專題07三角函數(shù)與解三角形

產(chǎn)工0叼睡醒亙題

白空氣函理,型問(wèn)題I

三X電鈍電性質(zhì)

三

夕迪窄諭南藪防國(guó)象變甫

角

函夕里6j利用正弦門；定［進(jìn)行解三角彩

數(shù)

.地里7冽此W缸也也也坦

與

解一冬膽8j利用正余弦定理進(jìn)乙「；］Ajffci

三廠"解三A畛的一先碰財(cái)

角'整9利用底本不等式求最值（范國(guó)）

形

卜甚^■利用三角函數(shù)值域求范圍一一

卜國(guó)^圖形切割

卜出^角平無(wú)盡于我的處雪

3^,解三角形的結(jié)構(gòu)不良

給值求值型問(wèn)題

1.（江蘇省常州市橫林高級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知二一=2-二二71

則tan~~a

tanasina

()

A.17B.——C.—D.—

793

【答案】B

【分析】由一-一=2--」一，解出sina與cos。，得tana,再求tan]：—a].

tanasmav4)

、a._,1_1tf/1r?yacoscc2sincc—1,_.?

【r詳解hT】由----=2一二---，切化弦得1-----=—；-----，??cosa=2sma—l,

tanasinasinasma

^^4cJ-J,

由cos2a+sin?c=1且sina。0,解得sina=不

53

(7iA1-tan6Z

tan——a=-----------

14)1+tan7

故選：B

(2兀

2.（江蘇省淮安市淮安區(qū)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）若sin+2。的值（)

u

A-4b-IC-4

【答案】A

【分析】利用誘導(dǎo)公式將sin]S_c]=；，轉(zhuǎn)化為cos[1+c]=；

再利用余弦的二倍角公式可求得結(jié)果.

【詳解】由sin但一a]==，得cos;

所以cos+2aJ=cos21；+aj=2cos2+=2x—-1=,

故選：A

I

題型02給值求角型問(wèn)題

■I

jr3TT4

3.(山東省青島市青島第二中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中)已知一WeW兀，TI</3<—,sin2a--,

425

cos(a+/)=-^^,則分一。=()

?3-兀一5一兀

A.—7iB.——C.—JiD.——

4442

【答案】A

【分析】求出力的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角差的正弦公式求出sin（〃-0的值,

即可得解.

冗冗471冗冗

【詳解】因?yàn)橐还?。（兀，貝U—工2142兀，因?yàn)閟in2a=—，則一工2。（兀，可得一工。工一，

425242

因?yàn)樨９し郑ㄈ?則]W￡—a＜平,個(gè)＜a+f3＜2TI,

所以，cos2a=-Vl-sin22a=—|,sin（a+尸）=-Jl-cos'（a+尸）=，

所以，sin（4一a）=sin[（a+/7）—2a]=sin（a+/?）cos2a—cos（a+/7）sin2a

3JT

所以，P-a=^-

故選：A.

4.（福建省莆田第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）在①tana=4G，?7sinla-8A/3COSCT,③tan^=

22

中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解決問(wèn)題.

已知cos（a"）=*

（1）求sin（a+匹）；

6

（2）求夕.

【答案】條件選擇見(jiàn)解析；（1）sinL+^U

3⑵0*，

sin2a+cos2a=l

TT

【分析】（1）由?！捶娇傻胹ina>0,cosa>0,若選①，則結(jié)合<sina可求出sin6Z,coscr

tana--------

cosa

的值，若選②，則利用二倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得sina的值，從而可求得cosa的值,若選③，則利用正切

