8.1二元一次方程組(單元教學(xué)設(shè)計(jì))

一、【單元目標(biāo)】

通過情景導(dǎo)入，了解二元一次方程與二元一次方程組的概念與區(qū)別，學(xué)會根據(jù)題目的條件列出二元一

次方程或二元一次方程組，學(xué)會根據(jù)實(shí)際情況，找出二元一次方程組的整數(shù)解情況等；

(1)用生活中常見的事例，讓學(xué)生可以根據(jù)題目中所給的條件，列出二元一次方程組，從中提煉出

二元一次方程和二元一次方程組的概念；由之前所學(xué)內(nèi)容“一元一次方程”，歸納總結(jié)出二元一次方程與

一元一次方程的聯(lián)系與區(qū)別，從而加深學(xué)生對方程的理解；

(2)通過小組合作探究，讓學(xué)生參與教學(xué)過程，加深對二元一次方程和二元一次方程組解的理解，

同時會根據(jù)實(shí)際情況找出滿足要求的整數(shù)解，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生的類比推理

素養(yǎng)；

(3)通過典型例題的訓(xùn)練，加強(qiáng)學(xué)生的做題技巧，訓(xùn)練做題的方法，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；

(4)在師生共同思考與合作下，學(xué)生通過概括與抽象、類比的方法，體會了歸因與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，

同時提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，并發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；

(5)通過生活中的事例，提高學(xué)生對周圍事物的感知能力，同時激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的

人文素養(yǎng)；

二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】

(二元一次方程及其解的定義

二元一次方程組，二元一次方程組及其解的定義

I列二元一次方程組

三、【學(xué)情分析】

1.認(rèn)知基礎(chǔ)

二元一次方程和二元一次方程組及其解的定義，對我們后面學(xué)習(xí)的消元法解二元一次方程組和二元一

次方程組的應(yīng)用題具有關(guān)鍵作用，本節(jié)內(nèi)容強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)概念，鍛煉學(xué)生的思維能力和判斷能力；

2.認(rèn)知障礙

學(xué)生在理解二元一次方程組的概念時，會和分式方程混淆，導(dǎo)致概念不清晰；在講到二元一次方程的

解時，要理解此時的解具有無數(shù)組，但一旦限定在整數(shù)范圍內(nèi)，那就要根據(jù)題目實(shí)際含義縮小范圍；根據(jù)

題意列二元一次方程組時，要讀清題意，加強(qiáng)對邏輯關(guān)系的分辨，準(zhǔn)確列出二元一次方程組；

四、【教學(xué)設(shè)計(jì)思路/過程】

課時安排：約1課時

教學(xué)重點(diǎn)：二元一次方程及其解的定義，二元一次方程組及其解的定義；根據(jù)實(shí)際情況列二元一次

方程組；

教學(xué)難點(diǎn)：二元一次方程組的認(rèn)識與識別，根據(jù)二元一次方程組解的情況求參數(shù)的值；

五、【教學(xué)問題診斷分析】

情境導(dǎo)入

小紅到郵局寄掛號信，需要郵費(fèi)3元8角.小紅有票額為6角和8角的郵票若干張，問各需要多少張

這兩種票額的郵票？

這個問題中有幾個未知數(shù)，能列一元一次方程求解嗎？如果設(shè)需要票額為6角的郵票x張，需要票額

為8角的郵票y張，你能列出方程嗎？

8.1.1二元一次方程及其解的定義

問題1（利用二元一次方程的定義求參數(shù)）：已知|必一1"司+/j=3是二元一次方程，則m+n=

【破解方法】二元一次方程必須符合以下三個條件：（1）方程中只含有2個未知數(shù)；（2）含未知數(shù)的項(xiàng)

的最高次數(shù)均為一次；（3）方程是整式方程.

【解析】根據(jù)二元一次方程滿足的條件，即只含2個未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)均為1的整式方程,

即可求得0、A的值.根據(jù)題意得㈤=1且|必一1|力0,2〃-1=1,解得必=—1,77=1,所以〃+〃=0.故

填0.

fx=l,

問題2（二元一次方程的解）：已知是方程2x—a尸3的一個解，那么a的值是（）

[y=-l

A.1B.3C.-3D.-1

【破解方法】根據(jù)方程的解的定義知，將x,y的值代入方程中，方程左右兩邊相等，即可求解.

