數(shù)學(xué)第5期：三角形

重點知識回顧

知識點1三角形中的特殊線段及直線

特殊線

圖形重要結(jié)論

段值線

A

4

l.ZADB=ZADC=90°;

高線BDC

2.S^ABC--BC-AD.

AD是△48C的高2

線

Al.ZBAD=ZDAC=^ZBAC;

A

2.三角形三條角平分線的交點為三角形的內(nèi)心（三角形內(nèi)

角平分

BDC

切圓的圓心），內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.

線

AD是△45C的角

【適用情況】常過角平分線上的點作兩條鄰邊的垂線，構(gòu)

平分線

造全等三角形解題.

4

小l.BD=DC=^BC;

中線BDC

AD是△48C的中2.32\/8/）=品/0廣5s△/3c（中線平分二角形面積）.

線

\.AD=DB,AE=EC;

A

2.中位線平行且等于底邊的一半，即DE//BC且DE=-BC.

2

【適用情況】當(dāng)三角形中遇到中點時，常構(gòu)造三角形中位

中位線BC

線，進一步利用其證明線段平行或倍分問題，可簡單地概

DE是LABC的中

括為“已知中點找中位線”;在平行四邊形或菱形中邊上有

位線

中點時，常連接中點與對角線的交點構(gòu)成中位線.

知識點2特殊三角形的性質(zhì)及判定

圖形名稱性質(zhì)

性質(zhì)

L全等三角形的對應(yīng)邊相等;

2.全等三角形的對應(yīng)角相等；

3.全等三角形的對應(yīng)邊上的高線、中線、角平分線相等，對應(yīng)周長、面積相等.

判定

三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（基本事實）.

SSSZ（邊x邊邊）

z\兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（基本事實）.

SAS（邊角邊）

兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（基本事實）.

ASA（角邊角）

A兩角及其一角所對的邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（基本事實）.

AAS（角角邊）

k一條直角邊和斜邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（基本事

k實）.

HL

判定思路

1.找夾角相等一SAS；

已知兩對等邊2.找直角一HL或SAS；

3.找第三邊相等一SSS.

已知一對等邊和一1.邊為角的對邊一找任意一對等角一AAS；

對等角2.邊為角的鄰邊：①找等角的另一鄰邊相等一SAS;

②找等邊的另一鄰角相等一ASA;

③找等邊的對角相等一AAS.

1.找夾邊相等一ASA；

已知兩對角相等

2.找其中一角的對邊相等一AAS.

知識點4相似三角形性質(zhì)、判定及判定思路

性質(zhì)

1.相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；

2.相似三角形的對應(yīng)高線的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；

3.相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

判定

1.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

2.兩角分別相等的兩個三角形相似；

3.兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似；

4.三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；

5.兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.

判定思路

有平行線用平行線的性質(zhì)，找角相等

1.另一對角相等；

有一對角

2.該角的兩邊對應(yīng)成比例.

1.夾角相等；

有兩邊對應(yīng)成

2.第三邊也對應(yīng)成比例；

比例

3.有一對直角.

1.一對銳角相等；

直角三角形中

2.斜邊、直角邊對應(yīng)成比例.

1.頂角相等；

等腰三角形中2一.對底角相等；

3?底和腰對應(yīng)成比例

知識點5常見的相似三角形圖形

AA

A

模型吟

展示B乙-

正A字型斜A字型

模型

有共用的一組角并且有另外一組角相等，形似“字母A”

特點

解題

找同側(cè)的一組相等角找異側(cè)的一組相等角

思路

AB13

模型三

展示DC

正8字型斜8字型

模型

有一組角為對頂角，并且有另外一組角相等，形似“數(shù)字8”

特點

解題

找對頂角之外的另一組角相等，或?qū)斀堑膬蛇厡?yīng)成比例

思路

一線三等角

I)

模型

展示

APBAPBAPB

模型

Z1=Z2=Z3,AAPCsABDP

特點

1.找平角180°；

解題

2.再找內(nèi)角和180。；

思路

3.結(jié)合條件中的等角，得到另一組等角.

手拉手

A/

模型

展示沐

BCDBCD

模型1.有公共點（點C）的兩對等線段（ZC=5C,CE=CD）,兩對線段的夾角相等（。）；

特點2.LBCE/AACD,/\BCA^/\ECD.

解題1.補拉手線（連接Z。，BE）;

思路2.構(gòu)造另一個三角形（連接CE,AC）.

知識點6特殊的銳角三角函數(shù)值

示意圖

J3

1A1

a30°45°60°

j_V3

sina

2~2V

V3V2j_

cosa

~2~22

V3

tana1V3

V

知識點7銳角三角函數(shù)實際應(yīng)用模型分析

圖形示例總結(jié)

圖①，作4DL8C,構(gòu)造RtZXZBD和Rt^ZCQ求解.