sin2+cos2a=\

的二倍角公式可求出tana=4如，再結(jié)合<sina可求出sin%cosa的值,然后利用兩角和的正

tana=-------

cos。

弦公式可求得結(jié)果,

jr1Q

（2）先由已知條件求出0<a—再由cos（a—￡）=1求出sin（a—月）的值，而￡=。一（。一分），利用

兩角差的正弦公式可求得結(jié)果

jr

【詳解】（1）,/0</?<tz<—,sin?>0,cosa>0f

sin2+cos2a=l--

.4石1

若選①tana=4#i，由，sin。得sina=-----cosa=—

tana--------77

cos。

若選②7sin2a=8Acosa，則14sinacosa=86cosa，

*.*cosaw0,/.sina=-,貝ijcosa

77

ca

2tan—2xJ

若選③tanq=3,則tana=---------2

i2&//-\2

221-tan—1----------

21-44

I2J

sin26Z+cos2a=l

4出1

則由<sina得，貝！Jsina=-----cosa=—

tana=-------77

cosa

.?/兀、.71.7113

..sin（6z+—）=smacos——Fcosasm—=

6614

71Jt

(2)0</?<?<—,：.0<a-B<3,

?cos(a—p^=—,.=sin(cr—4),

sin尸=sin[a—(a—7?)]=sinacos(i—￡)—cosasin(a—4)J_x2^=49石二立,

vo</?<|,

?■,吟?

II

題型03三角函數(shù)的性質(zhì)

■?

5.（2022秋.江蘇淮安.高三統(tǒng)考期中）設(shè)函數(shù)〃x）=2cos（2x+0）的圖象關(guān)于點(diǎn)H0）中心對(duì)稱，則附的

最小值為（）

A7兀5兀71

A.——B.—一D.-

666

【答案】D

【分析】利用余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性求解.

ITIT7T

【詳解】由已知得2X：+0=E+—,kwZ,解得夕=%兀+;，keZ,

626

所以當(dāng)左=。時(shí)，時(shí)的最小值為9

6

故選：D.

6.（2022秋.廣東中山.高三華南師范大學(xué)中山附屬中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）如圖所示，為函數(shù)

/3=4$皿8+夕）,＞0,。＞0,附＜1）的圖象與正六邊形的兩個(gè)公共點(diǎn)（點(diǎn)B在X軸上），正六邊形與y

軸的一個(gè)交點(diǎn)為的圖象與y軸的交點(diǎn)為N,其中正六邊形關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，且邊長(zhǎng)為三，則下列

A.函數(shù)〃x）的最小正周期為2兀

11

B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=*7r對(duì)稱

C.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為++,kez

幽-2g

D.|阿“

【答案】CD

【分析】求出點(diǎn)5的坐標(biāo)，可求出函數(shù)/（元）的最小正周期，可判斷A的正誤；利用圖中信息求出函數(shù)/'（%）

的解析式，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷B的正誤，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C的正誤；求出點(diǎn)

M、N、。的坐標(biāo)，可判斷D的正誤.

【詳解】由于正六邊形的邊長(zhǎng)為（易知點(diǎn)可：,。,所以，函數(shù)的最小正周期為T=2（J+f=兀，

故A錯(cuò)誤;

由題意可知，|=二sin>=""由A可知，。=，=2,貝I/(無(wú))=^^sin(2x+°),

11336

/1一弓）=^^^（夕一]]=0且函數(shù)/（耳在_￥=

附近單調(diào)遞增,

6

所以，(p-^二2kjt(keZ),可得夕=1+2E(左wZ),

"二］，故/(x)=3sin12x+m

所以,

V3TI.1371工,TlMrnZdt、口

/——=——sin——。士——,故B錯(cuò)誤；

V12J666

由2kli<2x+—<2kli+—（^GZ）,解得k兀--<x<^+—（A;GZ）,

因此，函數(shù)“X）的單調(diào)增區(qū)間為專+E/+E,keZ,故C正確；

/⑼=^^吟=（,設(shè)點(diǎn)0

因?yàn)辄c(diǎn)￡>為函數(shù)“X）在y軸右側(cè)第一個(gè)最高點(diǎn)，可知2無(wú)。+4=方，可得毛=占

易知點(diǎn)”0,制、。心，制、心小

A/37171

所以，陷=/_a=2君-3,故D正確.

\MD\

12

故選：CD

7.（海南省瓊海市嘉積中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）若0＜夕＜2兀，且sinc＜3，cosa＜—,則a的取

22

值范圍是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)的取值范圍，分別求解sina＜：,cosa〈叵，再求解交集即可.

