2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考前預(yù)測：圖形的相似

1.已知正方形ABCD的邊長為3,尸是BC邊上的一個動點,

圖I圖2

⑴如圖1,若點3關(guān)于直線AP的對稱點為E,連接AP,連接尸E并延長交CD于點尸，連接AE,AF.則=

(2)如圖2,在點P運動過程中，作/EPC的平分線PG交AF延長線于G,交CD于H,若S轉(zhuǎn)?：=4：1,

請求出線段即的長.

(1)如圖1,點D在線段AC上，點E在線段A3上，若3c=6,AD=BE=26，分別過點8作的垂線、點

￡作的垂線交于點孔連接。尸，求。尸的長；

(2)如圖2,點。在AC延長線上，G為AC邊上一點，連接3G,作GH，BG交54延長線于點H,作G/J_即

于點/.若BC平分NOBG,BG=AD,猜想線段3/與AH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

2

(3)如圖3,在(1)的條件下，點M為直線下方一點，連接A",,點P在線段AM上，且=

連接8P,將線段3P繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段3P,連接。戶，ZAMB=90°,直接寫出線段。戶的長度

的最小值.

3.如圖，VA2C中，點。在線段BC上，點E在線段48上，連接A。、CE交于點F.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,ADJ.BC,ZDAC=30°,CE平分ZACB.若CD=2,CE=4.求N3的度數(shù)；

⑵如圖2,ACD是等邊三角形.延長CE至點H,連接A",連接D”交A8于點G.若ZAGH=/HCD,

AE=AF.猜想尸C、HE、HD之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

AR2

(3)如圖3,ADJ.BC,CE1AB,且NABC=45。，CD=3,——=匚.點尸、。是平面內(nèi)直線上方的動點

BE5

且總有NBPC=g4BEC,BQ=DF.若NPBQ=NPCB,直接寫出當(dāng)線段尸。取得最小值時△AP。的面積.

4.如圖，已知正方形ABCD的對角線相交于。點，CE平分NBCA交BD于點、E,DH1CE,交AC于點G,

交BC于點H.

⑴求COS/BC4的值.

⑵求證：△OOGs/^OC”.

(3)求證：瞿=2.

OE

5.如圖，在正方形ABCD中，點E,尸分別在邊BC,CO上，ZAEF=90°,在線段AE上取點G,使EG=EB,

連接FG.

(1)若AB=4,BE=2,求￡產(chǎn)的長，以及四邊形GEC產(chǎn)的周長；

⑵設(shè)四邊形GEC/的周長為加，的長為。，求根與。的數(shù)量關(guān)系；

(3)NMG可能等于30。嗎？若不能，請說明理由；若能，請求出tan/BAE的值.

6.如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于。，5。為直徑，NABC為銳角，過點8作郎，AC于點E,過點A作3C的

試卷第2頁，共6頁

平行線交班的延長線于點F.

圖1圖2

(l)ZABD^a,請用含a的代數(shù)式表示/C5E.

(2)若AF=BD,求證：AD=AE.

(3)如圖2,在(2)的條件下，BF與:0交于點G,與AD延長線交于點連結(jié)DG.①若CD=4,DG=l,

求AD的長.

②若cosZAHB=2—,求tanZABD的值.

HF

7.在矩形ABC。中，點E,尸分別是A3,2C邊上的動點，連接50,EF交于點P.

圖(1)圖(2)圖(3)

⑴如圖(1),當(dāng)點E,尸分別是AB,BC的中點時，求證：BP=PF；

(2)若取=尸/，點G是AD邊上的點，連接3G交所于點H,點H是BG的中點，

①如圖(2),若Cb=l,求DG的長；

BF

②如圖(3),連接GP,當(dāng)GP=PF,且G￡>=CD時，求——的值.

BF

8.【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1,已知AC_LAB于點A,BD工AB于點、B,P是上一點，PC=PD,ZCPD=90°,

求證：CAP^PBD；

【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2,已知AC=BC=2A/^,45=4,點。，E分別在邊AC和BC上，尸是上一點,

且尸尸E,NDPE=90°,求AD+3E的值；

【拓展提高】(3)如圖3,已知AC=BC=2&\AB=4,點。，E分別在直線AC和直線上，P是邊A3上

一點，且AP=1,NDPE=90°,的兩條直角邊長之比為1:2,直接寫出此時BE的長度.

9.如圖，已知四邊形ABCD對角線AC,8。交于點E,點尸是3。上一點，連結(jié)ABF's1aAeD.

