18.2.3正方形課時(shí)練習(xí)

一.選擇題（共15小題）

1.如圖，△ABC是一個(gè)等腰直角三角形，DEFG是其內(nèi)接正方形，H是正方形的對角線交點(diǎn)；那么，由圖中

的線段所構(gòu)成的三角形中相互全等的三角形的對數(shù)為（）

A.12B.13C.26D.30

答案：C

知識點(diǎn)：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)

解析：

解答：解：設(shè)AB=3,圖中所有三角形均為等腰直角三角形，其中,斜邊長為1的有5個(gè)，它們組成10對

全等三角形；

斜邊長為后的有6個(gè),它們組成15對全等三角形；

斜邊長為2的有2個(gè)，它們組成1對全等三角形；

共計(jì)26對.

故選C.

分析：根據(jù)全等三角形的判定可以確定全等三角形的對數(shù)，由于圖中全等三角形的對數(shù)較多，可以根據(jù)斜邊

長的不同確定對數(shù)，可以做到不重不漏.本題考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的

性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏.

2.如圖所示，E.F分別是正方形ABCD的邊CD,AD上的點(diǎn)，且CE=DF,AE,BF相交于點(diǎn)0,下列結(jié)論

①AE=BF;②AEJ_BF;③AO=OE;④SAAOB=S四邊形DEOF中，錯(cuò)誤的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案：A

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)

解析：

解答：解：???四邊形ABCD是正方形，

CD=AD

VCE=DF

/.DE=AF

△ADE?△BAF

①AE=BF,SAADE=SABAF,ZDEA=zAFB,zEAD=zFBA

④SAAOB=S四邊形DEOF

???ZABF+zAFB=zDAE+ZDEA=90°

zAFB+zEAF=90°

.,.②AE_LBF一定成立.

錯(cuò)誤的結(jié)論是：③AO=OE.

故選A.

分析：根據(jù)四邊形ABCD是正方形及CE=DF,可證出△ADE叁△BAF,則得到：①AE=BF,以及△ADE和

△BAF的面積相等，得到；④SAAOB=S四邊形DEOF；可以證出NABO+zBAO=90°,則②AE^BF一定成

立.錯(cuò)誤的結(jié)論是：③AO=OE.本題考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性質(zhì).

3.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E為CD上一動點(diǎn)，AE交BD于F,過F作FH^AE于H,過H作

GH_LBD于G,下列有四個(gè)結(jié)論：①AF=FH,②NHAE=45。，③BD=2FG,④右CEH的周長為定值，其中

正確的結(jié)論有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

答案：D

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)

解析：

解答：解：（1）連接FC,延長HF交AD于點(diǎn)L,

BD為正方形ABCD的對角線,

zADB=zCDF=45°.

AD=CD,DF=DF,

△ADF2△CDF.

FC=AF,zECF=ZDAF.

???zALH+zLAF=90°,

zLHC+zDAF=90°.

???zECF=zDAF,

zFHC=zFCH,

/.FH=FC.

FH=AF.

zHAE=45°.

(3)連接AC交BD于點(diǎn)0,可知：I=2OA,

zAFO+zGFH=zGHF+zGFH,

zAFO=zGHF.

AF=HF,zAOF=ZFGH=90°,

AAOFMAFGH.

OA=GF.

BD=2OA,

BD=2FG.

(4)延長AD至點(diǎn)M,使AD=DM,過點(diǎn)C作CIllHL,則：LI=HC,

*艮據(jù)△MEC2△MIC,可得：CE=IM,

同理，可得：AL=HE,

/.HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.

??.ACEM的周長為8,為定值.

故(1)(2)(3)(4)結(jié)論都正確.

故選D.