22

【詳解】由sina＜』，可得0＜a＜二或2＜1＜2兀；由cosa＜且，可得工＜&＜乂.

266244

綜上，a的取值范圍是1g,彳）

故選：B.

8.（湖北省荊州中學(xué)20183屆高三上學(xué)期期中）（多選）已知函數(shù)f（x）=|cosx|+cos2x,則下列結(jié)論中正

確的是（）

7TIT27r

A.Ax）的最小正周期為三B.7（x）在-,y上單調(diào)遞增

C.Ax）的圖象關(guān)于直線尤=；對(duì)稱D.的值域?yàn)?/p>

4

【答案】BD

【分析】通過(guò)周期函數(shù)的定義求出/⑺的最小正周期即可判斷A,對(duì)B選項(xiàng)設(shè)f=cosx,利用復(fù)合函數(shù)單

調(diào)性的判定方法即可判斷，對(duì)C舉一組反例即可判斷，對(duì)D,通過(guò)換元法，分類討論并結(jié)合二次函數(shù)值域

即可得到函數(shù)的值域.

【詳解】因?yàn)槲ú稢OS|JJ+COS2|JJ=-1,

"0)=2*,鼻,故A錯(cuò)誤，

當(dāng)巴WxW女時(shí)，令f=cosxe--,0,

23L2J

f(x)=2cos2x-cosx-1,即g(t)=2t2-t-l=2\tI

而函數(shù)g(r)=2/T-1在-；.0上單調(diào)遞減，

TT2冗7727r

UCOSX在-,y上單調(diào)遞減，因此,/(無(wú))在上單調(diào)遞增，故B正確,

即fM圖象上的點(diǎn)(0,2)關(guān)于直線X=：對(duì)稱點(diǎn),2)不在的圖象上,

故C不正確，

當(dāng)一l<cosxV。時(shí)，令，=cosx,

則g(f)=2卜9

8

此時(shí)g(t)e(g(O),g(-1)],

即g⑺e(-L,2],

當(dāng)OWcosxKl時(shí)，令，=cosx,

f(x)=2cos2x+cosx-1,

則無(wú)⑺=20+；)T,

則〃⑺e[72(0)，Ml)],

即〃⑺

綜上，/(x)的值城為[-1,2].

故選：BD.

由圖象確定三角函數(shù)解析式

9.(2022秋.安徽阜陽(yáng).高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)

〃x)=Asin(ox+e)(A>O,0>O,3<鼻的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，得

到函數(shù)g(x)的圖象，則()

A.f(x)=2sin[2x+]J

B.g(x)=2sin^2x+y^

jrjr

c.g(x)在區(qū)間-耳彳上單調(diào)遞增

D.g(x)圖象的對(duì)稱中心為1-/■+E,O)(ZeZ)

【答案】C

【分析】確定A=2,根據(jù)周期得到。=0=2,代入點(diǎn)計(jì)算夕=-「得至l|〃x)=2sin(2尤-父，A錯(cuò)誤,通

713I3,

IJT?IT7E7E

過(guò)平移法則得到g(x)=2sin2x+7,B錯(cuò)誤，確定2x+^e,C正確，對(duì)稱中心為

\UJU乙乙

,自+?，。,eZ),D錯(cuò)誤，得到答案.

【詳解】由函數(shù)圖象可知，A=2,設(shè)f(無(wú))的最小正周期為T,則4=T=ETT+]77T=]Air,故7=兀，

所以。=a=2,/-=]=2,所以2sin2xJ=]+°=2,

故--='+2祈(左￡Z),所以0=~^+24兀(左￡Z),

又|同苫，所以夕=弋，故〃x)=2sin,-3，

對(duì)選項(xiàng)A：/(x)=2sin(2x-：j,錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)B：g(尤)=2sin|2[無(wú)+=2sin[2尤+[],B錯(cuò)誤;

..,7C7C._兀兀兀...，.7T兀.、乂,、,

對(duì)選項(xiàng)C：ijxe時(shí)，2x+-e,由于y=ss在-萬(wàn),萬(wàn)上遞增,

故g(無(wú))在區(qū)間-找上單調(diào)遞增,正確;

對(duì)選項(xiàng)D：令2x+F=far(%eZ),所以x=Y+”伏eZ),即g(x)圖象的對(duì)稱中心為(-?劌(*)，

6122k

錯(cuò)誤.