\x—l,

【解析】將代入方程2x—ay=3,得2+a=3,所以a=l.故選A.

g—1

8.1.2二元一次方程組及其解的定義

x-y=3,(2x+z=0,

[xy=\,

問題3（識別二元一次方程組）：有下列方程組：①,°②。尸1;③④

[x+y=2；

[x~\~兀=3,

巴p⑤?其中二元一次方程組有（）

2+j=7;『尸1，

A.1個B.2個

C.3個D.4個

【破解方法】識別一個方程組是否為二元一次方程組的方法：一看方程組中的方程是否都是整式方程;

二看方程組中是不是只含兩個未知數(shù)；三看含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是不是都為1.

【解析】①方程組中第一個方程含未知數(shù)的項(xiàng)燈的次數(shù)不是1;②方程組中第二個方程不是整式方程；

③方程組中共有3個未知數(shù).只有④⑤滿足，其中⑤方程組中的“是常數(shù).故選B.

5y=15；①

問題4（利用二元一次方程組的解求參數(shù)的值）甲、乙兩人共同解方程組°…由于甲看錯

[4x—6y=-2.②

fx=13,（x=5,

了方程①中的a,得到方程組的解為，乙看錯了方程②中的b,得到方程組的解為.試計(jì)算

[尸―1；lr=4.

和+（一徐產(chǎn)的值.

【破解方法】利用方程組的解確定字母參數(shù)的方法是將方程組的解代入它適合的方程中，得到關(guān)于字

母參數(shù)的新方程，從而求解.

——3\x——3

x,，說明，是

尸一1,卜=-1

x—5{

'是方程①的解.

{y=4

[x——3,(x—5,

解：把《代入②，得-12+6=—2,所以6=10.把，代入①，得5^+20=15,所以a=

g—1[y=4

—1.所以a2014+(-^)20I5=(-l)2014+(-^X1O)2°K=I—I=O.

8.1.3列二元一次方程組

問題5：小劉同學(xué)用10元錢購買了兩種不同的賀卡共8張，單價分別是1元與2元.設(shè)他購買了1

元的賀卡x張，2元的賀卡y張，那么可列方程組（）

x+3=10，xy

-+777=8,

A.<2B.<210

/+y=8

x+y=10,x+y=8,

C.D.

x+2y=8x+2尸10

【破解方法】要判斷哪個方程組符合題意，可從題目中找出兩個相等關(guān)系，然后代入未知數(shù)，即可得

到方程組，進(jìn)而得到正確答案.

【解析】根據(jù)題意可得到兩個相等關(guān)系：（1）1元賀卡張數(shù)+2元賀卡張數(shù)=8（張）；（2）1元賀卡錢數(shù)

尸8,

+2元賀卡錢數(shù)=10（元）.設(shè)他購買了1元的賀卡x張，2元的賀卡y張，可列方程組為,故選

[x+2y=10.

D.

六、【教學(xué)成果自我檢測】

1.課前預(yù)習(xí)

設(shè)計(jì)意圖：落實(shí)與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.

1.下列方程組是二元一次方程組的是（

八?二tB.國二xy=25y=15

x+y=33x+2y=8

【答案】D

【分析】運(yùn)用二元一次方程組的定義逐一判斷即可解題.

【詳解】解：A.方程組含有3個未知數(shù)，不是二元一次方程組，故此選項(xiàng)不符合題意;

B.有一個方程的次數(shù)是2,不是二元一次方程組，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.有一個方程的次數(shù)是2,不是二元一次方程組，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.此方程組是二元一次方程組，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的定義，理解二元一次方程組的定義是解題的關(guān)鍵.

fx=2

2.下列方程的解為，的是（）

A.3x-4y=10B.gx+2y=3C.x+3y=2D.2（x-y）=6y

【答案】A

【分析】把的值代入方程計(jì)算，即可求解.

