...wd......wd......wd...2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(全國新課標(biāo)卷I)第一卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理1)集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，則()．A．A∩B＝B．A∪B＝RC．BAD．AB2．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理2)假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為()．A．－4B．C．4D．3．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理3)為了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取局部學(xué)生進(jìn)展調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()．A．簡單隨機(jī)抽樣B．按性別分層抽樣C．按學(xué)段分層抽樣D．系統(tǒng)抽樣4．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理4)雙曲線C：(a＞0，b＞0)的離心率為，則C的漸近線方程為()．A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝±x5．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理5)執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的t∈[－1,3]，則輸出的s屬于()．A．[－3,4]B．[－5,2]C．[－4,3]D．[－2,5]6．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理6)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()．A．cm3B．cm3C．cm3D．cm37．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理7)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝()．A．3B．4C．5D．68．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理8)某幾何體的三視圖如以以以下圖，則該幾何體的體積為()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π9．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理9)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.假設(shè)13a＝7b，則m＝()．A．5B．6C．7D．810．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理10)橢圓E：(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．假設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為()．A．B．C．D．11．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理11)函數(shù)f(x)＝假設(shè)|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是()．A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]12．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理12)設(shè)△AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n＝1,2,3，….假設(shè)b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，則()．A．{Sn}為遞減數(shù)列B．{Sn}為遞增數(shù)列C．{S2n－1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列D．{S2n－1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列第二卷本卷包括必考題和選考題兩局部．第(13)題～第(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答．第(22)題～第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求做答．二、填空題：本大題共4小題，每題5分．13．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理13)兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b.假設(shè)b·c＝0，則t＝__________.14．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理14)假設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則{an}的通項(xiàng)公式是an＝_______.15．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理15)設(shè)當(dāng)x＝θ時(shí)，函數(shù)f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，則cosθ＝__________.16．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理16)假設(shè)函數(shù)f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的圖像關(guān)于直線x＝－2對稱，則f(x)的最大值為__________．三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理17)(本小題總分值12分)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°.(1)假設(shè)PB＝，求PA；(2)假設(shè)∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理18)(本小題總分值12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)證明：AB⊥A1C；(2)假設(shè)平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理19)(本小題總分值12分)一批產(chǎn)品需要進(jìn)展質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n＝3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，假設(shè)都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n＝4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，假設(shè)為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立．(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；(2)每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．20．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理20)(本小題總分值12分)圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，求|AB|.21．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理21)(本小題總分值12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．假設(shè)曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點(diǎn)P(0,2)，且在點(diǎn)P處有一樣的切線y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)假設(shè)x≥－2時(shí)，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍．請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題做答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．22．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理22)(本小題總分值10分)選修4—1：幾何證明選講如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于點(diǎn)D.(1)證明：DB＝DC；(2)設(shè)圓的半徑為1，BC＝，延長CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑．23．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理23)(本小題總分值10分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建設(shè)極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ.(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013課標(biāo)全國Ⅰ，理24)(本小題總分值10分)選修4—5：不等式選講：函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)設(shè)a＞－1，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)≤g(x)，求a的取值范圍．2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(全國卷I新課標(biāo))第一卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．