第35練三角函數(shù)小題綜合練一、單項選擇題1．(★)(2024·齊齊哈爾模擬)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－3,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))等于()A.eq\f(2\r(13),13)B.－eq\f(2\r(13),13)C.eq\f(\r(5),5)D．－eq\f(\r(5),5)答案A解析由題意角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－3,2)，可得sinα＝eq\f(2,\r(－32＋22))＝eq\f(2\r(13),13)，由誘導(dǎo)公式得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＝sinα＝eq\f(2\r(13),13).2．(★)已知2eq\r(3)cosα－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝1，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))等于()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C．－eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(2\r(2),3)答案B解析因?yàn)?eq\r(3)cosα－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝1，即2eq\r(3)cosα－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosα＋\f(1,2)sinα))＝1，即eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(3,2)sinα＝1，即eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosα－\f(\r(3),2)sinα))＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝1，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)＋\f(π,2)))＝－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－1))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2－1))＝eq\f(1,3).3．(★)函數(shù)f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,3)))上的最小值為()A．－2B．－eq\r(2)C．－1D．－eq\f(\r(2),2)答案B解析由題意得，eq\f(π,2)ω＋eq\f(π,4)＝π＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝4k＋eq\f(3,2)(k∈Z)．又∵f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞增，∴eq\f(T,2)＝eq\f(π,ω)≥eq\f(π,2)，∴0<ω≤2，∴令k＝0，則ω＝eq\f(3,2)，則f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(π,4)))，∵－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,3)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(3,2)x＋eq\f(π,4)≤eq\f(3π,4)，∴－eq\f(\r(2),2)≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(π,4)))≤1，故f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,3)))上的最小值為－eq\r(2).4．(★)在西雙版納熱帶植物園中有一種原產(chǎn)于南美熱帶雨林的時鐘花，其花開花謝非常有規(guī)律．有研究表明，時鐘花開花規(guī)律與溫度密切相關(guān)，時鐘花開花所需要的溫度約為20℃，但當(dāng)氣溫上升到31℃時，時鐘花基本都會凋謝．在花期內(nèi)，時鐘花每天開閉一次．已知某景區(qū)有時鐘花觀花區(qū)，且該景區(qū)6時～14時的氣溫T(單位：℃)與時間t(單位：時)近似滿足函數(shù)關(guān)系式T＝25＋10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t＋\f(3π,4)))，則在6時～14時中，觀花的最佳時段約為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考數(shù)據(jù)：sin\f(π,5)≈0.6))()A．6.7時～11.6時 B．6.7時～12.2時C．8.7時～11.6時 D．8.7時～12.2時答案C解析當(dāng)t∈[6,14]時，eq\f(π,8)t＋eq\f(3π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(5π,2)))，則T＝25＋10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t＋\f(3π,4)))在[6,14]上單調(diào)遞增．設(shè)花開、花謝的時間分別為t1，t2，溫度分別為T1，T2.由T1＝20，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t1＋\f(3π,4)))＝－eq\f(1,2)，即eq\f(π,8)t1＋eq\f(3π,4)＝eq\f(11π,6)，解得t1＝eq\f(26,3)≈8.7；由T2＝31，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t2＋\f(3π,4)))＝0.6≈sineq\f(π,5)，即eq\f(π,8)t2＋eq\f(3π,4)≈eq\f(11π,5)，解得t2≈eq\f(58,5)＝11.6.故在6時～14時中，觀花的最佳時段約為8.7時～11.6時．5．(★★)(2024·雅安模擬)已知函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))＋4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,6)))，設(shè)?x∈R，?x0∈R，f(x)≤f(x0)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x0－\f(2π,3)))等于()A．－eq\f(4,3)B．