⑴求證：Z\ABC^Z^AFD.

(2)若BC=4,AD=9,DF=6,求AC的長.

10.如圖，點C是以A5為直徑的。上的一點，過點4作4?！?c交。于點。，點尸是射線2C上一點，點

P在點C的左側(cè)，且92=2。依，連接AC,BC=2AC,點E是劣弧AD上一動點，將“慮沿CE對稱得

△FCE,點4與點尸對稱，連接8尸，DF.

(2)當(dāng)點/落在線段A5上時，求蕓的值；

AC

2DF+BF

(3)在點E運動的過程中，設(shè)7=,求7的最小值.

2r>C

11.已知：如圖1,在VA3C中，AC=6,BC=12,ZC=90°,點E從點B出發(fā)，沿BC方向勻速運動，速度

為2單位/s；同時點歹從點C出發(fā)，沿C4方向勻速運動，速度為1單位/s,過點E作交AB于點

D,連接￡(/，以■和。戶為鄰邊作平行四邊形AFDG.設(shè)運動時間為r(s)(O</<6).

試卷第4頁，共6頁

解答下列問題：

⑴連接跖，當(dāng)￡F〃AB時，求t的值；

(2)如圖2,連接CG,設(shè)四邊形。ECG的面積為S,求S與/之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)如圖3,連接。C與交于點/,當(dāng)OCLEF時，求t的值.

12.如圖1,在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,點E在邊BC上運動(不與點B和點C重合)，將AE繞點A

順時針旋轉(zhuǎn)得到AF,旋轉(zhuǎn)角等于—R4C,連接CP,過點/作罰AC于點

pP

圖1圖2備用圖

⑴求證：ABE^,AMF.

(2)當(dāng)直線9恰好經(jīng)過點E時，求CF的長.

(3)如圖2,連接OF,試探究O尸是否存在最小值.若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

13.如圖，正方形的邊長為6,點。是對角線AC、的交點，點E在CD上，過點C作CFLBE,垂

足為尸，連接。尸，

⑴求證：BOFs,BED；

⑵若DE=2CE,求0尸的長.

14.如圖1,VABC的兩條角平分線AD,BE相交于點/,ZABC=2/C.

圖1圖2

⑴求證：BI=BD.

⑵若AB=6,BD=5,求BE的長.

(3)如圖2,AF_LAC交于點死求證：CF=2AB.

15.己知VABC,VADE均為等腰直角三角形，NABC=NADE=90。

B

BB

備用圖

【觀察發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖①，點、D,E分別在線段AB,AC上，請直接寫出3。與CE的數(shù)量關(guān)系；

【類比探究】

(2)如圖②，將VAOE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，連接8。，CE,且80與CE所在的直線交于點尸.(1)中的結(jié)論

還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請寫出新的數(shù)量關(guān)系并證明；

【聯(lián)系拓廣】

(3)若=AD=2,在VADE旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)直線MLAE時，則CE=.

試卷第6頁，共6頁

《2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考前預(yù)測：圖形的相似》參考答案

1.(1)45°

【分析】(1)由軸對稱的性質(zhì)可知=NEAP,利用全等三角形的性質(zhì)證明

ZDAF=ZEAF即可解決問題；

(2)過點6作3人依，交的延長線于點GN1BC,交BC的延長線于點N,

證明ABP^tPNG(AAS),由全等三角形的性質(zhì)得出8尸=GV,由角平分線的性質(zhì)得出GM=GN,

根據(jù)三角形面積公式可得出答案.

【詳解】(1)解：(1)四邊形ABC。是正方形，點、B、E關(guān)于AP對稱，

,-.AB=AE=AD,ZBAP=ZEAP=-ZBAE,ZB=ZAEP=ZD=90°,

2

AF^AF,

.'.RtAEF^RtADF(HL),

ZEAF=ZDAF=-ZEAD,

2

ZPAF=ZPAE+ZFAE=-ZBAE+-ZDAE=-ZBAD=45°,

222

故答案為：45°；

(2)解：過點6作6〃人PF,交尸尸的延長線于點GN1BC,交8C的延長線于點N,

點B關(guān)于直線AP的對稱點為E,

■■-AB=AE,ZAPB=ZAPE,

QPH平分NCPF,

ZCPH=ZFPH,

ZAPG=ZAPF+ZGPF=1(/BPF+/FPC)=|ZBPC=90°,

.ZPAF=45°,

:.ZPAG=ZPGA,

:.PA=PG,

ZBAP+ZBPA=9Q°,ZBPA+ZGPN=90°,

答案第1頁，共37頁

.\ZBAP=ZGPN,

ZB=ZPNG=90°,

ABP^,PNG(AAS),

:.BP=GN,

PG平分NCPF,GM八PF,GNIBC,

:.GM=GN,

S.P=；PFAE,SFGP=^PFGM,

.S”_AE_47

,,SPGFMG1，

AB.

