專題四二次函數(shù)應(yīng)用題二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要內(nèi)容，是與高中銜接較緊密的內(nèi)容，運用二次函數(shù)處理實際問題是課標的規(guī)定，也是規(guī)定考生可以學(xué)以致用．二次函數(shù)應(yīng)用題常給出一種實際背景，根據(jù)問題背景列二次函數(shù)體現(xiàn)式，再運用體現(xiàn)式及二次函數(shù)的性質(zhì)解答問題．二次函數(shù)應(yīng)用題是青島市中考的必考題，每年中考試題第22題都是考察二次函數(shù)應(yīng)用題，其重要程度不言而喻．類型一二次函數(shù)利潤問題二次函數(shù)利潤問題是二次函數(shù)應(yīng)用題的?？碱愋?，本問題常根據(jù)問題中的某個量的增長或減少引起的變化狀況列函數(shù)體現(xiàn)式，進而運用最值問題求出增長或減少的量，然后處理其他問題．例1(·濟寧)某商店經(jīng)銷一種雙肩包，已知這種雙肩包的成本價為每個30元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種雙肩包每天的銷售量y(單位：個)與銷售單價x(單位：元)有如下關(guān)系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．設(shè)這種雙肩包每天的銷售利潤為w元．(1)求w與x之間的函數(shù)體現(xiàn)式；(2)這種雙肩包銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？(3)假如物價部門規(guī)定這種雙肩包的銷售單價不高于48元，該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價應(yīng)定為多少元？【分析】(1)每天的銷售利潤w＝每天的銷售量×每件產(chǎn)品的利潤；(2)根據(jù)配措施，可得答案；(3)根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．【自主解答】(1)w＝(x－30)·y＝(x－30)·(－x＋60)＝－x2＋90x－1800，因此w與x的函數(shù)體現(xiàn)式為w＝－x2＋90x－1800(30≤x≤60)．(2)w＝－x2＋90x－1800＝－(x－45)2＋225，∴當x＝45時，w有最大值，最大值為225.答：銷售單價定為45元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤是225元．(3)當w＝200時，可得方程－(x－45)2＋225＝200，解得x1＝40，x2＝50.∵50＞48，∴x2＝50不符合題意，應(yīng)舍去．答：該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價應(yīng)定為40元．1．(·黃島區(qū)一模)某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進時的單價是30元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時間內(nèi)銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲一元，就會少售出10件玩具．(1)設(shè)該種品牌玩具的銷售單價為x元，請你分別用含x的代數(shù)式來表達銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得的利潤W元；(2)在(1)問條件下，若商場獲得了10000元銷售利潤，求該玩具銷售單價x應(yīng)定為多少元？(3)在(1)問條件下，若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價不低于45元，且商場要完畢不少于480件的銷售任務(wù)，求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？解：(1)由題意得y＝600－(x－40)×10＝－10x＋1000.W＝(x－30)·y＝(x－30)(－10x＋1000)＝－10x2＋1300x－30000.(2)當W＝10000時，得10000＝－10x2＋1300x－30000，解得x1＝80，x2＝50.答：若商場獲得10000元銷售利潤，那么銷售單價應(yīng)定為80元或50元．(3)由題意得y＝－10x＋1000≥480，解得x≤52.又∵x≥45，∴45≤x≤52.W＝－10x2＋1300x－30000＝－10(x－65)2＋12250.∴當x＝52時，獲得的利潤最大，最大利潤為10560元．答：商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是10560元．類型二二次函數(shù)面積問題二次函數(shù)面積問題也是二次函數(shù)應(yīng)用題的?？碱愋?，本問題常根據(jù)問題中某條線段的長度變化列出與之有關(guān)的面積體現(xiàn)式，然后根據(jù)體現(xiàn)式的最值求出線段的長，再處理其他問題．例2為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶運用水庫的岸堤(岸堤足夠長)為一邊，用總長為80m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，并且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè)BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；(2)x為何值時，y有最大值？最大值是多少？【分析】(1)根據(jù)三個矩形面積相等，得到矩形AEFD的面積是矩形BCFE的面積的2倍，可得AE＝2BE，設(shè)BE＝a，則AE＝2a，用x表達出a與2a，進而求得y與x的關(guān)系式，再求出x的取值范圍；(2)將二次函數(shù)體現(xiàn)式化為頂點式即可．【自主解答】(1)∵三塊矩形區(qū)域的面積相等，∴矩形AEFD的面積是矩形BCFE的面積的2倍，∴AE＝2BE.設(shè)BE＝FC＝a，則AE＝HG＝DF＝2a，∴DF＋FC＋HG＋AE＋EB＋EF＋BC＝80，即8a＋2x＝80，∴當x＝20時，y有最大值，最大值為300.答：當x＝20m時，y有最大值，最大值為300m2.2．(·內(nèi)江)某中學(xué)課外愛好小組準備圍建一種矩形苗圃園，其中一邊靠墻，此外三邊用長為30m的籬笆圍成，已知墻長為18m(如圖所示)，設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為xm.(1)若苗圃園的面積為72m2，求x；(2)若平行于墻的一邊長不不不小于8m，這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎？假如有，求出最大值和最小值；假如沒有，請闡明理由；(3)當這個苗圃園的面積不不不小于100m2時，直接寫出x的取值范圍．解：(1)根據(jù)題意得(30－2x)x＝72，解得x＝3或x＝12.∵30－2x≤18，∴x＝12.(2)設(shè)苗圃園的面積為ym2，∴y＝x(30－2x)＝－2x2＋30x＝－2(x－)2＋.∵－2＜0，∴苗圃園的面積y有最大值，∴當x＝時，即平行于墻的一邊長為15m＞8m，y有最大值，最大值為m2.∵6≤x≤11，∴當x＝11m時，y有最小值，最小值為88m2.(3)由題意得－2x2＋30x≥100，解得5≤x≤10.∵30－2x≤18，∴x≥6，∴x的取值范圍是6≤x≤10.答：當這個苗圃園的面積不不不小于100m2時，x的取值范圍是6≤x≤10.類型三二次函數(shù)幾何問題二次函數(shù)幾何問題也是二次函數(shù)應(yīng)用題的?？碱愋?，此問題常借助于某個成二次函數(shù)關(guān)系的實物圖，建立平面直角坐標系求出實物圖的二次函數(shù)體現(xiàn)式，進而處理其他問題．例3(·金華)甲、乙兩人進行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分，如圖，甲在O點正上方1m的P處發(fā)出一球，羽毛球飛行的高度y(m)與水平距離x(m)之間滿足函數(shù)體現(xiàn)式y(tǒng)＝a(x－4)2＋h，已知點O與球網(wǎng)的水平距離為5m，球網(wǎng)的高度為1.55m.(1)當a＝－時，①求h的值；②通過計算判斷此球能否過網(wǎng)．(2)若甲發(fā)球過網(wǎng)后，羽毛球飛行到點O的水平距離為7m，離地面的高度為m的Q處時，乙扣球成功，求a的值．【分析】(1)①將點P(0，1)代入y＝－(x－4)2＋h即可求得h；②求出x＝5時y的值，與1.55比較即可得出判斷；(2)將(0，1)，(7，)代入y＝a(x