－eq\f(3,4)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)答案B解析∵f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))＋4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,6)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))＋4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋4x＋\f(π,3)))，∴f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))－4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))，∴f(x)＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)－φ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(4,3)))，∴f(x)max＝5，∵?x∈R，?x0∈R，f(x)≤f(x0)，∴4x0＋eq\f(π,3)－φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x0－\f(2π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ＋φ))＝－eq\f(1,tanφ)＝－eq\f(3,4).6．(★★)(2024·杭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))≤\f(π,2))).若x＝－eq\f(π,3)為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，x＝eq\f(π,3)為函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸，且f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)，\f(π,2)))上有且只有一個極大值點(diǎn)，則ω的最大值為()A.eq\f(33,4)B.eq\f(39,4)C.eq\f(60,7)D．12答案A解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)ω＋φ＝k1π，,\f(π,3)ω＋φ＝k2π＋\f(π,2)))(k1，k2∈Z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω＝\f(32k＋1,4)，,φ＝\f(k′π,2)＋\f(π,4)，))其中k＝k2－k1，k′＝k1＋k2＝2k2－k，因?yàn)閨φ|≤eq\f(π,2)，當(dāng)k′＝－1時，φ＝－eq\f(π,4)，k＝2k2＋1，k2∈Z，當(dāng)k′＝0時，φ＝eq\f(π,4)，k＝2k2，k2∈Z，因?yàn)閒(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)，\f(π,2)))上有且只有一個極大值點(diǎn)，所以eq\f(π,2)－eq\f(π,10)＝eq\f(2π,5)≤2T＝eq\f(4π,ω)，解得0<ω≤10，即0<eq\f(32k＋1,4)≤10，所以－eq\f(1,2)<k≤eq\f(37,6)，當(dāng)k＝6時，ω＝eq\f(39,4)，φ＝eq\f(π,4)，此時eq\f(39,4)x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(49π,40)，\f(41π,8)))，此時有兩個極大值點(diǎn)，舍去；當(dāng)k＝5時，ω＝eq\f(33,4)，φ＝－eq\f(π,4)，此時eq\f(33,4)x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,40)，\f(31π,8)))，此時有一個極大值點(diǎn)，符合題意，所以ω的最大值為eq\f(33,4).二、多項選擇題7．(★)若函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋\f(π,4)))＋eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋\f(π,4)))，則()A．f(x)的最小正周期為eq\f(2π,5)B．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(11π,60)對稱C．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,60)，0))對稱D．將f(x)的圖象向右平移eq\f(π,5)個單位長度，得到函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(5π,12)))的圖象答案ABD解析依題意，f(x)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋\f(π,4)))＋\f(\r(3),2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋\f(π,4)))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋\f(π,4)＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋\f(7π,12)))，對于A，f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,5)，A正確；對于B，因?yàn)閒

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,60)))＝－2，因此函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(11π,60)對稱，B正確；對于C，因?yàn)閒

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,60)))＝－1≠0，因此f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,60)，0))對稱，C錯誤；對于D，將f(x)的圖象向右平移eq\f(π,5)個單位長度，得到函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(5π,12)))的圖象，D正確．8．(★)(2024·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是()A．f(x)的最小正周期為πB．φ＝eq\f(π,3)C．將曲線y＝f(x)向右平移eq\f(π,12)個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱D．若f(x)在區(qū)間(－a，a)上單調(diào)遞增，則0<a≤eq\f(π,6)答案AD解析由于eq\f(T,4)＝eq\f(11π,12)－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,2ω)，故ω＝2，T＝π，A正確；由于A＝2，則f(x)＝2cos(2x＋φ)，故f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－2，即eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ＝2kπ－eq\f(π,3)，k∈Z，而|φ|<eq\f(π,2)，故φ＝－eq\f(π,3)，B錯誤；由于f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，故將曲線y＝f(x)向右平移eq\f(π,12)個單位長度后得到g(x)＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))－\f(π,3)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝2sin2x的圖象，該圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，不關(guān)于y軸對稱，C錯誤；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))時，2x－eq\f(π,3)∈(－π，0)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))時，2x－eq\f(π,3)∈(0，π)．