故選：C.

10.（2022秋?遼寧沈陽(yáng)?高三沈陽(yáng)市第四十中學(xué)校聯(lián)考期中）（多選）函數(shù)y=Asin（5+9）（A>0,。>0,

。<夕<兀）在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖所示，貝I]（）

A.該函數(shù)的解析式為y=2sin[gx+g]

B.該函數(shù)圖像的對(duì)稱中心為，萬(wàn)-o1,keZ

5TTjr

C.該函數(shù)的增區(qū)間是3E---,3^71+-,左eZ

_44_

D.把函數(shù)y=2sin（x+T的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的。倍，縱坐標(biāo)不變，可得到該函數(shù)

圖像

【答案】ACD

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A:根據(jù)圖像和已知條件求出A和最小正周期T,然后利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式

求出。，通過(guò)代點(diǎn)求出。即可；對(duì)于選項(xiàng)BC:結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，利用整體代入法求解即可；對(duì)于選項(xiàng)

D：利用伸縮變換即可求解.

【詳解】由題圖可知，A=2,周期T=7=4[兀-￡|=3兀，

所以0=g,貝ijy=2sin]x+\,

因?yàn)楫?dāng)時(shí),y=2sin]x；+9）=2,即sin楂+（p=1,

所以烏+°=西+2kn,左eZ,即0=g+2kjt,左eZ,

623

兀

又0<夕<無(wú)，故9=§,

從而y=2sin（gx+1j,故A正確；

2717T3

令一xH—=ku,k￡Z,得力=---1—ku,k￡Z,故B錯(cuò)誤；

3322

^-―+2fai<—%+—<—+2fai,keZ9

2332

Sjrjr

得---F3E<X<—i-3fai,kwZ,故C正確；

44

函數(shù)y=2sin[x+5]的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的|■倍，縱坐標(biāo)不變，

可得到＞=25畝（，+三），故D正確.

故選:ACD

三角函數(shù)的圖象變換

11.（2023屆湖北省華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三上學(xué)期期中）若將函數(shù)"x）=2sin,x+：J,0＞。的

圖像向右平移;個(gè)周期后，與函數(shù)g（x）=2cos（2x+0）的圖像重合，則夕的一個(gè)可能取值為（）

71712兀4兀

A.B.C.D.

~3TT

【答案】C

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖像平移規(guī)律得到平移后的解析式，再對(duì)g（x）的解析式變形處理，列出等式，即可

判斷

【詳解】〃尤）=2sin[s+寸,0＞O,周期T=軍,

k3；co

函數(shù)〃x）=2sin"+：J的圖像向右平移;個(gè)周期后,

7171=2sin（s_《J的圖像,

得函數(shù)y=2sin①X----+-----

ICO

71

而g（x）-2cos（2%+夕）=2sin—+（2x+0）=2sinl2X+-^-+^9I,

2

71712,71

由^^意。=2,—卜（p=2kit—，左EZ,/.（p=2AJI------,kGZ,

263

令2TTj

27一1

--3-I，得k="z,故A錯(cuò)誤;

兀

令2得k=",故錯(cuò)誤；

--27一1--B

33-

6

令-227-T-2711

-3-3得k=OeZ,故C正確;

令27-1-4兀j

3-y,得上=一]^Z,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

12.（福建省詔安縣橋東中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)〃x）=Asin（ox+0）（A＞O,。＞0,|同＜兀）

的部分圖像如圖所示.

⑴求“X)的解析式及對(duì)稱中心；

(2)先將“X)的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的J倍，再向右平移三個(gè)單位后得到g(x)的圖像，求函數(shù)y=g(x)

z12

TT3冗

在xe衛(wèi)'彳上的單調(diào)減區(qū)間.

