服從正態(tài)分布N(2000,102).任選一輛該款電動車，則它的單次最大續(xù)航里程恰在1970（千米）到2020（千米）之間的概率為0.9759.（參考公式:隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ【解題思路】由題意知X～N（2000，102），計算P（1970＜X＜2020）的值即可．【解答過程】由X～N（2000，102）知，則μ＝2000，σ＝10；所以P（1970＜X＜2020）＝P（μ﹣3σ＜X＜μ+2σ）＝P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）-12[P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）﹣P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ＝0.9974-12×＝0.9759．故答案為：0.9759．四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，并求出總體隨機(jī)變量的期望和方差.【解題思路】由正態(tài)曲線得到正態(tài)曲線關(guān)直線x=20對稱，最大值為12π，由此求出μ【解答過程】解：從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)直線x=20對稱，最大值為1所以μ=20由12π?所以概率密度函數(shù)的解析式為f(則總體隨機(jī)變量的均值為20，方差為(218．（6分）（2022·高二課時練習(xí)）設(shè)ξ服從N(3,4)(1)P(2)P(3)P(4)P【解題思路】正態(tài)分布區(qū)間上的概率，關(guān)于μ對稱,根據(jù)正態(tài)分布各區(qū)間概率的對稱性，以及概率和為1求解即可逐一求解.【解答過程】（1）因為ξ~N(3,2P=0.8413+0.6915-1=0.5328,（2）P=2×0.9998-1=0.9996（3）P(|ξ=1-Φ(-=1+Φ(1（4）P(ξ19．（8分）（2023·全國·高二專題練習(xí)）在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績X近似服從正態(tài)分布N（90，100）．(1)求考試成績X位于區(qū)間（70，110）內(nèi)的概率；(2)若這次考試共有20000名考生，估計考試成績在（80，100）之間的考生人數(shù)．注：Pμ-σ<X【解題思路】（1）根據(jù)題意，結(jié)合P(70<（2）求得P(80<X<100)=【解答過程】（1）解：因為X~N(90,100)所以P(70<即考試成績X位于區(qū)間70,110內(nèi)的概率約為0.9545．（2）解：因為P(80<所以20000×0.6827=13654，所以考試成績在80,100之間的考生大約有13654人．20．（8分）（2023·高二課時練習(xí)）已知隨機(jī)變量X～Nμ,σ2，且正態(tài)分布密度函數(shù)在(1)求參數(shù)μ、σ的值；(2)求P64≤X<72【解題思路】(1)由題意可得正態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對稱，又根據(jù)P(2)由Pμ-2σ≤X≤μ【解答過程】（1）由題意得，正態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對稱，即參數(shù)μ又P72≤X≤88≈68.27%（2）Pμ因為PX<64=PX又因為PX<72=所以P64≤21．（8分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10個零件，測量其內(nèi)徑的數(shù)據(jù)如下（單位：cm）：87

87

88

92

95

97

98

99

103

104設(shè)這10個數(shù)據(jù)的平均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ．(1)求μ與σ．(2)假設(shè)這批零件的內(nèi)徑Z（單位：cm）服從正態(tài)分布Nμ①從這批零件中隨機(jī)抽取10個，設(shè)這10個零件中內(nèi)徑大于107cm的個數(shù)為X，求D2X+1②若該車間又新購一臺設(shè)備，安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個零件，測量其內(nèi)徑分別為76，85，93，99，108（單位：cm），以原設(shè)備生產(chǎn)性能為標(biāo)準(zhǔn)，試問這臺設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試，說明你的理由．參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ,σ2【解題思路】（1）結(jié)合已知數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)公式和標(biāo)準(zhǔn)差公式求解即可，（2）①由Z服從正態(tài)分布N95,36，可得X～B10,0.0228，然后利用二項分布的性質(zhì)可求得D2X+1的值，②由Z【解答過程】（1）μ=σ2則σ=6（2）①∵Z服從正態(tài)分布N95,36∴PZ>107=∴DX=10×0.0228×∴D2②∵Z服從正態(tài)分布N95,36∴P77≤∴5個零件的內(nèi)徑中恰有一個不在μ-3σ∵76?77,113∴試生產(chǎn)的5個零件的內(nèi)徑就出現(xiàn)了1個不在μ-3σ,μ∴根據(jù)3σ22．（8分）（2023·全國·高三階段練習(xí)）某地推動鄉(xiāng)村振興發(fā)展，推廣柑橘種植，經(jīng)品種改良，農(nóng)民經(jīng)濟(jì)收入顯著提高.為了解改良效果，合作社工作人員在該農(nóng)村地區(qū)2000棵果樹抽取20棵測量果實平均直徑（單位：cm）.得到數(shù)據(jù)如下：7.11

7.35

6.93

7.11