由于y＝cosx在(－π，0)上單調(diào)遞增，在(0，π)上單調(diào)遞減，故f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上單調(diào)遞減，故由f(x)在區(qū)間(－a，a)上單調(diào)遞增，得－eq\f(π,3)≤－a<0<a≤eq\f(π,6)，即0<a≤eq\f(π,6)，D正確．9．(★★)函數(shù)f(x)＝sinωx(ω>0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上單調(diào)，且其圖象關(guān)于直線x＝eq\f(2π,3)對稱，則()A．ω＝eq\f(3,4)B．將函數(shù)f(x)的圖象向右平移eq\f(2π,3)個單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱C．若函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(14π,9)))上沒有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,9)，\f(14π,9)))D．若函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(14π,9)))上有且僅有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)，0))答案ABD解析選項A，根據(jù)題意函數(shù)f(x)＝sinωx(ω>0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上單調(diào)，可以判斷為單調(diào)遞增，則－eq\f(π,2)≤－eq\f(π,2)ω，eq\f(π,2)ω≤eq\f(π,2)，解得0<ω≤1，又因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(2π,3)對稱，則eq\f(2π,3)ω＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得ω＝eq\f(3,4)＋eq\f(3k,2)，k∈Z，當(dāng)k＝0時，ω＝eq\f(3,4)，符合條件，A正確；選項B，由A可知f(x)＝sineq\f(3,4)x，向右平移eq\f(2π,3)個單位長度后得到圖象的解析式為g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x－\f(π,2)))＝－coseq\f(3,4)x，其圖象關(guān)于y軸對稱，B正確；選項C，若函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(14π,9)))上沒有最小值，則令t＝eq\f(3,4)x，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(14π,9)))，則t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a，\f(7π,6)))，當(dāng)－eq\f(π,2)≤eq\f(3,4)a<eq\f(7π,6)，即－eq\f(2π,3)≤a<eq\f(14π,9)時，沒有最小值，C錯誤；選項D，函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(14π,9)))上有且僅有2個零點(diǎn)，所以－π≤eq\f(3,4)a<0，即－eq\f(4π,3)≤a<0，D正確．10．(★★)(2023·福州模擬)已知x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[－2.1]＝－3，[2.1]＝2.若函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|sinx|，函數(shù)g(x)＝[f(x)]，則()A．函數(shù)g(x)是偶函數(shù)B．函數(shù)g(x)的值域是{0,1,2}C．函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱D．方程eq\f(π,2)·g(x)＝x只有一個實(shí)數(shù)根答案ABD解析由題意得，函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|sinx|的定義域?yàn)镽，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤π時，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx；當(dāng)π<x<2π時，f(x)＝sinx－sinx＝0；當(dāng)2π≤x≤3π時，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx；…所以函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，所以函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，所以函數(shù)g(x)的值域是{0,1,2}，故B正確；由函數(shù)g(x)的圖象得到g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以g(x)是偶函數(shù)，故A正確；由函數(shù)g(x)的圖象可知g(x)的圖象不關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱，故C不正確；對于方程eq\f(π,2)·g(x)＝x，當(dāng)g(x)＝0時，x＝0，方程有一個實(shí)數(shù)根；當(dāng)g(x)＝1時，x＝eq\f(π,2)，此時geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2≠1，此時方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)g(x)＝2時，x＝π，此時g(π)＝0≠2，此時方程沒有實(shí)數(shù)根，故方程eq\f(π,2)·g(x)＝x只有一個實(shí)數(shù)根，故D正確．三、填空題11．(★)(2024·武漢模擬)杭州第19屆亞洲運(yùn)動會于2023年9月23日至10月8日在中國浙江省杭州市舉行，本屆亞運(yùn)會的會徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號及象征亞奧理事會的太陽圖形六個元素組成(如圖)，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蘊(yùn)．已知該扇面呈扇環(huán)的形狀，內(nèi)環(huán)和外環(huán)均為圓周的一部分，若內(nèi)環(huán)弧長是所在圓周長的eq\f(1,3)，內(nèi)環(huán)所在圓的半徑為1，徑長(內(nèi)環(huán)和外環(huán)所在圓的半徑之差)為1，則該扇面的面積為__________．答案π解析設(shè)內(nèi)環(huán)圓弧所對的圓心角為α，因?yàn)閮?nèi)環(huán)弧長是所在圓周長的eq\f(1,3)，且內(nèi)環(huán)所在圓的半徑為1，所以α×1