專(zhuān)題1.5空間向量的應(yīng)用（一）：用空間向量研究直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系（舉一反三講義）【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1求平面的法向量】 2【題型2利用空間向量證明線(xiàn)線(xiàn)平行】 3【題型3利用空間向量證明線(xiàn)面平行】 4【題型4利用空間向量證明面面平行】 5【題型5利用空間向量證明線(xiàn)線(xiàn)垂直】 8【題型6利用空間向量證明線(xiàn)面垂直】 9【題型7利用空間向量證明面面垂直】 11【題型8平行、垂直綜合的向量證明】 13【題型9空間中位置關(guān)系的探索性問(wèn)題】 14知識(shí)點(diǎn)1空間中點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的向量表示1．空間中點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的向量表示(1)空間中點(diǎn)的位置向量：如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))來(lái)表示．我們把向量eq\o(OP,\s\up6(→))稱(chēng)為點(diǎn)P的位置向量．(2)空間中直線(xiàn)的向量表示式：直線(xiàn)l的方向向量為a，且過(guò)點(diǎn)A.如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))②，①式和②式都稱(chēng)為空間直線(xiàn)的向量表示式．(3)平面的法向量定義：【注】一個(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取平面的一個(gè)法向量.已知一平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量.【題型1求平面的法向量】【例1】（2425高二上·浙江杭州·期末）已知A(0,4,0),B(3,0,0),C(0,0,2)，則平面ABC的一個(gè)法向量可以為（

）A．(4,3,6) B．(?4,3,6) C．(4,?3,6) D．(4,3,?6)【變式11】（2425高二上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）已知點(diǎn)A0,0,0、B0,0,1、C1,1,0在平面α內(nèi)，則下列向量為平面αA．n=0,1,0 C．n=1,1,0 【變式12】（2425高二上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)A(?1,?0,?0),?A．(0,0,0) B．(?2,2,2)C．(1,1,?1) D．(?1,?1,1)【變式13】（2425高二上·陜西銅川·階段練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，以A．1,1,1 B．?1,1,1C．1,?1,1 D．1,1,?1知識(shí)點(diǎn)2用空間向量研究直線(xiàn)、平面的平行關(guān)系1．空間中直線(xiàn)、平面的平行(2)線(xiàn)面平行的向量表示：設(shè)u是直線(xiàn)l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.2．利用向量證明線(xiàn)線(xiàn)平行的思路：證明線(xiàn)線(xiàn)平行只需證明兩條直線(xiàn)的方向向量共線(xiàn)即可．3．證明線(xiàn)面平行問(wèn)題的方法：(1)證明直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線(xiàn)向量且直線(xiàn)不在平面內(nèi)；(2)證明直線(xiàn)的方向向量可以用平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量表示且直線(xiàn)不在平面內(nèi)；(3)證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直且直線(xiàn)不在平面內(nèi)．4．證明面面平行問(wèn)題的方法：(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行然后用向量共線(xiàn)進(jìn)行證明．【題型2利用空間向量證明線(xiàn)線(xiàn)平行】【例2】（2425高二上·河南·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知A1,2,3，B?2,?1,6，C3,2,1，D4,3,0，則直線(xiàn)AB與CD的位置關(guān)系是（A．異面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直【變式21】（2425高二上·吉林松原·階段練習(xí)）已知Ax,1,2,B3,y,0，若直線(xiàn)l的方向向量v=?1,?2,2與直線(xiàn)ABA．2 B．3 C．4 D．5【變式22】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，E為CP的中點(diǎn)，N為DE的中點(diǎn)，DM=14DB,DA=DP=1,CD=2

【變式23】（2425高二下·江蘇·課后作業(yè)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體OABC-?O1A1B1C【題型3利用空間向量證明線(xiàn)面平行】【例3】（2425高二上·上海·階段練習(xí)）若直線(xiàn)l的方向向量為r，平面α的法向量為n，能使l//α的是（

）A．r=1,?C．r=0,?【變式31】（2425高二上·四川遂寧·期中）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書(shū)中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬.如圖，在陽(yáng)馬P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，AH=λHP，CG=GP，若GH∥平面EFCA．3 B．4 C．5 D．6【變式32】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在四面體ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=22，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD【變式33】（2425高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B

(1)求平面ACD(2)線(xiàn)段B1C中點(diǎn)為點(diǎn)P，求證A1【題型4利用空間向量證明面面平行】【例4】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點(diǎn)．求證：(1)MN//平面PAD；(2)平面QMN//平面PAD．【變式41】（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F(xiàn)，G分別是線(xiàn)段PA，PD，CD的中點(diǎn)，求證：平面EFG//平面PBC．【變式42】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA

【變式43】（2425高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N，

(1)MN//平面C(2)平面MNP//平面C知識(shí)點(diǎn)3用空間向量研究直線(xiàn)、平面的垂直關(guān)系1．空間中直線(xiàn)、平面的垂直(2)線(xiàn)面垂直的向量表示：設(shè)u是直線(xiàn)l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.2．證明兩直線(xiàn)垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線(xiàn)的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線(xiàn)垂直．3．用坐標(biāo)法證明線(xiàn)面垂直的方法及步驟：(1)利用線(xiàn)線(xiàn)垂直：①將直線(xiàn)的方向向量用坐標(biāo)表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；③判斷直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)兩條直線(xiàn)的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量：①將直線(xiàn)的方向向量用坐標(biāo)表示；②求出平面的法向量；③判斷直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量平行．4．證明面面垂直的兩種方法：(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直、線(xiàn)線(xiàn)垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．【題型5利用空間向量證明線(xiàn)線(xiàn)垂直】【例5】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CA．平行 B．垂直 C．異面垂直 D．異面不垂直【變式51】（2425高二下·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在下列各正方體中，l為正方體的一條體對(duì)角線(xiàn)，M、N分別為所在棱的中點(diǎn)，則滿(mǎn)足MN⊥l的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式52】（2425高二上·北京·階段練習(xí)）如圖所示，MA⊥平面ABCD，底面ABCD邊長(zhǎng)為1的正方形，MA=2，P是MC上一點(diǎn)，且CP=(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并求點(diǎn)P坐標(biāo)；(2)求證：MB⊥DP.【變式53】（2425高二上·北京·期中）直三棱柱ABC?A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2(1)求BN的坐標(biāo)及BN的長(zhǎng)；(2)求證：A1【題型6利用空間向量證明線(xiàn)面垂直】【例6】（2425高二上·江蘇無(wú)錫·期中）已知u=3,a+b,a?ba,b∈R是直線(xiàn)l的方向向量，n=1,2,3是平面α的法向量，若l⊥α，則A．152 B．?32 C．6【變式61】（2425高二下·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知直線(xiàn)l是正方體體對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)，P,Q,R為其對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則下列正方體的圖形中滿(mǎn)足l⊥平面PQR的是（

）A．（1）（2） B．（1）（3）C．（1）（4） D．（2）（4）【變式62】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在直四棱柱ADD1A1?BCC1B1中，底面ADD1

【變式63】（2425高二下·全國(guó)·課堂例題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E為PC的中點(diǎn)，EF⊥BP于點(diǎn)F．求證：PB⊥平面EFD．

【題型7利用空間向量證明面面垂直】【例7】（2425高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖所示，△ABC是一個(gè)正三角形，EC⊥平面ABC，BD//CE，且CE=CA=2BD=2(1)求平面DEA的法向量；(2)求證：平面DEA⊥平面ECA．【變式71】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知四棱錐P?ABCD底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，側(cè)面PBC⊥底面(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.【變式72】（2425高二上·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，E為棱(1)求棱CC(2)證明：平面BCD1⊥【變式73】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面ABB1(1)求EF?(2)用向量法證明：平面BEA⊥平面A1【題型8平行、垂直綜合的向量證明】【例8】（2425高二上·河南·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D

A．BD1⊥平面B1EF C．A1C1∥平面B1EF【變式81】（2025·上海浦東新·三模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，A．MN與CC1垂直 B．MN與平面C．MN與DC平行 D．MN與平面BDA【變式82】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)用向量法證明：平面A1BD//平面(2)用向量法證明：MN⊥平面A1【變式83】（2425高二上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面PAD；(2)平面PCD⊥平面PBC．【題型9空間中位置關(guān)系的探索性問(wèn)題】【例9】（2025高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，等邊三角形ABC與直角梯形ABDE所在的平面垂直，BD∥AE,BD=2AE,AE⊥AB．(1)若F為CD的中點(diǎn)，求證：EF⊥平面BCD；(2)在線(xiàn)段AC上是否存在點(diǎn)N，使CD//平面BEN?若存在，求ANNC【變式91】（2425高二上·貴州·期中）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=CB=12AA1(1)設(shè)平面A1BQ∩平面ABC=l，若P為A1(2)設(shè)BP=λBA1，問(wèn)線(xiàn)段A1B上是否存在點(diǎn)P，使得【變式92】