第61練空間向量的概念與運算一、單項選擇題1．(★)給出下列命題：①將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓；②若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝b；③在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；④若空間向量a，b，c滿足a＝b，b＝c，則a＝c；⑤空間中任意兩個單位向量必相等．其中假命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案C解析對于①，根據(jù)空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構(gòu)成一個球面，故①為假命題；對于②，向量相等即模相等且方向相同，故②為假命題；對于③，根據(jù)正方體的定義，上、下底面的對角線必定相等，結(jié)合向量的方向，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，故③為真命題；對于④，根據(jù)向量相等的定義，明顯成立，故④為真命題；對于⑤，向量相等即模相等且方向相同，空間中任意兩個單位向量的方向不一定相同，故⑤為假命題．2．(★)已知在四面體ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則eq\o(MN,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)(－a＋b＋c) B.eq\f(1,2)(a＋b－c)C.eq\f(1,2)(a－b＋c) D.eq\f(1,2)(－a－b＋c)答案D解析連接AM，如圖，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N分別是BC，AD的中點，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝－eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)(－a－b＋c)．3．(★)已知向量a＝(1,0，eq\r(3))，單位向量b滿足|a＋2b|＝2eq\r(3)，則a，b的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)答案C解析因為a＝(1,0，eq\r(3))，所以|a|＝eq\r(12＋0＋\r(3)2)＝2.又|a＋2b|＝2eq\r(3)，所以|a＋2b|2＝12，即a2＋4a·b＋4b2＝12，所以4＋4a·b＋4＝12，則a·b＝1.所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,2×1)＝eq\f(1,2).又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(π,3).4．(★)(2024·廈門模擬)已知動點Q在△ABC所在平面內(nèi)運動，若對于空間中任意一點P，都有eq\o(PQ,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))＋5eq\o(PB,\s\up6(→))＋meq\o(CP,\s\up6(→))，則實數(shù)m的值為()A．0B．2C．－1D．－2答案B解析因為eq\o(PQ,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))＋5eq\o(PB,\s\up6(→))－meq\o(PC,\s\up6(→))，動點Q在△ABC所在平面內(nèi)運動，所以－2＋5－m＝1，解得m＝2.5．(★★)(2023·衡水模擬)平行六面體ABCD－A′B′C′D′的底面ABCD是邊長為2的正方形，且∠A′AD＝∠A′AB＝60°，AA′＝3，則線段BD′的長為()A.eq\r(6)B.eq\r(10)C.eq\r(17)D．2eq\r(3)答案C解析因為eq\o(BD′,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以|eq\o(BD′,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AA′,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA′,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AA′,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝22＋32＋22－2×2×3×cos60°－0＋2×3×2×cos60°＝17，所以|eq\o(BD′,\s\up6(→))|＝eq\r(17).6．(★★)(2023·杭州模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，M為棱PC上一動點，PM＝tPC，若∠BMD為鈍角，則實數(shù)t的值不可能為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)答案A解析以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)PA＝1，M(x，y，z)，故P(0,0,1)，C(1,1,0)，eq\o(PM,\s\up6(→))＝(x，y，z－1)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，由eq\o(PM,\s\up6(→))＝teq\o(PC,\s\up6(→))可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t，,z－1＝－t，))即M(t，t,1－t)，又因為∠BMD為鈍角，所以eq\o(MB,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))<0，由B(1,0,0)，D(0,1,0)，可知eq\o(MB,\s\up6(→))＝(1－t，－t，t－1)，eq\o(MD,\s\up6(→))＝(－t,1－t，t－1)，eq\o(MB,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))＝－t(1－t)－t(1－t)＋(t－1)2<0，整理得3t2－4t＋1<0，解得eq\f(1,3)<t<1.二、多項選擇題7．(★)給出以下命題，其中不正確的是()A．直線l的方向向量為a＝(1，－1,2)，直線m的方向向量為b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－\f(1,2)))，則l與m垂直B．直線l的方向向量為a＝(0,1，－1)，平面α的法向量為n＝(1，－1，－1)，則l⊥αC．平面α，β的法向量分別為n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，則α∥βD．平面α經(jīng)過三個點A(1,0，－1)，B(0，－1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，則u＋t＝1答案BCD解析對于A，∵a·b＝2－1－1＝0，∴a⊥b，∴l(xiāng)與m垂直，A正確；對于B，∵a與n不共線，∴直線l不垂直于平面α，B錯誤；對于C，∵n1與n2不共線，∴平面α與平面β不平行，C錯誤；對于D，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1,3,0)，由n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－1－u＋t＝0，n·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－1＋3u＝0，解得u＝eq\f(1,3)，t＝eq\f(4,3)，∴u＋t＝eq\f(5,3)，D錯誤．8．