~

BDCBEFC圖②，作ZEL8C,DFLBC,構(gòu)造Rt44B￡和Rt△。bC

圖①圖②求解.

背靠背型

不

c圖①，圖②，作構(gòu)造Rt^ZCD和RtZk8C。求

解.

ABM

圖③，作CEL/5,構(gòu)造Rt^/CE和RtZ\ZQ5求解.

圖①圖②

---

圖③

母子型

DD

圖①，分別解R5BC和RtABCD求解.

BCBC(F)E

圖②，作構(gòu)造Rt△ZGD和矩形Z8EG,分別

圖①圖②解三個直角三角形求解.

擁抱型

易錯提示

易錯點1:三角形中線的性質(zhì)以及拓展知識點：邊的等分點與面積，很多同學(xué)不知道怎么

處理，通用做法是列方程（組）解決.

易錯點2:三角形高線分類討論，總是忽略三角形外部的高線.

易錯點3:三角形三邊之間的不等關(guān)系，注意其中的“任意兩邊”，它也是求最短距離的

方法之一

易錯點4:三角形的內(nèi)角和，三角形的分類及三角形內(nèi)外角的性質(zhì)，特別關(guān)注外角性質(zhì)中

的推論，三角形的外角一定大于與它“不相鄰”的任何一個內(nèi)角.

易錯點5:全等三角形的判定：要注意“邊邊角”相等的兩個三角形不一定全等，整理時

要能舉出反例.

易錯點6:等腰三角形存在性的分類討論，要想不漏解，用“兩圓一線”能解決.

易錯點7:直角三角形存在性的分類討論，用“兩線一圓”能解決.

易錯點8:直角三角形的判定方法：除了定義和勾股定理逆定理，還可以用矩形的性質(zhì)，

直徑所對的圓周角是直角（90°）等用來證明直角.

易錯點9:三角函數(shù)的定義中對應(yīng)線段的比經(jīng)常出錯，要注意對應(yīng)字母書寫正確.

原創(chuàng)題練習(xí)

1.（2024浙江黑白卷）在△45C中，AD,NE是8c邊上的高線和中線，4F是NA4c的平

分線，下列結(jié)論一定成立的是（）

A.AD^AEB.AD^AE

C.AFWAED.AF^AE

2.如圖，是△4BC的中位線，點尸在。8上，DF=2BF.連接EE并延長，與C8的

延長線相交于點若8c=6,則線段C”的長為（

第2題圖

D.8

3.（2024江蘇徐州黑白卷）在△NBC和△。斯中，ZABC=ZDEF=30°,AB=DE=6,

AC=DF,已知8c的長為4舊，則E尸的長為（）

A.V3B.4V3C.舊或4舊D.2百或4班

4.如圖，已知△ZBC中，ZC=90°,AC=2CB=8,。是ZC上一點，ZCBD=ZA,

則sinZCDB的值為.

第4題圖

5.如圖，在四邊形45CO中，點￡是BC上一點，連接NE,DE,若/B=/C=/AED

=60°,DE=4,且8￡=CO,則的面積為

第5題圖

6.（2024安徽黑白卷）如圖，巡邏船和漁船從港口Z出發(fā)，巡邏船向港口2的正西方向

航行，漁船向港口Z的北偏東48。方向航行，漁船航行20海里到達C處時發(fā)生故障求

救，巡邏船在8處收到漁船的求救信號，此時漁船在巡邏船的北偏東75°方向上，求5,

C之間的距離.（結(jié)果精確到0.1海里）參考數(shù)據(jù)：sin42。^0.67,cos42°^0.74,tan

42°心0.90,sin15°^0.26,cos15°^0.97,tan15°^0.27.

北

第6題圖

答案解析

1.A【解析】..Z。是8c邊上的高線，.?.4Ca8C由垂線段最短可得，一定不大

于ZE,AF,A選項符合題意，B,C,D選項不符合題意.

2.C【解析】是△NBC的中位線，：.DE//BC,DE=；BC=；x6=3,:.ADEFs

叢BMF,.?.竺=竺=亞=2,:.BM=),CM=BC+BM^—.故選：C.

BMBFBF22

3.D【解析】如解圖①，過點/作2朋」8c于點〃，?.,N48C=30°,AB=6,：.AM

=3,BM=343.'：BC=4V3,:.CM=BC—BM=?.,.ZC=JaM2+CM2=2g.分情

況討論：①當(dāng)△48Cm△DEE時，EFi=BC=4痘;②當(dāng)△4BC與△DEB不全等時，

如解圖②，過點。作QNLEE于點N,VZDEF2=ZABC=30°,DE=6,：.DN=3,

EN=3W.。：DF?=AC=2W,：,尸小=QDF"DN?=V5,EF2=EN~FiN=3V3—V3=

2百.綜上所述，￡廠的長為或4百.

AD

‘JE」

CE

MF2N

圖①圖②

第3題解圖

4，W【解析】?.,NC5Q=N/,ZDCB=ZACB=9