分析：(1)作輔助線，延長HF交AD于點(diǎn)L,連接CF,通過證明小AD匡△CDF,可得：AF=CF,故需證

明FC=FH,可證：AF=FH;

(2)由FH±AE,AF二FH,可得：zHAE=45°;

(3)作輔助線，連接AC交BD于點(diǎn)0,證BD=2FG,只需證0A=GF即可，根據(jù)△A0匡&FGH,可證

OA=GF,故可證BD=2FG；(4)作輔助線，延長AD至點(diǎn)M,使AD=DM,過點(diǎn)C作CIllHL,則IL=

HC,可證AL=HE,再根據(jù)△MEG△MIC,可證：CI=IM,故小CEM的周長為邊AM的長，為定值.

解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)，在解題過程中要多次利用三角形全等.

4.一個(gè)圍棋盤由18x18個(gè)邊長為1的正方形小方格組成，一塊邊長為1.5的正方形卡片放在棋盤上，被這

塊卡片覆蓋了一部分或全部的小方格共有n個(gè)，則n的最大值是（）

A.4B.6C.10D.12

答案：D

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)

解析：

解答：解：；卡片的邊長為L5,二.卡片的對角線長為2<逑<3,

2

且小方格的對角線長也<1.5.

故該卡片可以按照如圖所示放置：

圖示為n取最大值的時(shí)候，n=12.

故選D.

分析：要n取最大值，就讓邊長為1.5的正方形卡片邊與小方格的邊成一定角度.本題考查的是已知正方形

邊長正方形對角線長的計(jì)算，旋轉(zhuǎn)正方形卡片并且找到合適的位置使得n為最大值，是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，四邊形ABCD是正方形，以CD為邊作等邊三角形CDE,BE與AC相交于點(diǎn)M,貝上AMD的度數(shù)

是（）

D

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)

解析：

解答：解：如圖，連接BD,

???zBCE=zBCD+ZDCE=90°+60°=150°,BC=EC,

zEBC=zBEC=-(180°-ZBCE)=15°

2

???ZBCM=-zBCD=45°,

2

zBMC=180°-(zBCM+zEBC)=120°,

zAMB=180°-zBMC=60°

AC是線段BD的垂直平分線，M在AC上，

ZAMD=zAMB=60°

故選B.

R

分析：連接BD,根據(jù)BD,AC為正方形的兩條對角線可知AC為BD的垂直平分線，所以NAMD=AMB,要

求NAMD,求NAMB即可.本題考查的正方形的對角垂直平分的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可以求得

NAMD=NAMB,確定AC和BD垂直平分是解題的關(guān)鍵.

6.在平面直角坐標(biāo)系中，稱橫.縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)，如下圖所示的正方形內(nèi)（包括邊界）整點(diǎn)的

個(gè)數(shù)是（）

A.13B.21C.17D.25

答案：D

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

解析：

解答：解：正方形邊上的整點(diǎn)為（0,3）、（1,2）、（2,1）、（3,0）、（4,5）、（5,4）、（6,

3）、（4,1）、（5,2）、（1,4）、（2,5）、（3,6）；

在其內(nèi)的整點(diǎn)有（1,3）、（2,2）、（2,3）、（2,4）、（3,1）、（3,2）、（3,3）、（3,

4）、（3,5）、（4,2）、（4,3）、（4,4）、（5,3）.

故選D.

分析：根據(jù)正方形邊長的計(jì)算，計(jì)算出邊長上的整點(diǎn)，并且根據(jù)邊長的坐標(biāo)找出在正方形范圍內(nèi)的整點(diǎn).本

題考查的是正方形四條邊上整點(diǎn)的計(jì)算，找到每條邊上整點(diǎn)變化的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

7.在同一平面上，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)到直線I的距離只取四個(gè)值，其中一個(gè)值是另一個(gè)值的3倍，這

樣的直線I可以有()

A.4條B.8條C.12條D.16條

答案：D

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)，?點(diǎn)到直線的距離

解析：

解答：解：符合題目要求的一共16條直線,

下圖虛線所示直線均符合題目要求.

