江西省吉安一中下學(xué)期2023屆高三4月校際聯(lián)合期中考試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖是計(jì)算值的一個(gè)程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A．B．C．D．2．函數(shù)的部分圖象大致是（）A． B．C． D．3．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．4．直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓x2a2+y2bA．3-1 B．3-12 C．5．函數(shù)（且）的圖象可能為（）A． B． C． D．6．函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是（）A． B． C． D．7．某校8位學(xué)生的本次月考成績(jī)恰好都比上一次的月考成績(jī)高出50分，則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績(jī)各自組成樣本，則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是（）A．方差 B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．平均數(shù)8．已知邊長(zhǎng)為4的菱形，，為的中點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則（）A．16 B．14 C．12 D．89．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．10．在中，，，，為的外心，若，，，則（）A． B． C． D．11．存在點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)M在第一象限，使得過點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．12．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則在軸上的截距為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線過且與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在第一象限，那么_______________．14．已知，則__________.15．點(diǎn)是曲線（）圖象上的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)的切線方程為，則實(shí)數(shù)k的值為______.16．已知平行于軸的直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）若在R上單調(diào)遞增，求正數(shù)a的取值范圍；（2）若f（x）在處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；（3）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)于任意，若，則直線與曲線有唯一公共點(diǎn)（注：當(dāng)時(shí)，直線與曲線的交點(diǎn)在y軸兩側(cè)）.18．（12分）已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.19．（12分）如圖，已知平面與直線均垂直于所在平面，且．（1）求證：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為橢圓上兩點(diǎn)，圓.（1）若軸，且滿足直線與圓相切，求圓的方程；（2）若圓的半徑為，點(diǎn)滿足，求直線被圓截得弦長(zhǎng)的最大值.21．（12分）如圖，在直角中，，，，點(diǎn)在線段上.（1）若，求的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，且，求的值.22．（10分）如圖，⊙的直徑的延長(zhǎng)線與弦的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，為⊙上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．求證：~．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可知該循環(huán)結(jié)構(gòu)循環(huán)了5次；輸出S前循環(huán)體的n的值為12，k的值為6，進(jìn)而可得判斷框內(nèi)的不等式．【詳解】因?yàn)樵摮绦驁D是計(jì)算值的一個(gè)程序框圈所以共循環(huán)了5次所以輸出S前循環(huán)體的n的值為12，k的值為6，即判斷框內(nèi)的不等式應(yīng)為或所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，根據(jù)結(jié)果填寫判斷框，屬于基礎(chǔ)題．2．C【解析】

判斷函數(shù)的性質(zhì)，和特殊值的正負(fù)，以及值域，逐一排除選項(xiàng).【詳解】，函數(shù)是奇函數(shù)，排除，時(shí)，，時(shí)，，排除，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，排除，符合條件，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題型，一般根據(jù)選項(xiàng)判斷函數(shù)的奇偶性，零點(diǎn)，特殊值的正負(fù)，以及單調(diào)性，極值點(diǎn)等排除選項(xiàng).3．A【解析】

用偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因?yàn)?所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,故可以排除;因?yàn)?故排除,因?yàn)橛蓤D象知,排除.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.4．A【解析】

由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點(diǎn)F，得到左焦點(diǎn)為再由FC=2CA，求得A3【詳解】由題意，直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F，令所以c=3，即橢圓的左焦點(diǎn)為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1)，所以，OF=因?yàn)镕C=2CA，所以FA=3又由點(diǎn)A在橢圓上，得3a由①②，可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求橢圓的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，即可得5．D【解析】因?yàn)?，故函?shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.6．C【解析】

先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立，對(duì)導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，則，故在上恒成立；結(jié)合圖象可知，，解得故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角(或)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解；(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.7．A【解析】

通過方差公式分析可知方差沒有改變，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知，中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績(jī)相比，成績(jī)和平均數(shù)都增加了50，所以沒有改變，根據(jù)方差公式可知方差不變.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本的數(shù)字特征，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.8．B【解析】

取中點(diǎn)，可確定；根據(jù)平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算法則可求得，利用可求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連接，，，即.，，，則.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求解問題，涉及到平面向量的線性運(yùn)算，關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M(jìn)行拆解，進(jìn)而利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解.9．B【解析】

根據(jù)拋物線定義得，即可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10．B【解析】

首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出，，即可求出的值.【詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線，垂足分別為，，，過分別做，的平行線，，由題知，則外接圓半徑，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，，由題可知，所以，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì)，正弦定理，平面向量分解定理，屬于一般題.11．D【解析】

根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎(chǔ)題.12．A【解析】

求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在處的切線方程，從而可求切線的縱截距.【詳解】，故，所以曲線在處的切線方程為：.令，則，故切線的縱截距為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距，注意直線的縱截距指直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因此截距有正有負(fù)，本題屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2【解析】