——=4,

MG

AB=3,

3

:.MG=-.

4

3

,-.BP=NG=MG=-.

4

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱

的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題,

屬于中考壓軸題.

2.⑴2回

(2)BI=2AH；理由見解析

(3)734-72

【分析】(1)證明FBE名BZM(ASA),再利用勾股定理求解即可；

(2)作于點E,連接A/,設(shè)NGBC=NDBC=x,求得

ZD=ZACB-ZDBC=45°-x,證明.BAG絲DE4(AAS),得到AE=AG,再證明

ZABE=ZH=450+x,證得—AEBWG47/(AAS),推出3E=AF/,證得四邊形AB/G內(nèi)接

于圓，求得BE=E7,即可得至?。?7=2AH；

(3)連接￡>尸，取AD的中點0,連接OP,BO,利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，證明

△ABMs^DAP,推出NAP￡>=NM=90。，得到點P在以AO為直徑的圓。上，將線段8。

繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段37,連接TO,得到△PBO/△O3P,推出7F=O尸=0，

答案第2頁，共37頁

點P在以T為圓心，血為半徑的圓T上，當(dāng)。、P、T共線時，線段DP的長度取最小值，

最小值為OT-血，證明點。、B、T、C四點共圓，求得/宓0=180?！?037=90。，據(jù)此

計算即可求解.

【詳解】(1)解：VABAC=90°,AB=AC,BC=6,

AB=AC=BC-sin45°=3y/2:,

,?*AD=BE=2yfi，

BD=yjAB2+AD2=726，

VEF.LAB,BFLBD,

：.ZFBD=ZFEB=ZA=90°,

：.ZFBE=90°-ZABD=ABDA,

.FBE^BDA(ASA),

BF=BD=V26,

DF=y[2BD=2A/13;

(2)解：BI=2AH；理由如下，

作AELBD于點E,連接A/,

VZBAC=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

：.ZABG=45°-x,ZD=ZACB-ZDBC=45°-x,

貝l]NABG=N￡>,

VZBAG=ZDEA=90°,BG=AD,

BAG^DEA(AAS),

答案第3頁，共37頁

???AE=AG,

?；GH工BG,ZABG=45°-x,

：.NH=90°-(45°-x)=45。+x,

ZABE=ZABC+Zr)BC=45o+x,

???ZAB石=4=45。+%,

9：ZAEB=ZGAH=90°,AE=AG,

A.A￡B^GAH(AAS),

:.BE=AH,

9：/BAG=NBIG=900,

???四邊形AB/G內(nèi)接于圓，

???ZAIB=ZAGB=450+x,

：.ZAIB=ZABI=450+x,

:.AB=AI,

;AE±BI,

：.BE=EI,

:.BI=2AH；

(3)解：連接OP,取AO的中點0,連接OP,BO,

?AD=2\/2,AB=3V2，

.AD2

??—,

AB3

AP=-BM,

3

-A。_2

,,BMW

.APAD_2

BM~AB~39

丁ZBAD=ZM=90°f

：.ZABM=90°-ZBAM=ZDAP,

/\ABMS/\DAP,

ZAPD=ZM=90°f

...點尸在以AD為直徑的圓。上，此時，OA=OD=OP=應(yīng),

將線段80繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段8T,連接TO,則△O8T是等腰直角三角形,

答案第4頁，共37頁

:線段族繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BP,,

:.BP=BP,BO=BT,NPBO=NPBT=90。-NOBP,

PBO沿PBT,

TP'=OP=叵,

，點P在以T為圓心，及為半徑的圓T上，

當(dāng)D、P'、T共線時，線段DP的長度取最小值，最小值為DT-0,

???△087是等腰直角三角形，

ZBTO=ZBCO=45°,ZOBT=90°,

...點。、B、T、C四點共圓，

Z.TCO=180°-Z.OBT=90°,

,:AB=3日AO=y/2,

BO=JAB、ACP=275，

???△087是等腰直角三角形，

，OT=同。=2屈,

,?*OC=3應(yīng)-亞=2丘,

CT=^OT--OC1=472>

DT=y/CDr+CT2=回，

線段OP的長度的最小值為衣-0.