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，一個(gè)值為另一個(gè)值的3倍，所以本題需要分類討論，①該直線切割正方形，確定

直線的位置；②該直線在正方形外,確定直線的位置.本題考查了分類討論計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，找到直線

的位置是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，正方形ABCD的邊長為1,E為AD中點(diǎn)，P為CE中點(diǎn)，F(xiàn)為BP中點(diǎn)，貝F至1」BD的距離等十

()

,0

C.正D.正

1216

答案：D

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；三角形的面積

解析：

解答：解：連接DP,

SABDP二SABDC-SADPC-SABPC

111「1

=---x41X—--XIX—

22224

_1

一8'

「F為BP的中點(diǎn)，,P至!]BD的距離為F至！]BD的距離的2倍.

???SABDP=2SABDF,

1

??SABDF-—-/

16

設(shè)F到BD的距離為h,

根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，SABDF=[xBDxh=々，

216

1

計(jì)算得：卜=華=或.

V216

~T

故選D.

A,--------W-------Q

B

分析：圖中，F(xiàn)為BP的中點(diǎn),所以SABDP=2SABDF,所以要求F到BD的距離，求出P到BD的距離即

可.本題考查的是轉(zhuǎn)化思想，先求三角形的面積，再根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，計(jì)算三角形的高，即F到

BD的距離.

9.搬進(jìn)新居后，小杰自己動手用彩塑紙做了一個(gè)如圖所示的正方形的掛式小飾品ABCD,彩線

BD.AN.CM將正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，AN與CM交于。點(diǎn).已

知正方形ABCD的面積為576cm2，則被分隔用處CON的面積為（）

A.96cm2B.48cm2C.24cm2D.以上都不對

答案：B

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；三角形的面積；相似三角形的判定與性質(zhì)

解析：

解答：解：找到CD的中點(diǎn)E,找到AD的中點(diǎn)F,連接CF,AE,

則CMIIEA,ANIIFC,ABOM-△BKA,

,BO_BM__j_

"BK~BA~2'

=-DKDF1

同理可證：——=——=-,

DODA2

故DK=KO=OB,

??.&BOCfflABOA的面積和為！正方形ABCD的面積,

3

CN=NB=AM=BM,

△OCN的面積為-△BOC和小BOA的面積和，

4

△OCN的面積為乎=48cm2,

12

故選B.

分析：先證明B0為正方形ABCD的對角線BD的g,再求證△CNO,ANBO,△AMO,ABMO的面積相

等，即^CON的面積為正方形面積的工.本題考查了正方形內(nèi)中位線的應(yīng)用，考查了正方形四邊均相等的

12

性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求證BO=-BD,AOCN的面積為-ABOC和^BOA的面積和.

34

10.如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于0點(diǎn)，在BD上截取BE=BC,連接CE,點(diǎn)P是CE上任

意一點(diǎn),PMLBD于M,PNLBC于N,若正方形ABCD的邊長為1,貝(JPM+PN=()

A.lB.叵C.9

D.1+V2

答案：C

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)，三角形的面積

解析:

解答：解：連接BP,作EH_LBC,則PM.PN分別為△BPE和^BCP的高,且底邊長均為1,

SABCE=1---SACDE，

2

/y

?.DE=BD-BE~&-1,△CDE中CD邊上的高為芋(血-1),

?.SCDE=CDX?(后一1)"一字;

C1C_V2

BCE-1---CDE-------，

24

又「SABCE-SABPE+SABPC=—>BC*(PM+PN)

2

PM+PN=2^x方立.

4'2

故選C.

分析：連接BP,PM.PN分別為△8「￡和小BCP的高，且底邊長均為1,因此根據(jù)面積計(jì)算方法可以求PM

+PN.本題考查的用求三角形面積的方法求三角形的高的轉(zhuǎn)化思想，考查正方形對角線互相垂直且對角線即

角平分線的性質(zhì)，面積轉(zhuǎn)換思想是解決本題的關(guān)鍵.