[詳解]解：A選項(xiàng)，3x-4y=3x2-4x(_l)=6+4=10,符合題意；

B選項(xiàng)，—x+2y=—x2+2x(—1)=1—2=—1^3,不符合題意；

C選項(xiàng)，％+3y=2+3x(-l)=2-3=-1"2,不符合題意；

D選項(xiàng)，2(%-y)=2(2+1)=6w6y=6x(-1)=-6,不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程的解，掌握代入求值的方法，有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

[x=—lf3x+2y=m

3.已知c是二元一次方程組的解，則機(jī)+〃的值是()

[y=2[nx—y=l

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】B

(九=一]

【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義，將一.代入方程組，進(jìn)而求得加“的值，進(jìn)而即可求解.

[y=2

\x=—l13x+2y=m

【詳解】解：：c是二元一次方程組?,的解，

[y=2[nx—y=l

.J-3+4=m

9[-n-2=l

即相=1,〃=一3,

m+n=1—3=—2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵.二元一次方程組的

兩個二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

4.若方程(〃z+l)x+3y"'=5是關(guān)于x,y的二元一次方程，則機(jī)的值為.

【答案】1

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可知：未知數(shù)的系數(shù)不能等于零，未知數(shù)的最高次數(shù)為1,然后進(jìn)行求

解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得〃7=1且7〃+1A0,

解得m=l.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的定義問題，掌握定義是解題的關(guān)鍵.

%一]

5.已知?是方程標(biāo)--=5的一個解，那么a的值是

y=T

【答案】2

【分析】把代入3x-沖=5,即可求解.

y=-l

【詳解】解：把代入3x-ay=5得:

y=-l

3xl-(-l)xa=5,

解得：4=2.

故答案為：2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的未知數(shù)的值是方程的

解是解題的關(guān)鍵.

6.哪些是二元一次方程？為什么？

(1)x+y=20；(2)2x+5=10；(3)2a+36=l；(4)/+2x+l=0；(5)2x+y+z—1.

【答案】(3),見解析

【詳解】解：(3)是二元一次方程，理由是含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫

做二元一次方程.

2.課堂檢測

設(shè)計(jì)意圖：例題變式練.

【變式1】在下列方程組中，不是二元一次方程組的是()

X

fx-3y=3fx+l=3fx+2y=3—=3

A.《B.\C.\D.\y

\y=-l[y+2=-l[3x-2y=-l]x-y=4

【答案】D

【分析】根據(jù)由兩個結(jié)合在一起的共含有兩個未知數(shù)的一次方程叫二元一次方程組進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.是二元一次方程組；

B.是二元一次方程組；

C.是二元一次方程組；

D.不是二元一次方程組；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的定義，熟練掌握二元一次方程組是由兩個共含有兩個未知數(shù)，未知

數(shù)的次數(shù)是1,且都是整式的方程組成是解題的關(guān)鍵.

fx=2

【變式2】已知，是二元一次方程>-6=7的解，則次的值是()

U=T

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】D

(x=2

【分析】將"弋入二元一次方程，-履=7,得到關(guān)于％的一元一次方程，解方程即可求解.

【詳解】解：依題意，—1—2左=7

解得：k--A

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解的定義，掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵.

、.fx=2

【變式3】已知，是方程依+勿=3的解，則代數(shù)式6“+36-1的值為_________.

[y=l

【答案】8

【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義，得出2°+人=3,整體代入代數(shù)式求值即可求解.

fx=2

【詳解】解：：?是方程依+勿=3的解，

「?2a+Z?=3,

6a+3b—l

=3(2〃+/?)—1

=3x3—1=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解的定義，代數(shù)式求值，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.使得方程

左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解.

,1

x——

【變式4】已知2是二元一次方程2x+y=a的一個解.

y=4

⑴貝I」。=_________

(2)試直接寫出二元一次方程2x+y=。的所有正整數(shù)解.

【答案】(1)5

1

JC——

【分析】(1)將2代入二元一次方程2x+產(chǎn)a中，即可求得a的值；

y=4

(2)將a的值代入方程2x+產(chǎn)&再用列舉法求出方程的解即可.

