東北大學(xué)考研數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列函數(shù)中，屬于有理函數(shù)的是：

A.\(f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}\)

B.\(g(x)=\sqrt{x-1}\)

C.\(h(x)=e^x\)

D.\(j(x)=\ln(x+1)\)

2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)關(guān)于y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是：

A.(2,3)

B.(3,2)

C.(-2,-3)

D.(-3,-2)

3.設(shè)向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec=(3,4,5)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)的值為：

A.14

B.15

C.16

D.17

4.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則下列等式中正確的是：

A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}=1\)

B.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{2x}=2\)

C.\(\lim_{x\to0}\frac{2\sinx}{x}=2\)

D.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}=2\)

5.設(shè)\(f(x)=x^3-6x^2+9x-1\)，則\(f'(1)\)的值為：

A.2

B.3

C.4

D.5

6.若\(\int_0^1f(x)\,dx=2\)，\(\int_1^2f(x)\,dx=3\)，則\(\int_0^2f(x)\,dx\)的值為：

A.5

B.4

C.3

D.2

7.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=2\)，\(a_3=8\)，則\(a_5\)的值為：

A.12

B.14

C.16

D.18

8.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，\(A^{-1}\)的值為：

A.\(\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}1&-2\\-3&4\end{bmatrix}\)

9.若\(\int_0^\pi\sin^2x\,dx=\frac{\pi}{2}\)，則\(\int_0^\pi\cos^2x\,dx\)的值為：

A.\(\frac{\pi}{2}\)

B.\(\pi\)

C.\(\frac{3\pi}{2}\)

D.2\pi

10.設(shè)\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)的值為：

A.1

B.2

C.3

D.4

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，哪些是連續(xù)函數(shù)：

A.\(f(x)=\frac{x}{x^2-1}\)

B.\(g(x)=\sqrt[3]{x}\)

C.\(h(x)=|x|\)

D.\(j(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

2.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，下列哪些矩陣與A是相似的：

A.\(B=\begin{bmatrix}1&4\\3&2\end{bmatrix}\)

B.\(C=\begin{bmatrix}1&2\\0&4\end{bmatrix}\)

C.\(D=\begin{bmatrix}1&2\\3&1\end{bmatrix}\)

D.\(E=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}\)

3.在下列積分中，哪些是奇函數(shù)的積分：

A.\(\int_0^\pi\sinx\,dx\)

B.\(\int_0^\pi\cosx\,dx\)

C.\(\int_0^\pix\sinx\,dx\)

D.\(\int_0^\pix\cosx\,dx\)

4.下列等式正確的有：

A.\(\int\frac{1}{x^2+1}\,dx=\arctanx+C\)

B.\(\int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C\)

C.\(\inte^x\,dx=e^x+C\)

D.\(\intx^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C\)

5.下列數(shù)列中，哪些是等比數(shù)列：

A.\(\{1,2,4,8,\ldots\}\)

B.\(\{1,3,9,27,\ldots\}\)

C.\(\{2,4,8,16,\ldots\}\)

D.\(\{3,6,12,24,\ldots\}\)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)\(f(x)=x^3-6x^2+9x-1\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)\)在\(x=2\)處的值為\(f'(2)=\_\_\_\_\_\_\)。

2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的第一項(xiàng)\(a_1=3\)，公差\(d=2\)，則第\(n\)項(xiàng)\(a_n=\_\_\_\_\_\_\)。

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(A(2,3)\)和\(B(4,5)\)的中點(diǎn)坐標(biāo)為\(\_\_\_\_\_\_\)。

4.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{x}=\_\_\_\_\_\_\)。

5.設(shè)矩陣\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(A\)的行列式\(\det(A)=\_\_\_\_\_\_\)。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算定積分\(\int_0^1(x^2-2x+1)\,dx\)。

2.解微分方程\(y'-3y=e^x\)，其中\(zhòng)(y(0)=1\)。

3.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，計(jì)算\(A\)的特征值和特征向量。

4.求函數(shù)\(f(x)=x^3-6x^2+9x-1\)的極值點(diǎn)。

5.計(jì)算空間向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)和\(\vec=(3,4,5)\)的叉積\(\vec{a}\times\vec\)。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.A。有理函數(shù)的定義是分子和分母都是多項(xiàng)式的函數(shù)。

2.B。對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是原點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

3.A。向量的點(diǎn)積公式是\(\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)。

4.A。根據(jù)極限的性質(zhì)，當(dāng)\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}=1\)。

5.C。利用導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)公式計(jì)算得到。

6.A。根據(jù)積分的線性性質(zhì)，將積分區(qū)間拆分后分別計(jì)算。

7.A。根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)計(jì)算。

8.A。相似矩陣的定義是存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)。

9.C。根據(jù)三角函數(shù)的積分公式和對(duì)稱(chēng)性計(jì)算。

10.A。根據(jù)極限的性質(zhì)，當(dāng)\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1\)。

二、多項(xiàng)選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.A,B,C。連續(xù)函數(shù)的定義是函數(shù)在定義域內(nèi)任意一點(diǎn)處都連續(xù)。

2.A,B,D。相似矩陣的定義是存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)。

3.A,C。奇函數(shù)的積分在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分值為0。

4.A,B,C,D。這些是基本的積分公式和求導(dǎo)公式。

5.A,B,C。等比數(shù)列的定義是相鄰兩項(xiàng)的比值是常數(shù)。

三、填空題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.\(f'(2)=2\)。利用導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)公式計(jì)算得到。

2.\(a_n=2n+1\)。根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)計(jì)算。

3.中點(diǎn)坐標(biāo)為\((3,4)\)。根據(jù)中點(diǎn)公式\(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\)計(jì)算。

4.\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{x}=1\)。根據(jù)極限的性質(zhì)和三角函數(shù)的極限值。

5.\(\det(A)=-2\)。利用行列式的計(jì)算公式計(jì)算得到。

四、計(jì)算題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.\(\int_0^1(x^2-2x+1)\,dx=\frac{1}{3}-1+1=\frac{1}{3}\)。根據(jù)定積分的計(jì)算公式計(jì)算。

2.\(y=e^x+\frac{1}{3}\)。利用微分方程的求解方法和初始條件計(jì)算得到。

3.特征值為\(\lambda_1=2\)，\(\lambda_2=2\)，特征向量為\(\vec{v_1}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)，\(\vec{v_2}=\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix}\)。利用特征值和特征向量的定義和計(jì)算方法得到。

4.極值點(diǎn)為\(x=1\)和\(x=3\)。利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和極值的定義計(jì)算得到。

5.\(\vec{a}\times\vec=\begin{bmatrix}3\\-3\\-3\end{bmatrix}\)。利用向量的叉積公式