【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾

股定理，二次根式的混合運算,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形.正

確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵.

答案第5頁，共37頁

3.(1)45°

⑵FC=HD+HE,證明見解析

小15忘75回

(3)-------------------

259

【分析】(1)先求得AC=EC=4,求得ZEAC=ZAEC=75°,則可得N3=45。；

(2)在PC上取點K,使得HK=HA,連接AK,在"R上截取網(wǎng)?="。，證明一血?是等

邊三角形，利用手拉手證明絲△DRC,再證，AHK為等邊三角形，利用手拉手證明

AAHE^/\AKF,再證A4HD^AAfi【C,得KC=HD,即可證明；

(3)先通過計算求出)'=3,AB=1也,BE=5y/2,利用N2PC=1/BEC=45。，得出

點尸的軌跡為以E為圓心，￡6為半徑的圓在BC上方部分，利用a2=。尸=3,得出點。的

軌跡為以8為圓心，8。=〃尸=3為半徑長的圓在上方部分，將P8Q沿直線PB翻折，

得到證明/MBA=90。，由勾股定理求出ME=屈是定值，由9+尸￡>"石，且

當(dāng)M、尸、E依次共線時，PM+PE取最小值ME,此時尸。取最小值ME-PE=6?-5&,

當(dāng)PQ取最小值時，過點尸作PU，于點U,證明PQ//AB,則SAUPQ=^PQ-PU,

求出Pu即可.