.1

Y——1

【詳解】(1)將2代入二元一次方程2x+尸a中可得：2x-+4=a,a=5；

y=42

故答案為：5

(2)把a(bǔ)=5代入方程2戶尸a中可得：2x+尸5,所以可列出所有正整數(shù)解為:

fx=lJ尤=2

【點(diǎn)睛】考查二元一次方程的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程的解與二元一次方程的關(guān)系.

3.課后作業(yè)

設(shè)計(jì)意圖：鞏固提升.

1.下列是二元一次方程級+y=5的解為()

fx=lfx=2[x=-lfx=O

A.]B.VC.4D.\

[y=o[y=-i[y=-21y=-5

【答案】B

【分析】將各選項(xiàng)代入方程的左邊計(jì)算，看是否等于5,如果等于5就是方程的解，如果不等于5,就不

是方程的解.

(x=lfx=1

【詳解】解：A.把八代入得:3義1+0=3工5,即八不是二元一次方程3x+y=5的解，故本選項(xiàng)

卜=。LJ=O

不符合題意；

B.把「=_]代入得：3x2+(-l)=5,即｛,=_1是二元一次方程3x+y=5的解，故本選項(xiàng)符合題意；

C?把]=_2代入得：3x(-1)+(-2)=-5。5,即1=_2不是二元一次方程力+尸5的解，故本選項(xiàng)不符

合題意；

D.把[y=_5代入得：3x0+(—5)=-5w5,即J,=_5不是二元一次方程3尤+'=5的解，故本選項(xiàng)不符合

題意；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的未知數(shù)的值是方程的

解是解題的關(guān)鍵.

2.下列方程組中，表示二元一次方程組的是（

]x+y=3產(chǎn)=5x=y+11

A.<B.]1C.D.<

z+x=5—=x2°x=-y--+--i-

Iy2

【答案】D

【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義判斷即可.

【詳解】解：因?yàn)锳選項(xiàng)中含有三個未知數(shù)，因此不是二元一次方程組，不符合題意；

因?yàn)锽選項(xiàng)中含有分式，因此不是二元一次方程組，不符合題意；

因?yàn)镃選項(xiàng)中含有二次項(xiàng)，因此不是二元一次方程組，不符合題意；

因?yàn)镈選項(xiàng)中是二元一次方程組，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的定義，解題關(guān)鍵是掌握其中的三個條件：①是整式方程，②方程組

中一共只含有兩個未知數(shù)，③含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1.

3.下列方程中，二元一次方程的個數(shù)是（）

①^^=4,@-+y=5,③尤一/=0,④x=y,@￡±Z+2X=1,⑥/一2X+1=0,⑦一尤+y=4z,⑧

2x2

2x-y=0.,⑨母=1.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：①一=4只含有一個未知數(shù)，因此不是二元一次方程；

7

②y=5不是整式方程，因此不是二元一次方程；

X

③x-y2=o中未知數(shù)的最高次數(shù)是2,因此不是二元一次方程；

④x=y是二元一次方程；

⑤亨+2x=l是二元一次方程；

⑥尤②-2x+1=0含有一個未知數(shù)，且最高次數(shù)是2次，因此不是二元一次方程；

⑦-x+y=4z含有3個未知數(shù)，因此不是二元一次方程；

⑧2x-y=0是二元一次方程；

⑨孫=1中未知數(shù)的次數(shù)是2次，因此不是二元一次方程；

綜上分析可知，二元一次方程的個數(shù)是3個，故B正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程的定義，如果一個方

程含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為1次，那么這個整式方程就叫做二元一次方程.

4.方程尸出=6是關(guān)于x,y的二元一次方程，則m+2”的值為

【答案】3

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可得m-2=1,2〃+1=1,進(jìn)一步即可求出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意，得機(jī)-2=1,2"+1=1,

解得：m=3,n=Q,

所以相+2〃=3+2x0=3；

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的概念，含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二

元一次方程，熟知二元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

5.若■{c是二元一次方程依+勿=-2的一個解，則3。-2匕+2025的值為_______________.

=-2

【答案】2023

【分析】先將方程的解代入方程，求出3a-2》=-2,再整體代入求值即可.

[%-3

【詳解】解：將C代入方程可得，3a-2b=-2,

[y