11.頂點(diǎn)為A(6,6),B(-4,3),C(-1,-7),D(9,-4)的正方形在第一象限的面積是

)

A.25B.36C.49D.30

答案：B

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；三角形的面積

解析：

解答：解：連接OA,

過A.D兩點(diǎn)的直線方程是上出=小心，即y=-3》+16,解得它與*軸的交點(diǎn)￡的橫坐標(biāo)是*=

-4-69-63

7.8,

3

同理求得過A.B兩點(diǎn)的直線方程是y=-+4.2,解得它與y軸的交點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是y=4.2,

SAOE=—x7.8x6=23.4,

A2

SAFO--x4.2x6=12.6,

A2

SAAOE+SAAFO=23.4+12.6=36,即頂點(diǎn)為A(6,6),B(-4,3),C(-1,-7),D(9,-4)的

正方形在第一象限的面積是36.

分析：根據(jù)正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線AD的方程，由方程式知AD與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，同理求得AB

與y軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，連接0A,再去求兩個(gè)三角形的面積，從而求得正方形在第一象限的面積.解答本

題要充分利用正方形的特殊性質(zhì).注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，利用直角三角形求面積，在本題

中，借助直線方程求的點(diǎn)E.F在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，據(jù)此解得所求三角形的邊長，代入面積公式求得結(jié)果.

12.ABCD是邊長為1的正方形，△BPC是等邊三角形，則^BPD的面積為（）

D.個(gè)

C-i

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；三角形的面積；等邊三角形的性質(zhì)

解析:

解答：解：△BPD的面積等于△BCP^ACDP面積和減去△BCD的面積

因此本題求解△BCP.ACDP面積和△BCD的面積即可,

SABCP4xlx#=#

224

SACDP=lxlxl=-

224

SABCD=—X1X1二。，

22

cV3,1l_x/3-l

…BPD=——I———-----------------

4424

故選B.

分析：根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，找到△BPD的面積等于△BCPfflACDP面積和減去△BCD的面積的等量關(guān)

系，并進(jìn)行求解.本題考查了三角形面積的計(jì)算，考查了正方形對角線平分正方形為2個(gè)全等的等腰直角三

角形.解決本題的關(guān)鍵是找到小BPD的面積等于△BCPfflACDP面積和減去△BCD的面積的等量關(guān)系.

13.如圖，正方形ABCD的面積為16,AABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線BD上有一

點(diǎn)P,使PC+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）

A.4B,273C.2V6D.2

答案：A

知識點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)

解析：

解答：解：

?.正方形ABCD,

/.AC±BD,0A=OC,

/.C.A關(guān)于BD對稱,

即C關(guān)于BD的對稱點(diǎn)是A,

連接AE交BD于P,

則此時(shí)EP+CP的值最小，

C.A關(guān)于BD又寸稱,

CP=AP,

EP+CP=AE,

,?等邊三角形ABE,

EP+CP=AE=AB,

■.正方形ABCD的面積為16,

/.AB=4,

EP+CP=4,

故選A.

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，推出C.A關(guān)于BD對稱，推出CP=AP,推出EP+CP=AE,根據(jù)等邊三角形性

質(zhì)推出AE=AB=EP+CP,根據(jù)正方形面積公式求出AB即可.本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱-最短問

題,等邊三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是確定P的位置和求出EP+CP的最小值是AE,題目

比較典型，但有一定的難度，主要培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

14.如圖是一張矩形紙片ABCD,AD=10cm,若將紙片沿DE折疊，使DC落在DA上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)

F,若BE=6cm,則CD=()

A.4cmB.6cmC.8cmD.lOcm

卷室?A

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；翻折變換(折疊問題)

解析:

解答：解：,.四邊形CEFD是正方形，AD=BC=10cm,BE=6cm,/.CE=EF=CD=10-6=4(cm).

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可輕松解答.