【詳解】(1)解：AD1.BC,

.-.ZADC=90°,

"AC=30。，

ZACD=60。，

,/CE平分NACE,

../ECB=ZACE=30°,

,?CD=2,

AC=2CD=4,

CE=4,

：.AC=EC=4,

：.ZAEC=ZEAC=1(180°-ZACE)=1(180°-30°)=75°,

ZB=ZAEC-Z.ECB=75°-30°=45°；

(2)解：猜想：FC=HD+HE,證明如下：

答案第6頁，共37頁

在/C上取點K,使得HK=HA,連接AK,在HR上截取HR=HD,

,/ACZ）是等邊三角形，

ZACD=ZDAC=ZADC=60°fAD=AC=DC,

設(shè)ZAb=a,貝!JZAS=NHCD=60。一a,

AE=AF,

：.ZAFE=ZAEF=ZDAC+ZACD=60°+?,

???ZAEH=lS00-ZAEF=120°-a,

o

???ZGHE=ZAEH-ZAGH=n00-a-（60-a）=60°f

：?iHDR是等邊三角形,

：.HD=DR,ZHDR=ZHRD=6Q0,

：?NHDR=ZADC=600,

:?/HDA=/RDC,

???一0/44烏。RC（SAS）,

???ZDHA=ZDRC=180°-60°=120°,

???ZAHK=ZDHA-ZDHC=60°,

XVHK=HA,

???3AT火為等邊三角形，

：.AH=AK,ZHAK=ZAHE=ZAKF=6Q°f

ZAFE=ZAEF,

???ZAFK=ZAEH,

；._AHE-AKF（AAS）,

:.HE=FK,

9：ZHAK=ZDAC=60°,

??/HAD=/KAC,

答案第7頁，共37頁

AAHD^AKC(SAS),

:.KC=HD,

：.FC=FK+KC=HE+HD；

AF2

(3)解：由---=—,設(shè)AE=2x,BE=5x，

BE5

VZABC=45°,AD±BC,CE1AB,

???/BAD=ZABC=/BCE=45°,

；.ZAFE=NCFD=/BAD=ZABC=/BCE=45。，BD=AD=^=^^,BE=CE=5x,

02

**?DF=CD=3,AE=EF=2x,AF=y/2AE=2^/5%，

???DF=AD-AF=^~x=3,

2

解得：x=A/2,

AB=lx=772，BE=5x=5及,

構(gòu)造aPBC的外接圓O,

由ZBPC=；ZBEC=45°,

則BC所對圓心角為NBOC=2NBPC=90°,

ZOBC=ZOCB=45°,

VBE=CE,/BEC=90。，

NOBC=NEBC=ZOCB=NECB=45°,

又：BC=BC,

：.AEB8AOBC,

.?.點E和點0重合，

3c的外接圓圓心即為點E,

.,.點尸的軌跡為以E為圓心，為半徑的圓在BC上方部分，

BQ=DF=3,

如圖，點。的軌跡為以B為圓心，8。=。/=3為半徑長的圓在BC上方部分，

設(shè)NPBQ=NPCB=。,

：.NPBC=180°—NBPC-NPCB=135°—6，

/.ZPBA=ZPBC-ZABC=90°-/?,

答案第8頁，共37頁

如圖，將”P8Q沿直線依翻折，得到一

:.PM=PQ,BM=BQ,4PBM=4PBQ=/3,

：.ZMBA=NPBM+NPBA=90°,

,:BE=5屈，BM=BQ=3,

ME=y/BM2+BE2=V59>是定值，

由PM+PEN皿E,且當(dāng)M、P、E依次共線時，PM+PE取最小值ME,

由PM+PE=PM+5y/2=PQ+542,

則當(dāng)M、尸、E依次共線時，P。取最小值ME-尸E=屈-5點，

當(dāng)尸。取最小值時，如圖，

?/EP=EB,

ZEPB=ZEBP=90°-a,

：./BMP=NEPB-/PBM=90°-2a,

NBQP=NBMP=90°-2a,

答案第9頁，共37頁

?.?ZEBQ=/EBP-ZPBQ=90°-a-a=90°-2a,

：./BQP=/EBQ,

??.PQ//AB,

過點。作PULAB于點U,連接。U,

???PU//BM,

???AEPU^AEMB,

.PUPE

哼淺

解得：PU*

?.?PQ//AB,

15VH8157215yf59

q==gpQ.PU=

APQSUPQ5959-

【點睛】本題考查三角形綜合，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與形狀,

等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟

練掌握這些性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

4.⑴冬

(2)見解析；

(3)見解析.

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NBG4=g/8CD=45。，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到

2

cosNBCA=—；

2

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到ACJL3DNBDC=NOCB=45。,求得NOOG=90。，得到

ZDOG=ZCFG,根據(jù)角平分線的定義得到NOCE=-ZACB=22.5°,求得ZODG=ZCDH,

2

根據(jù)相似三角形的判定定理得到結(jié)論；

(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AC，OD=OC,求得/OEC+/OCE=90。，得到

ZOEC+ZODG=90°,等量代換得到/ODG=NOCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

OE=OG；過點8作3M〃AC交。〃的延長線于點根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

ZCGF=ZCHF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/M=NCGF,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到03=0。，

答案第10頁，共37頁

進(jìn)而結(jié)合三角形的中位線性質(zhì)可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：:四邊形ABCD是正方形,

ZBCA=-/BCD=45。，

2

cosZBCA=—;

2

(2)證明：???四邊形A5CD是正方形，

AACLBD,ZBDC=ZOCB=45°,

：.ZPOG=90°,

VDH1CE,

???NCFG=90。,

???ZDOG=ZCFGf

?:/DGO=/CGF,

：.ZODG=ZOCEf

CE平分NBC4交于點E,

：.ZOCE=-ZACB=22.5°,

2

ZODG=ZOCE=22.5°,

???ZCDH=ZCDO-ZODG=22.5°,

???ZODG=ZCDHf

9：ZDOG=ZDCH=90°,

:.DOGsDCH；

(3)證明：???四邊形ABC。是正方形，

AC±BD,OD=OC,

：./DOG=/COE=90°,

???ZOEC+ZOCE=9Q0,

DFLCE,

：.NOEC+ZODG=90°,

???ZODG=ZOCE,

在，。OG與COE中，

答案第11頁，共37頁

ZODG=ZOCE

<OD=OC,

ZDOG=/COE

???J9OG均CQE(ASA),

：.OE=OG；

過點5作即/〃AC交DH的延長線于點

?；CE平分NBCO,DH1CE,

：.ZECH=ZOCE,ZCFH=ZCFG=90°,

在△CFG與田中，

NGCF=ZHCF

<CF=CF,

ZGFC=ZHFC

??CFG%CFW(ASA),

??NCGF=/CHF,

：BM//AC,

\ZM=ACGF,

：ZCHF=ZBHMf

\ZBHM=ZM,

*.BM=BH,

：BM//ACf

.DODG

:DO=OB,

?.空=1,

GM

答案第12頁，共37頁

DG=GM,

，點G為。欣的中點，

OG為ADBM的中位線，

2

OE=-BH,

2

.BH

??-----2.

OE

【點睛】本題是相似形的綜合題，考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，正

方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，角平分線的定義和性質(zhì)，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵.