【答案】(l)〃x)=2sin[2x-^],對(duì)稱中心為[今一三,01keZ

兀3兀

(2)一，——

1_24J

【分析】(1)由函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出。，由五點(diǎn)法作圖求出。的值，可得f(x)的解

析式，再利用三角函數(shù)的圖像得出對(duì)稱中心.

⑵由題意利用函數(shù)〃x)=Asin(0x+0)的圖像變換規(guī)律，求得g(x)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性

得出結(jié)論.

【詳解】(1)根據(jù)函數(shù)/(x)=Asin(ox+0)(A＞O,。＞0,闋＜兀)的部分圖像，

一,口32兀5兀兀

可得A=2,-----=1—，.,.a)=2.

4G123

再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，2x5/7r+e=]冗,，0=-三TT，

故有/(x)=2sin^2x-1^,

根據(jù)圖像可得，是〃x)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，

故函數(shù)的對(duì)稱中心為(弓一[，。)，keZ.

(2)先將的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，可得＞=sin,4)的圖像，

再向右平移合個(gè)單位，得至Uy=sin[,一f一；=sin12x—3=—cos2x的圖像，

即g(九)二一cos2無(wú)，令2E—兀＜2xK2E,ksZ,解得兀WE,keZ,

7T7T37r

可得g（x）的減區(qū)間為kit-｝，ku,kwZ,結(jié)合x(chóng)e—

IT3冗yr37r

可得g（x）在~Y^~^上的單調(diào)遞減區(qū)間為了彳?

!題型06|利用正弦余弦定理進(jìn)行解三角形

13.（2022秋?山東泰安?高三統(tǒng)考期中）已知，ABC的內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,a=4,

7

cos2A=--,則ABC外接圓半徑為.

【答案】1/2.5

【分析】利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)己知，結(jié)合sinA>0,可求sinH的值，然后利用正弦定理即可求出

ABC外接圓的半徑

77

【詳解】由cos2A=-不得l-2sin2A=-不，又Ae（0,兀）

LL4

所以sinA>0,sinA=—.

fn\~---4--~---4-=—5

則由正弦定理可得一⑷5C外接圓半徑2sinA。42.

zX一

5

故答案為：

14.（湖北省黃岡市麻城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）在AABC中，c=2,C=30。.再?gòu)臈l件

①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，求：

（1>的值;

（2）AA8C的面積.

條件①：2b=6a；

條件②：4=45。；

條件③：b=2+.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

（2）答案見(jiàn)解析

【分析】選擇條件①，（1）由已知結(jié)合余弦定理求解。值；（2）由（1）可知6=立”，判斷三角形為直角

2

三角形，再由三角形面積公式求解；

選擇條件②，（1）由已知利用正弦定理求。值；（2）在AABC中，求出sinB,再由三角形面積公式求解;

選擇條件③，由正弦定理判斷三角形不唯一，不合題意.

【詳解】（1）選擇條件①：2b=?.

在AABC中，c=2,C=30°.

*.*2b=V3a,b=a，

2

2

^272_2a+-4

根據(jù)余弦定理…。sC=得8s3。=uJ

2a—a

2

整理得。2=16,由于。＞0,

；.a=4.

選擇條件②：4=45。.

在AABC中，VA=45°,c=2,C=30°,

ac

根據(jù)正弦定理:一,

sinAsinC

得〃=3=的但=20；

sinCsin30

選擇條件③:b=2也,

.cb，得sin5="U￡=立，

由--------此時(shí)2=60?；?=120。,

sinCsinB2

三角形不唯一，不合題意.

（2）若選擇條件①，由（1）可知Z?=a=2y/s,

2

"."cz=4,c=2,.'.a2=b2+c2,

AA=90°.

因此，AABC是直角三角形.

S=-bc=-x2y/3x2=2^3；

22

若選擇條件②，在AABC中,

sinjB=sin[7t-（A+C）]=sin（A+C）.

sinB=sin（30+45）=sin30cos45+cos30sin45=訴+#

4

S=—acsinB=—acsinB=—x2^2x2x+=A/3+1；

2224

[I

!題型07|判斷三角形的形狀

15.（河北省張家口市部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中）在「.ABC中，若sin23+sin2C=sin2A,則,ABC

的形狀為（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)二倍角公式以及正余弦定理邊角互化即可求解.