15.如圖，菱形ABCD中，NB=60°,AB=4,貝?。菀訟C為邊的正方形ACEF的周長為（）

A.14B.15C.16D.17

答案：C

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)

解析：

解答：解：.?.四邊形ABCD是菱形，」.ABuBC,?./B=60°,."ABC是等邊三角形一AC=AB=4，，正方形

ACEF的周長是AC+CE+EF+FA=4x4=16.

分析：根據(jù)正方形和菱形的性質(zhì)，即可輕松解答.

二.填空題（共5小題）

1.如圖所示，將五個(gè)邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放,其中點(diǎn)A、B、C、D分別是正方形對角線的

交點(diǎn)、如果有n個(gè)這樣大小的正方形這樣擺放，則陰影面積的總和是一cm2.

尸尸一n—1

答案：一

4

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；探索圖形規(guī)律

解析：

解答：解：?.?點(diǎn)A、B、C、D分別是正方形對角線的交點(diǎn)

???兩個(gè)三角形之間的陰影面積為正方形總面積的工，

4

即Lxlxl=l,

44

11?

當(dāng)有三個(gè)三角形時(shí)，其面積為:+-=-

444

1113

當(dāng)有四個(gè)時(shí)，其面積為:+-+-=v

4444

.__n—1

所以當(dāng)n個(gè)三角形時(shí)，其面積為一.

4

故答案為72之—丁1.

4

分析：求面積問題，因?yàn)辄c(diǎn)A、B、C、D分別是正方形對角線的交點(diǎn)，所以兩個(gè)三角形之間的陰影面積為正

方形總面積的工,由此便可求解.熟練掌握正方形的性質(zhì)，會運(yùn)用正方形的性質(zhì)進(jìn)行一些簡單的計(jì)算問題.

4

2.如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)0為原點(diǎn)，0A所在的直線為x軸，0C所在的直線為y軸,建立平面直角坐

標(biāo)系、已知0A=3,0C=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),在0A上取一點(diǎn)D,將小BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC

邊上的點(diǎn)F處，若在y軸上存在點(diǎn)P,且滿足FE=FP,則P點(diǎn)坐標(biāo)為.

答案：（0,4）或（0,0）

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)

解析：

解答：解：連接EF,?二0A=3,0C=2,AAB=2,

???點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，BE=1,

BF=AB，：.CF=BE=1,

■/FE=FP,RtAFCPvRtAFBE,

PC=BF=2,

：P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)或(0,0),

即圖中的點(diǎn)P和點(diǎn)P'.

故答案為：(0,4),(0,0)

分析：連接EF,CF=BE=1,若EF=FP,顯然RtAFCP&RtAFBE,由此確定CP的長.本題考查了三角形

翻折前后的不變量，利用三角形的全等解決問題.

3.如圖，邊長為a的正方形ABCD和邊長為b的正方形BEFG排放在一起，Oi和。2分別是兩個(gè)正方形的中

心，則陰影部分的面積為，線段。1。2的長為

E

答案：-ab-V2(?2+*4Z?2)

42

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)

解析：

解答：解：做OiHlIAE,使02HJ_0IH，交BG于P,K點(diǎn)，

(l)BP/,

X-.O2H±HOI,

/.KPIIH02,

APKOL△HO2O1,

,KP_POi_a

-Holho[~a+b'

ab-aab-a2

KP=------x-------=-----------,

a+b22(a+b)

1

門口目一7八AA—E1?/za+b、1aab-aa+b

陰影部分的面積t7xBKx=-xr-+——工nx—丁

22222(〃+/?)2

_2ab_ab

~-Tz

根據(jù)勾股定理。1。2=7W+M

_7a2+b2

一~2

=--\/2(?2+Z?2).

2

故答案為:—ab；—,2(礦+b").

42

分析：陽影部分的面積可以看成兩個(gè)三角形面積之和，所以求2個(gè)三角形面積即可；線段0。2的長根據(jù)勾

股定理求解.本題考查的相似三角形的證明即對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，考查了根據(jù)勾股

定理計(jì)算直角三角形斜邊的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形H0Q2.