如圖所示，先證明，再利用拋物線的定義和相似得到.【詳解】由題得,.因?yàn)?所以,過點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E,設(shè)|BF|=m，|AF|=n，則|BN|=m，|AM|=n，所以|AE|=n-m，因?yàn)?所以|AB|=3(n-m)，所以3(n-m)=n+m，所以.所以.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14．【解析】

首先利用，將其兩邊同時(shí)平方，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式得到，從而求得，利用誘導(dǎo)公式求得，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，故答案?【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式，倍角公式，誘導(dǎo)公式，屬于簡(jiǎn)單題目.15．1【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由切線斜率為4即導(dǎo)數(shù)為4求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，再由切線方程得縱坐標(biāo)后可求得．【詳解】設(shè)，由題意，∴，，，即，∴，．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)圖象某點(diǎn)處的切線的斜率就是該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值．本題屬于基礎(chǔ)題．16．2【解析】

根據(jù)為等邊三角形建立的關(guān)系式，從而可求離心率.【詳解】據(jù)題設(shè)分析知，，所以，得，所以雙曲線的離心率.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求解，根據(jù)條件建立之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】

（1）需滿足恒成立，只需即可；（2）根據(jù)的單調(diào)性，構(gòu)造新函數(shù)，并令，根據(jù)的單調(diào)性即可得證；（3）將問題轉(zhuǎn)化為證明有唯一實(shí)數(shù)解，對(duì)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，結(jié)合題目條件與不等式的放縮，即可得證．【詳解】；令，則恒成立；，；的取值范圍是；（2）證明：由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；；令，；則；令，則；；；（3）證明：，，要證明有唯一實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即對(duì)于任意實(shí)數(shù)，一定有解；；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又；只需，在時(shí)恒成立；只需；令，其中一個(gè)正解是；，；單調(diào)遞增，，（1）；；；綜上得證．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了轉(zhuǎn)化思想、不等式的放縮，屬難題．18．（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得，由是減函數(shù)得，對(duì)任意的，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0，即可求出；（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當(dāng)時(shí)，，則，即，兩邊同除以得，，即，從而，兩邊取對(duì)數(shù)，然后再證明恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，，通過求導(dǎo)證明即可．【詳解】解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?由是減函數(shù)得，對(duì)任意的，都有恒成立.設(shè).∵，由知，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時(shí)取得最大值.又∵，∴對(duì)任意的，恒成立，即的最大值為.∴，解得.（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當(dāng)時(shí)，，∴，即.兩邊同除以得，，即.從而，所以①.下面證；記，.∴，∵在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，而，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，.∵，∴當(dāng)時(shí)，，即②.綜上①②可得，.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查了函數(shù)的最值，考查了構(gòu)造函數(shù)的能力，考查了邏輯推理能力與計(jì)算求解能力，屬于難題．，19．（1）見解析；（2）【解析】

（Ⅰ）證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平面⊥平面，∴平面又∵⊥平面∴∥,又∵平面∴∥平面（Ⅱ）∵平面∴，又∵∴∴∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，則∴平面∴∥，∴四邊形是矩形設(shè)，得：，又∵，∴，從而，過作于點(diǎn)，則∴是與平面所成角∴，∴與平面所成角的正弦值為考點(diǎn)：面面垂直的性質(zhì)定理；線面平行的判定定理；線面垂直的性質(zhì)定理；直線與平面所成的角．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的證明和直線與平面所成的角，屬立體幾何中的?？碱}型，較難．本題也可以用向量法來做：用向量法解題的關(guān)鍵是；首先正確的建立空間直角坐標(biāo)系，正確求解平面的一個(gè)法向量．注意計(jì)算要仔細(xì)、認(rèn)真．≌20．（1）（2）【解析】試題分析：（1）確定圓的方程，就是確定半徑的值，因?yàn)橹本€與圓相切，所以先確定直線方程，即確定點(diǎn)坐標(biāo)：因?yàn)檩S，所以，根據(jù)對(duì)稱性，可取，則直線的方程為，根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得（2）根據(jù)垂徑定理，求直線被圓截得弦長(zhǎng)的最大值，就是求圓心到直線的距離的最小值.設(shè)直線的方程為，則圓心到直線的距離，利用得，化簡(jiǎn)得，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結(jié)合韋達(dá)定理得，因此，當(dāng)時(shí)，取最小值，取最大值為.試題解析：解：（1）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，.因?yàn)檩S，所以，而直線與圓相切，根據(jù)對(duì)稱性，可取，則直線的方程為，即.由圓與直線相切，得，所以圓的方程為.（2）易知，圓的方程為.①當(dāng)軸時(shí)，，所以，此時(shí)得直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，，首先由，得，即，所以（*）.聯(lián)立，消去，得，將代入（*）式，得.由于圓心到直線的距離為，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，故當(dāng)時(shí)，有最大值為.綜上，因?yàn)?，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最大值為.考點(diǎn)：直線與圓位置關(guān)系21．（1）3；（2）.【解析】

（1）在中，利用正弦定理即可得到答案；（2）由可得，在中，利用及余弦定理得，解方程組即可.【詳解】（1）