2025屆山西省部分學(xué)校高三下學(xué)期2月開學(xué)聯(lián)考考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(★★)1.已知全集，，則（）

A．B．C．D．(★★)2.一次演講比賽，位評(píng)委給某位選手打出了個(gè)原始分，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后得到個(gè)有效分，則這個(gè)有效分與個(gè)原始分相比，下列一定成立的是（）

A．平均分變小B．極差變小C．中位數(shù)不變D．方差變小(★★)3.若，則（）

A．B．C．D．(★★)4.已知向量和滿足，，，則（）

A．B．2C．1D．(★★)5.某高中對(duì)高三年級(jí)的1000名學(xué)生進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)成績測試，得到各同學(xué)的數(shù)學(xué)成績（滿分150分）近似服從正態(tài)分布，則得分在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有（參考數(shù)據(jù)：若，則，）（）

A．324人B．90人C．130人D．45人(★★★)6.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得為線段的中點(diǎn)，則的最小值為（）

A．1B．2C．D．4(★★★)7.已知函數(shù)，則的最小值為（）

A．1B．2C．D．4(★★★★)8.若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）

A．B．C．D．二、多選題(★★★)9.已知函數(shù)，函數(shù)，則（）

A．與的對(duì)稱中心相同B．與有相同的周期C．與在上有1個(gè)交點(diǎn)D．函數(shù)在（）的值域?yàn)?★★★)10.已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）

A．有2個(gè)極值點(diǎn)B．有3個(gè)零點(diǎn)C．只可能在或者時(shí)取得最小值D．對(duì)，恒成立(★★★)11.已知圓，拋物線的焦點(diǎn)為，直線與從上到下依次交于兩點(diǎn)，與從上到下依次交于兩點(diǎn)，則（）

A．若，則的斜率為B．的最小值為4C．為定值D．可以構(gòu)成等差數(shù)列三、填空題(★★)12.數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則______．(★★★)13.正方體的棱長為2，則以的中點(diǎn)為球心，為半徑的球與側(cè)面相交，則交線（在正方形內(nèi)部）的長度為______．(★★★)14.甲、乙進(jìn)行發(fā)球比賽，他們實(shí)力相當(dāng)，每次發(fā)球命中3分或者命中2分或者未命中，三種情況的概率均為．規(guī)則如下：甲、乙輪流發(fā)球，一方發(fā)完球后交給另一方發(fā)球，此時(shí)叫做一輪發(fā)球，現(xiàn)在甲先發(fā)球，乙后發(fā)球，經(jīng)過2輪發(fā)球后，甲得分比乙得分高的概率為______．四、解答題(★★★)15.在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，，．(1)求；(2)記為的中點(diǎn)，求的取值范圍．(★★★)16.如圖，三棱柱中，平面平面，，．(1)證明：；(2)若，，直線與平面所成的角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．(★★★)17.已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)記函數(shù)，已知只有1個(gè)零點(diǎn)，求正整數(shù)的最小值．(★★★★)18.已知雙曲線的離心率為，分別為的左、右焦點(diǎn)，分別為的左、右頂點(diǎn)，為右支上異于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，直線與軸分別交于，直線與軸分別交于．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：；(3)若為定值，探究直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．(★★★★)19.正四面體某個(gè)頂點(diǎn)處有一粒子，粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如下：粒子每經(jīng)過一個(gè)時(shí)間單位，有的概率仍停留在原頂點(diǎn)，也有可能沿著棱從原頂點(diǎn)移動(dòng)到另外的頂點(diǎn)，而且移動(dòng)到另外三個(gè)頂點(diǎn)的任何一個(gè)都是等可能的．已知在時(shí)刻時(shí)，粒子在