4.已知正方形ABCD在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)A(0,1)，點(diǎn)B(0,0)，則點(diǎn)C,D坐標(biāo)分別為

和.(只寫一組)

答案：(1,0)和(1,1)

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

解析：

解答：解：；正方形ABCD的點(diǎn)A(0,1)，點(diǎn)B(0,0),

BDllx軸，ACIIx軸,這樣畫出正方形，即可得出C與D的坐標(biāo)，

分別為：C(1,0),D(l,1).

故答案為：(1,0),(1,1).

—W____________>

Ox

分析：首先根據(jù)正方形ABCD的點(diǎn)A(0,1)，點(diǎn)B(0,0),在坐標(biāo)系內(nèi)找出這兩點(diǎn)，根據(jù)正方形各邊相

等，從而可以確定C,D的坐標(biāo).本題主要考查了正方形的性質(zhì)與坐標(biāo)內(nèi)圖形的性質(zhì)，確定已知點(diǎn)的坐標(biāo)，

從而根據(jù)正方形的性質(zhì)，確定其它頂點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵.

5.如圖，在一個(gè)正方形被分成三十六個(gè)面積均為1的小正方形，點(diǎn)A與點(diǎn)B在兩個(gè)格點(diǎn)上.在格點(diǎn)上存在

點(diǎn)C,使^ABC的面積為2，則這樣的點(diǎn)C有個(gè).

答案：5

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；三角形的面積

解析：

解答：解：圖中標(biāo)出的5個(gè)點(diǎn)均為符合題意的點(diǎn).

故答案為5.

分析：要使得△ABC的面積為2,即S=』ah,則使得a=2、h=2或者a=4、b=1即可，在圖示方格紙中

2

找出C點(diǎn)即可.本題考查了正方形各邊長相等的性質(zhì)，考查了三角形面積的計(jì)算公式，本題中正確地找全C

點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，考生容易漏掉一個(gè)或者幾個(gè)答案.

三.解答題（共5小題）

1.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)0,AF平分NBAC,交BD于點(diǎn)F.

(1)求證:AB-OF=-AC；

2

(2)點(diǎn)Ai、點(diǎn)Ci分別同時(shí)從A、C兩點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度運(yùn)動相同的時(shí)間后同時(shí)停止,如圖，AiFi平分

NBAiCi,交BD于點(diǎn)Fi,過點(diǎn)％作FiE±AiCi,垂足為E,請猜想EFi,AB與;AG三者之間的數(shù)量關(guān)系，

并證明你的猜想；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)AiEi=6,CiEi=4時(shí)，貝(JBD的長為.

答案：(1)見解析(2)AB-EF1=lAiCi(3)7V2

2

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理

解析：

解答：解：

(1)過F作FG，AB于G,

???AF平分NCAB,FO±AC,FG±AB,

..OF=FG,

zAOF=NAGF=90。，AF=AF,OF=FG,

/.△AOF這△AGF,

/.AO=AG,

直角三角形BGF中，NDGA=45°,

FG=BG=OF,

AB=AG+BG=AO+OF=1AC+OF,

2

/.AB-OF=1AC.

2

(2)過Fi作FiGi±AiB，過Fi作FiHi±BCi,則四邊形F1G1BH1是矩形.

同(1)可得EFi=FiG,因此四邊形FiGiBHi是正方形.

EFi=GFi=FiHi,

即：％是三角形AiBQ的內(nèi)心，

EFi=(AiB+BCi-A1C1)4-2...?

「AiB+BCi—AB+AiA+BC-CCi,而CCi=AiA,

AiB+BCi=2AB,

因此①式可寫成：EFi=(2AB-AiCi)：2,

即AB-EFl=lAiCi

2

(3)由(2)得，F(xiàn)i是三角形AiBCi的內(nèi)心,且Ei、Gi、Hi都是切點(diǎn).