【詳解】由二倍角公式可得2sinBcosB+2sinCcosC=2sinAcosA,由正弦定理可得

bcosB+ccosC=acosA,

2

由余弦定理邊角互化可得：b"+d=/+。2一片,

2ac2ab2bc

化簡(jiǎn)得y+c4—2b2c~=a4=>僅2—c?）=a4=>Z?2—c2=+a2,

因此從=E2+儲(chǔ)或c2=萬(wàn)+/,故_ABC為直角三角形，

故選：B

16.（2022秋.黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱七十三中?？计谥校ǘ噙x）..ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別

為a,b,c,^a2+b2-c1=-ab,且2cosAsin3=sinC,則ABC的形狀為（）

A.等邊三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】CD

【分析】由已知及余弦定理可得cosC=-g,又0<。<兀，可解得C,又2cosAsin3=sinC,由正弦定理,

余弦定理解得cosA=￡=廠+"一"一,整理解得b=a,可得j1BC的形狀.

【詳解】+/?2—c2=—cib,

-ab_1

由余弦定理可得：cosC=

lab2

0<C<7i,c=—

3

又12cosAsinB=sinC,

由正弦定理可得：2bcosA=c,

2b2bc

整理可得：b2=a2,即有人=a,

結(jié)合C=不，從而可知三角形為鈍角等腰三角形.

故選：CD.

利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化

17.(湖北省武漢市江夏一中、漢陽(yáng)一中20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中)在銳角ABC中，角A,B,C所對(duì)

的邊分別為c.己知2bsinA-底=0

(1)求角8的大小;

77

(2)若。=2,A=：,求ABC的面積.

4

JT

【答案】(1)2=1

(0、3+V?

()2

【分析】(1)根據(jù)正弦定理可得2sin5sinA=囪sinA,BPsinB=,即可求解；

(2)利用正弦定理可得6=絲)=痛，根據(jù)兩角和的正弦公式可得sinC=《i'&結(jié)合三角形面積計(jì)算

sinA4

公式S=L"sinC即可求解.

2

【詳解】(1)2bsinA-gfl=0,由正弦定理，

得2sin5sinA=J5sinA,又A為銳角，則sinAwO,

所以sinB=".又2為銳角，則B=g.

23

JTIT

(2)a=2,A=—由(1)知3=不，

4f3

rmab,口7〃sin3

貝【J—~T=—得力=-^=16,

sinAsmBsinA

T7.4r>5?*2.廠.5%.(7tzrAV6+V2

yiC=7T-A-B=—,所以sinC=sin——=sin—+—=-------,

1212(64

所以ABC的面積S=L〃bsinC=Lx2x=

22122

18.(2022秋?重慶沙坪壩?高三重慶一中?？计谥?在一ABC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為〃，b,c,

且滿足Zsin?3=cos(A-0+cos_B.

(1)證明：a,b,c成等比數(shù)列；

⑵若"C且=|火_45C的面積為近，求,TWC的周長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵6+20

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換展開(kāi)整理，再用正弦定理的邊角互化得出等比中項(xiàng)的關(guān)系式即可證

明；

（2）根據(jù)（1）結(jié)論結(jié)合余弦定理解出角5余弦值和正弦值，再根據(jù)三角形的面積公式算出邊。，代入題

中式子用完全平方公式得出最后求出aABC的周長(zhǎng).