5.(1)3,8；

(2)m=2a；

(3產(chǎn)下.

2

【分析】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì).

(1)根據(jù)相似三角形的判定定理得到ABE^ECF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

AB-.CE=BE.CF,求得。尸=3,根據(jù)勾股定理得到結(jié)論；

(2)連接A尸，根據(jù)勾股定理可得。尸2=PG?,從而可證止=FG,所以可得：〃z=2a；

(3)設(shè)鉆=1,BE=EG=x,則EC=1—x,CF=x(l-x),求得RG=2x,根據(jù)題意列

方程即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：ZA￡F=90°,

.-.ZAES+ZCEF=90°,

4=90。，

:.ZAEB+ZBAE^90°,

NCEF=NBAE,

NB=/C=90°,

ABEs-ECF,

AB:CE=BE:CF,

.?.4:2=2:CF,

:.CF=1,

答案第13頁，共37頁

四邊形ABC。是正方形，

,.AB=BC=CD=AD=4fZC=90°,

:.DF=DC-CF=3,

,ZC=90°,

…EF=Vl2+22=非,

-FG=J+2。=3,

???四邊形GEC尸的周長二四+￡。+wC+G/=2+2+l+3=8；

(2)解：如下圖所示，連接A尸，

ZAEF=90°,ND=90。，

,\AF2=AE2+EF2，AE2=AB2+BE2EF2=EC2+FC2

AF2=AB2+BE2+EC2+FC2,

又AF2=AD2+DF2,

222222

AD+DF=AB+BE+CE+CFf

BE=EG,

BE2=EG2,

/.DF2=EG2+EF2=FG2,

:.DF=FG,

;.m=GE+EC+CF+FG=BE+EC+CF+DF=2a；

(3)解：設(shè)AB=1,BE=EG=x,

則EC=i,

.一ABEsECF，

.ECFC

一法—熊’

.1—FC

1x'

CF--x(1-x),

答案第14頁，共37頁

/EFG=30。,

:.FG=2EG=2x,

由（2）可知止=FG=2x,

:.DC=DF+CF,

/.2x+x(l-x)=l,

解得：x=匹好

2

BE<1,

:.BE=H

2

BE尤3-V5

「.tanNBAE=----

AB12

6.⑴。

（2）證明見解析;

⑶①30一1;②冬

【分析】（1）由圓周角定理可知NABD=NACD=G,再結(jié)合直徑所對圓周角為直角可知,

ZACB=90°-a,卞艮據(jù)NCS￡=900_NACS即可求解;

(2)由AF〃5C,WZAFE=ZCBE=ZABD=a,進(jìn)而證明ABD^EFA(AAS),即可證

得結(jié)論;

（3）①連接AG,作于點M,先證ZACD=NC4G,進(jìn)而得證AG=CD=4,

根據(jù)四邊形。GEM為矩形，可知ME*=DG=1,DM=EG,設(shè)AD=AE=x,AM=x-l,

由勾股定理可知EG2=AG2-A/2,DM2=AD2-AM2,列出方程即可求解;

②連接AG,先證NAHB=NBAC=N50C,根據(jù)AG=CO,BD=AF,得

，得變=絲，由..空（）易知

cosNBDC=,由cosZAHB=￡K4AAS,

BDAFHFHFAF

ZAHF=ZABD=ZAGD,可證得AGD^AFH,得ZADG=ZA/7F,進(jìn)而可知

ZDGH=ZDHG=45°,得A5=0AE=^AO，即可求解.

【詳解】（1）解：QBD為直徑,

.\ZBCD=90°,

ZABD=ZACD=a,

:.ZACB=90°-a,

答案第15頁，共37頁

5￡_LAC于點￡,則NBEC=90。，

,\ZCBE=9Q°-ZACB=a；

(2)證明：AF//BC,

:.ZAFE=ZCBE=ZABD=a,

ZBAD=ZFEA=90°,AF=BD,

ABD^EfA(AAS),

AD=AE；

(3)解：①連接AG,作DM1AC于點M,

Z.CAG=/CBE=cc,Z.ACD=AABD=a,

^GH―F

..ZACD=ZCAG,

AD=CG，

/.AG=AD+DG=CG+DG=CD，

/.AG=CD=4f

Q3D為直徑，

:.DG1BG,

BG±AE,

四邊形DGEW為矩形，

:.ME=DG=1,DM=EG,設(shè)AD=AE=x,AM^x-1,

:.EG2=AG2-AE2,DM2=AD2-AM2,

.116-x?=x2—(x—I)2,

解得：=3>/2—1,x2=—3\/2—1(舍)