AiE=(AiCi+AiB-BCi)4-2,

如果設(shè)CCi=AiA=x,

AiE=[AiCi+(AB+x)-(AB-x)]4-2=(10+2x)4-2=6,

x=1,

在直角三角形AiBQ中，根據(jù)勾股定理有A^2+BC/=AC?，

即：(AB+1)2+(AB-1)2=100,

解得AB=7,

BD=7加.

分析：(1)可通過構(gòu)建全等三角形來求解，過F作FGLAB于G,那么可通過角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距

離相等得出OF=FG,通過全等三角形AOF和AGF可得出AO=AG,那么AB=AO+OF,而AC=20A,由

此可得證；

(2)本題作輔助線的方法與(1)類似，過％作F￡i_LAB,%HiJ_BC,那么可證得四邊形RGiB%是正方

形,EFi=FiGi=FH,那么可得出Fi就是三角形A1BQ的內(nèi)心，根據(jù)直角三角形的內(nèi)心公式可得出EFi=

(AiB+BQ-AiCi)4-2,然后根據(jù)用AB分別表示出AiB,BCi,最后經(jīng)過化簡即可得出AB-EFi=lAiCi；

2

(3)求BD的長，首先要求出AB的長，本題可借助(2)中，F(xiàn)i是三角形AiBQ的內(nèi)心來解，那么我們不

難看出E,Gi,Hi都應(yīng)該是切點(diǎn)，根據(jù)切線長定理不難得出AiE+A￡i=AiCi+AiB-CiE-BGi,由于QE=

CiHx,BGi=BHi,AiE=A￡i因此式子可寫成2AiE=AiCi+AiB-BQ,而(AiB-BCi)正好等于2AiA,由

此可求出AiA的長，那么可根據(jù)勾股定理用AB表示出兩條直角邊，求出AB的長,然后即可得出BD的值.

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)接圓與內(nèi)心等知識點(diǎn)，要注意的是后兩問中，結(jié)合圓的知識來解

會使問題更簡單.

2.已知：如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CB的延長線上一點(diǎn)，且EA±AF.求證：DE

=BF.

答案：見解析

知識點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)

解析：

解答：

證明:zFAB+zBAE=90。，NDAE+NBAE=90°,

zFAB=zDAE,

zAB=AD,NABF=NADE,

△AFB2△ADE,

DE=BF.

分析：由同角的余角相等知，NFAB=NDAE,由正方形的性質(zhì)知，NAB=AD,NABF=NADE=90。，貝

ASA證得△AFB&AADE今DE=BF.此題即考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算又考查了正方形的性質(zhì).學(xué)生對學(xué)過的知識要

系統(tǒng)起來.

3.如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊DC、BC±,AG±EF,垂足為G,且AG=AB,貝！UEAF為多少

答案：45°

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)

解析：

解答:解:在RMABF與RSAGF中，AB=AG,AF=AF,NB=NG=90。，

..?△ABF0△AGF(HL),

zBAF=zGAF,

同理易得：△AGE'△ADE,有NGAE=zDAE;

即NEAF=zEAG+zFAG=lzDAG+lzBAG=lzDAB=45°,

222

故NEAF=45°.

分析：根據(jù)角平分線的判定，可得出△ABF?AAGF,故有NBAF=zGAF,再證明AGE叁△ADE,有NGAE

=zDAE;所以可求NEAF=45°.主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定.

4.如圖，正方形ABCD中，AB=V^，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且NBAE=30°,NDAF=15度.

(1)求證:DF+BE=EF;

(2)求NEFC的度數(shù)；

(3)求^AEF的面積.

答案：(1)見解析(2)30°(3)3-V3

知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)

解析：

解答：解：(1)延長EB至G,使BG=DF,連接AG,

?.正方形ABCD,

AB=AD,zABG=NADF=NBAD=90°,

BG=DF,

△ABGMAADF,

AG