【詳解】（1）2sin2B=cos（A-C）+cosB=cos（A-C）—cos（A+C）

2sin2B=cosAcosC+sinAsinC—（cosAcosC-sinAsinC）

2sin2B=2sinAsinC

b2=ac

根據(jù)等比數(shù)列中等比中項(xiàng)定義可知mb,。成等比數(shù)列，證畢

572_12

（2）根據(jù)余弦定理可知“門a2+c2-b22-3

lac2b24

貝！JsinB=Vl-cos2B=，

4

根據(jù)三角形面積公式：sABc=gacsinB=；t>2.?=百得-b=2①

Q2+c2=—/=z>a2+/+2ac=—/+2ac（a+c）=-—36

22v72

得a+c=6,故2ABe的周長(zhǎng)為：C=b+a+c=6+1\p2

19.（湖北省荊門市龍泉中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）已知①c=2四,②B.,③a=2,在這三個(gè)條

件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題，

在中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足：（b-a）（sinB+sinA）=c（百sin8-sinC）

（1）求角A的大小;

（2）已知,,且ABC存在，求,AfiC的面積.

【答案】（l）A=g

6

（2）答案見(jiàn)解析

【分析】（1）由正弦定理將已知式子中的正弦轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的邊，后利用余弦定理可得答案.

「sin「

（2）若選擇①②，可求出C,后可發(fā)現(xiàn)工一不，則相應(yīng)三角形不存在.

7bsinB

若選擇①③，利用余弦定理結(jié)合c=2揚(yáng)，可得到6和c后利用S=；6csinA可得答案.

JT1

若選擇②③，利用正弦定理結(jié)合B=f,可得到A后利用余弦定理得到c,最后利用S=7；absinC得到答案.

42

【詳解】（1）由正弦定理號(hào)=芻=1；,

sinAsinBsinC

(b-6z)(sinB+sinA)=C(A/3sinB-sinC)O(b-〃)(Z?+Q)=c(Gb-c),

即，得b2+c。-嘰_sA=走,又A在三角形中，

2bc2

則

6

(2)若選擇①②，因5=f,A=g,則

46

.(71Tty.7%.(717r\A/6+V2

sinC=sin兀------=sin——=sin——i■一

I46J12U3J4

由正弦定理號(hào)=3=，7；,則包￡=g=心上1*26，故符合條件的三角形不存在.

sinAsinnsinCsin5b2

若選擇①③，由余弦定理有cosA=St——,又c=2j%,A=J，〃=2

2bc6

則C°SA=H￡=等‘解得以擊’則°二手

則SABC=^bcsinA=1搟乂總』=空,即“1BC面積為其I.

2277V7277

若選擇②③，由正弦定理有號(hào)=昌=，7；,則2=坐

sinAsinBsinCasinA

.冗

sm—

又B啖，”2,A*則白4:=，得b=2\/2-

.兀

sm—

62

JTTT兀TC.7%.式兀V6+V2

又3=—，A=—,貝UsinC=sin71------=sin——=sin—+—

464612434

76+72

貝IjSABC=g〃bsinC=；x2x2&x=石+1,即/WC面積為6+1.

4

[I

|越型09|解三角形的實(shí)際應(yīng)用

20.（福建省寧德市高級(jí)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）如圖，禮堂外立面裝修，設(shè)43兩點(diǎn)在禮堂外立

面的上下兩端，測(cè)量者在A的同側(cè)底沿邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為10m,ZACB=15°,NC4B=60。,

就可以計(jì)算出BC兩點(diǎn)的距離為（）

【答案】B

【分析】分析：先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出再根據(jù)正弦定理即可求解.

【詳解】解：ABC中，ZACB=75°,ZC4B=60°,

,ZB=180°-(ZACB+ACAB)=45°,

又：ABC中，AC=100m,

ACCB

由正弦定理可得:

sin5sinZCAB

10x3

ACsinNCAB

則BC=—4=5扁.

sinBV2

~T

故選：B.

21.（2022秋.山東青島?高三統(tǒng)考期中）公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一平面上.某

人在點(diǎn)A處測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?5。，他在公路上自西向東行走，行走60米到點(diǎn)B處，測(cè)得仰角為45。，沿

該方向再行走60米到點(diǎn)C處，測(cè)得仰角為a則sin6=.

【答案】1/0.5

【分析】首先得到=60,。8=60,然后在AOBC中，由余弦定理得求出。C,可求出tan。，即可求出sin夕

如圖，。為樓腳，。尸為樓高，則。尸=60,ZOAP=45°,

所以。4=60,又因?yàn)锳B=60,