答案：B解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.∴集合A與B可用圖象表示為：由圖象可以看出A∪B＝R，應(yīng)選B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴.故z的虛部為，選D.3．答案：C解析：因?yàn)閷W(xué)段層次差異較大，所以在不同學(xué)段中抽取宜用分層抽樣．4．答案：C解析：∵，∴.∴a2＝4b2，.∴漸近線方程為.5．答案：A解析：假設(shè)t∈[－1,1)，則執(zhí)行s＝3t，故s∈[－3,3)．假設(shè)t∈[1,3]，則執(zhí)行s＝4t－t2，其對稱軸為t＝2.故當(dāng)t＝2時(shí)，s取得最大值4.當(dāng)t＝1或3時(shí)，s取得最小值3，則s∈[3,4]．綜上可知，輸出的s∈[－3,4]．應(yīng)選A.6．答案：A解析：設(shè)球半徑為R，由題可知R，R－2，正方體棱長一半可構(gòu)成直角三角形，即△OBA為直角三角形，如圖．BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，所以球的體積為(cm3)，應(yīng)選A.7．答案：C解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.∵Sm＝ma1＋×1＝0，∴.又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴.∴m＝5.應(yīng)選C.8．答案：A解析：由三視圖可知該幾何體為半圓柱上放一個(gè)長方體，由圖中數(shù)據(jù)可知圓柱底面半徑r＝2，長為4，在長方體中，長為4，寬為2，高為2，所以幾何體的體積為πr2×4×＋4×2×2＝8π＋16.應(yīng)選A.9．答案：B解析：由題意可知，a＝，b＝，又∵13a＝7b，∴，即.解得m＝6.應(yīng)選B.10．答案：D解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在橢圓上，∴①－②，得，即，∵AB的中點(diǎn)為(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，而＝kAB＝，∴.又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.∴橢圓E的方程為.應(yīng)選D.11．答案：D解析：由y＝|f(x)|的圖象知：①當(dāng)x＞0時(shí)，y＝ax只有a≤0時(shí)，才能滿足|f(x)|≥ax，可排除B，C.②當(dāng)x≤0時(shí)，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.當(dāng)x＝0時(shí)，不等式為0≥0成立．當(dāng)x＜0時(shí)，不等式等價(jià)于x－2≤a.∵x－2＜－2，∴a≥－2.綜上可知：a∈[－2,0]．12．答案：B第二卷本卷包括必考題和選考題兩局部．第(13)題～第(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答．第(22)題～第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求做答．二、填空題：本大題共4小題，每題5分．13．答案：2解析：∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.又∵|a|＝|b|＝1，且a與b夾角為60°，b⊥c，∴0＝t|a||b|cos60°＋(1－t)，0＝＋1－t.∴t＝2.14．答案：(－2)n－1解析：∵，①∴當(dāng)n≥2時(shí)，.②①－②，得，即＝－2.∵a1＝S1＝，∴a1＝1.∴{an}是以1為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列，an＝(－2)n－1.15．答案：解析：f(x)＝sinx－2cosx＝，令cosα＝，sinα＝，則f(x)＝sin(α＋x)，當(dāng)x＝2kπ＋－α(k∈Z)時(shí)，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值，即θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，所以cosθ＝＝＝sinα＝.16．答案：16解析：∵函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝－2對稱，∴f(x)滿足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，即解得∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15.由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，得x1＝－2－，x2＝－2，x3＝－2＋.易知，f(x)在(－∞，－2－)上為增函數(shù)，在(－2－，－2)上為減函數(shù)，在(－2，－2＋)上為增函數(shù)，在(－2＋，＋∞)上為減函數(shù)．∴f(－2－)＝[1－(－2－)2][(－2－)2＋8(－2－)＋15]＝(－8－)(8－)＝80－64＝16.f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f(－2＋)＝[1－(－2＋)2][(－2＋)2＋8(－2＋)＋15]＝(－8＋)(8＋)＝80－64＝16.故f(x)的最大值為16.三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．解：(1)由得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.故PA＝.(2)設(shè)∠PBA＝α，由得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得，化簡得cosα＝4sinα.所以tanα＝，即tan∠PBA＝.18．(1)證明：取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA1，A1B.因?yàn)镃A＝CB，所以O(shè)C⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB.因?yàn)镺C∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩相互垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，||為單位長，建設(shè)如以以以下圖的空間直角坐標(biāo)系O－xyz.由題設(shè)知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)．則＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，，)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，則即可取n＝(，1，－1)．故cos〈n，〉＝＝.所以A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為.19．解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件A，依題意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝.(2)X可能的取值為400,500,800，并且P(X＝400)＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝.所以X的分布列為X400500800PEX＝＝506.25.20．解：由得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.(1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為(x≠－2)．(2)對于曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí)，R＝2.所以當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，其方程為(x－2)2＋y2＝4.假設(shè)l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|＝.假設(shè)l的傾斜角不為90°，由r1≠R知l不平行于x軸，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則，可求得Q(－4,0)，所以可設(shè)l：y＝k(x＋4)．由l與圓M相切得，解得k＝.當(dāng)k＝時(shí)，將代入，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝.所以|AB|＝.當(dāng)時(shí)，由圖形的對稱性可知|AB|＝.綜上，|AB|＝或|AB|＝.21．解：(1)由得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.從而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．設(shè)函數(shù)F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，則F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．由題設(shè)可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.①假設(shè)1≤k＜e2，則－2＜x1≤0.從而當(dāng)x∈(－2，x1)時(shí)，F(xiàn)′(x)＜0；當(dāng)x∈(x1，＋∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)單調(diào)遞減，在(x1，＋∞)單調(diào)遞增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值為F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故當(dāng)x≥－2時(shí)，F(xiàn)(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②假設(shè)k＝e2，則F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．從而當(dāng)x＞－2時(shí)，F(xiàn)′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)單調(diào)遞增．而F(－2)＝0，故當(dāng)x≥－2時(shí)，F(xiàn)(x)≥0，即f(x)≤kg(x)