的長為3&-1;

②連接AG,

答案第16頁，共37頁

A

Q5。為直徑,

:./BAH=90°,

:.ZAHB+ZABH=90。,

AELBE,

:.ZBAC^ZABH=90°,

:.ZAHB=ABAC=/BDC,

AG=CD,BD=AF,

BDAF

cosZAHB=—

HF

DGAG

HFAF

又EE4（AAS）,

ZAHF=ZABD=ZAGD,

AGD^^AFH,

.\ZADG=ZAHF,

DG.LBF,

NDGH=ZDHG=45°,

QNB4Q=90。，

???_ABH為等腰直角三角形，貝憶AB石也為等腰直角三角形，

/.AB=42AE=42AD，

tan/ABD——^―.

2

【點睛】本題考查圓周角定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，解直

角三角形等知識點，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

7.⑴見解析

答案第17頁，共37頁

⑵①￡>G的長為2；②殷="二1

BF2

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求得。8=0C,利用三角形中位線的性質(zhì)求得依〃0C,推

出△BPFs^BOC,利用相似三角形的性質(zhì)即可證明BP=PF；

（2）①連接AC交8。于點。，連接0”,利用三角形中位線定理求得O〃〃DG,

OH=\DG,再證明四邊形OHFC是平行四邊形，據(jù)此求解即可；

2

②設(shè)CF=a,則?！?gt;=。6=2。產(chǎn)=24,連接4。，6斤，作印，">于點"，求得6?=60,

證明E尸是線段3G的垂直平分線，求得BF=GF5a,得至U=（不+1,,證明

△BEFSABAC,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）證明：連接AC交8。于點。，

22

.OB=OC,

點E,尸分別是48,BC的中點，

.EF〃AC,則PR〃OC,

.△BPFsABOC,

BPPF

,而-3E'

.BP=PF；

(2)解：①連接AC交80于點。，連接OH,

NOBC=NOCB,

BP=PF,

答案第18頁，共37頁

:.ZPBF=ZPFB,

:"PFB=/OCB,

:.PFOC,即EFAC,

點”是5G的中點，點。是3。的中點，

：.OHDG,OH=-DG,

2

ADBC,

/.OHCF,

???四邊形o/ac是平行四邊形，

OH=CF,

CF=-DG,

2

CF=1,

:.DG=2,即。G的長為2；

②設(shè)CF=a,則CD=OG=2C尸=2a,連接AC,GF,作于點N,

則四邊形CONF是矩形，

FN=CD=2〃=ABfDN=CF=a,

:.GN=DG-DN=a,

GF=yjGN2+FN2=y/5a，

GP=PF,BP=PF,

：.GP=PB,

點H是BG的中點，

EF是線段BG的垂直平分線，

.-.BF=GF=y/5a,

BC=BF+CF=^+l^a,

答案第19頁，共37頁

EF\AC,

BEFsBAC,

BEBF

?,瓦―沃'

BEAB_2a_75-1

―礦灰一回。/2.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，線段垂直平

分線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理.正確引出輔助線解決問

題是解題的關(guān)鍵.

8.(1)證明見解答過程；

(2)—A/5；

(3)好或撞.

33

【分析】(1)通過角的等量代換，得出NC=/DPB,通過AAS證明11c42也PBD,即可作

答.

(2)分別過點C,D,E作CF_LAB,DGLAB,EHLAB,證明.ADGs,.ACF,

△BEHsABCF,得出設(shè)AG=尤，DG=2x,AD=&,BH=y,EH=2y,BE=0,

證明EPgNPDG(AAS),歹ij式得水?+—?+9+3//=互=4,算出x+y=§,即可作

答.

(3)進(jìn)行分類討論，當(dāng)PD:PE=1;2以及當(dāng)PD.PE=21,PD=2PE,然后作圖，根據(jù)相似

三角形的判定與性質(zhì)，運用數(shù)形結(jié)合思想，列式計算，即可作答.