(★★)(2023·揚州模擬)在下列條件中，使M與A，B，C不一定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))答案ABD解析對于A，eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))，如圖，eq\o(OB′,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OA′,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))，由|eq\o(OB,\s\up6(→))|，|eq\o(OC,\s\up6(→))|，|eq\o(OM,\s\up6(→))|的關(guān)系不定，則A不一定在平面BCM上，滿足；對于B，eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，如圖，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DB′,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(DC′,\s\up6(→))，此時滿足上式，此時，M與A，B，C不共面，滿足；對于C，因為eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以M，A，B，C共面，不滿足；對于D,4(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))，如圖，4eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OA′,\s\up6(→))，4eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OM′,\s\up6(→))，2eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC′,\s\up6(→))，此時，M與A，B，C不共面，滿足．9．(★★)(2024·西安模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD是邊長為1的菱形，且∠ADC＝120°，PD＝AD，則()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(DA,\s\up6(→))＋\o(DC,\s\up6(→))))·eq\o(DP,\s\up6(→))＝1B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(DP,\s\up6(→))＋\o(DB,\s\up6(→))))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)C.eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)D.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)答案BD解析連接BD，如圖所示，因為PD⊥底面ABCD，所以PD垂直于平面ABCD內(nèi)的任何一條直線，因為四邊形ABCD是邊長為1的菱形，且∠ADC＝120°，所以△ABD和△BCD都是等邊三角形，(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DP,\s\up6(→))＝0，故A錯誤；(eq\o(DP,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(DP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0＋1×1×cos120°＝－eq\f(1,2)，故B正確；eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝(eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→)))＝eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(DP,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DP,\s\up6(→))＝0－eq\o(PD,\s\up6(→))2－|eq\o(DA,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|cos120°＋0＝－1＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)，故C錯誤；eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BD,\s\up6(→))＋\o(DP,\s\up6(→))))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(DP,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|cos120°＝－eq\f(1,2)，故D正確．10．(★★)(2023·威海模擬)已知空間三點A(1,3,2)，B(0,2,4)，C(3,4,5)，則下列說法正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3B.eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影向量的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－1))C．點C到直線AB的距離為eq\f(5\r(2),2)D．△ABC的面積為eq\f(5\r(3),2)答案ACD解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,1,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3,2,1)，因為eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1)×2＋(－1)×1＋2×3＝3，所以A正確；因為cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,\r(6)×\r(14))＝eq\f(\r(21),14)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影向量的坐標(biāo)為|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉·eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，所以B錯誤；eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影向量的長度d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋1)＝eq\f(\r(6),2)，故點C到直線AB的距離d′＝eq\r(|\o(AC,\s\up6(→))|2－d2)＝eq\f(5\r(2),2)，所以C正確；△ABC的面積S＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·d′＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(5\r(2),2)＝eq\f(5\r(3),2)，所以D正確．三、填空題11．(★★)(2023·深圳模擬)已知空間向量a，b是互相垂直的單位向量，且|c|＝5，c·a＝c·b＝2eq\r(2)，則對任意的實數(shù)m，n，|c－ma－nb|的最小值是________．答案3解析因為a，b互相垂直，所以a·b＝0，|c－ma－nb|2＝c2＋m2a2＋n2b2－2ma·c－2nb·c＋2mna·b＝25＋m2＋n2－4eq\r(2)m－4eq\r(2)n＝(m－2eq\r(2))2＋(n－2