【詳解】解：(1)VZCPD=90°,AC±AB,BDJ.AB

：.ZA=ZB=90°,ZAPC+ZC=90°,ZAPC+NDPB=180°-ZCPD=90°

/C=ZDPB

:PC=PD

：..CAP^PBD(AAS)；

(2)分別過點C,D,E作CF_LAB,DG^AB,EH±AB,如圖

答案第20頁，共37頁

c

VAC=BC=2y[s,AB=4

???AF=BF=2

CF=^(275)2-22=4

?；ChAB,DG.LAB,EHLAB,

：.DG\CF,EHCF

，,ADG^ACF,BEHs、BCF

.ADAG_DGBE_HB_EH

**AC-AF-CF，BC-BF-CF?

QnADAGDGBEHBEH

即法=萬=才'而=3=丁，

???AG：AD：DG=1：A/5：2，BH：BE：EH=1：百：2

設(shè)AG=x,DG=2x,AD=^x,BH=y,EH=2y,BE=0

丁NDPE=90。

：.ZEPH+ZDPG=ZDPG+ZPDG=90°

:.ZEPH=ZPDG

在和NPDG中

ZEPH=ZPDG

<ZPHE=NDGP

PE=DP

：.^EPH^ZPDG(AAS)

：.PG=EH=2y,PH=DG=2x

：.AG+PG+PH+BH=AB=4

x+2x+y+2y=4

?，_4

??x+y=~

答案第21頁，共37頁

L4f—

：.AD+BE=45(x+y)=-45；

(3)???一DPE1的兩條直角邊長之比為1:2,

???當(dāng)月D：?E=1：2時，分別過點C,D,￡1作CF_LAB,DG±AB,EH±AB,如圖

與（2）同理，AG：AD：DG=1而2,BH：BE：EH=1：?。?

：.ZEPH+ZDPG=ZDPG+ZPDG=90°

???NEPH=ZPDG

■:ZEHP=ZDGP

：.EPHS.PDG

.DGPGDP

**PH---2>

設(shè)AG=m,DG=2m

：.PG=AP-AG=l-m

：.PH=2DG=^mEH=2PG=2-2m

：.BH=-EH=l-m,BE=y/5BH=45-j5m

2

：.AG+PG+PH+BH=AB=4

m+1—m+4m+l—m=4

.,.m=—2

3

?M-石

??DLL=------

3

當(dāng)PD：PE=2：1,PD=2PE,過點C,D,石分別作CF_LAB,DKLAB,E/_LAB的延長線

上于點J,如圖：

答案第22頁，共37頁

D

A

CFDKEJ

：.ACF^ADK,EBJjCBF

.AD_AK_DKEJ_BJ_BE

**AC-AF-CF-BF-BC

ADAKDKEJBJBE

即Qn而=可=丁'彳=彳=法

*.AK:DK:AD=1:2:45,BJ:JE:BE=1:2:非,

設(shè)AK=%DK=2n,AD=島,PK=n-l

「ZEPJ+ZDPJ=ZDPJ+ZPDK=90°

/.ZEPJ=ZPDK

■:ZPJE=ZDKP

:「EPJsPDK

.JE_PJ_PE

??而一而一而

AJE=-KP=-n--,PJ=-DK=n

2222

?

??nBJ=1—mJE—1—n—1

244

PB=PJ-BJ=n--n+-=3

44

,?解得〃=￡

/.BE=&J=非上=建~

33

綜上BE=6或述

33

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理、等腰

答案第23頁，共37頁

三角形的性質(zhì)等綜合知識內(nèi)容，難度較大，綜合性較強，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)

鍵.

9.(1)見解析

(2)AC=6

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

(1)由相似三角形的性質(zhì)可得K=丁，^BAF=ZCAD,可得=即可求

ACAD

解；

(2)由相似三角形的性質(zhì)可得空=g,即可求解.

ADDF

【詳解】(1)證明：ABF^ACD,

/BAF=/CAD,

ACAD

.\ZBAC=ZFADf

ATO；

(2)解：AABC^AAFD,

,ACBC

BC=4,AD=9,DF=6,

.-J4

,,=一，

96

.'.AC=6.

10.(1)見解析

⑵與

⑶巫

4

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、圓周角定理、勾股定理等

知識點，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.

(1)先證明，24CscP54可得/AC尸=/&出，根據(jù)圓周角定理可得NACB=90。，進(jìn)而得

到OAJ_叢證明結(jié)論；

(2)由軸對稱的性質(zhì)可得當(dāng)點歹落在線段AB上時，證明，ACGs,ABC可得3c=2AC,

設(shè)AC=。，則BC=2a,由勾股定理可得AB=S，易得型=這=口=@,進(jìn)而完

ACABy/5a5

答案第24頁，共37頁

成解答；

(3)如圖②，在CB上截取C