3.1列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系-第3課時(shí)

反比例關(guān)系第三章

代數(shù)式【2024新教材】人教版數(shù)學(xué)

七年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********3.1列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系-第3課時(shí)

反比例關(guān)系一、情境導(dǎo)入（10分鐘）展示生活中的兩個(gè)場(chǎng)景：場(chǎng)景一：班級(jí)組織搬運(yùn)圖書活動(dòng)，共有300本圖書需要搬運(yùn)。當(dāng)安排5名同學(xué)搬運(yùn)時(shí)，每人需搬運(yùn)60本；若安排10名同學(xué)搬運(yùn)，每人只需搬運(yùn)30本。場(chǎng)景二：學(xué)校食堂準(zhǔn)備一批食材做包子，每個(gè)包子用餡料20克時(shí)，可以做150個(gè)包子；若每個(gè)包子用餡料30克，則只能做100個(gè)包子。引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：在這兩個(gè)場(chǎng)景中，分別存在哪兩個(gè)變量？這兩個(gè)變量之間的變化有什么規(guī)律？隨著學(xué)生的討論與回答，逐步引出本節(jié)課的主題——反比例關(guān)系，讓學(xué)生初步感知反比例關(guān)系在生活中的體現(xiàn)

。二、知識(shí)新授（20分鐘）（一）反比例關(guān)系的概念定義講解：通過上述實(shí)例，總結(jié)反比例關(guān)系的定義。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定，那么這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。用字母表示為\(xy=k\)（\(k\)為常數(shù)，\(ka?

0\)）

。例如在搬運(yùn)圖書場(chǎng)景中，同學(xué)人數(shù)\(x\)與每人搬運(yùn)圖書數(shù)量\(y\)，\(5??60=10??30=300\)，這里\(300\)就是常數(shù)\(k\)，同學(xué)人數(shù)和每人搬運(yùn)圖書數(shù)量成反比例關(guān)系。概念剖析：強(qiáng)調(diào)“兩種相關(guān)聯(lián)的量”，即一個(gè)量的變化會(huì)引起另一個(gè)量的變化；“乘積一定”是判斷反比例關(guān)系的關(guān)鍵。同時(shí)，對(duì)比正比例關(guān)系（兩種相關(guān)聯(lián)的量，比值一定），讓學(xué)生明確兩者的區(qū)別

。（二）反比例關(guān)系的性質(zhì)變量變化規(guī)律：深入分析反比例關(guān)系中兩個(gè)變量的變化規(guī)律。當(dāng)一個(gè)量增大時(shí)，另一個(gè)量會(huì)減??；反之，當(dāng)一個(gè)量減小時(shí)，另一個(gè)量會(huì)增大。例如在做包子場(chǎng)景中，每個(gè)包子餡料用量增加，包子的個(gè)數(shù)就會(huì)減少

。圖像特點(diǎn)：簡(jiǎn)單介紹反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數(shù)，\(ka?

0\)）的圖像特點(diǎn)，其圖像是雙曲線。當(dāng)\(k>0\)時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限；當(dāng)\(k<0\)時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限

。不過在本節(jié)課中，主要讓學(xué)生對(duì)圖像有初步印象，不進(jìn)行深入的圖像繪制與分析。（三）反比例關(guān)系的判斷方法分析數(shù)量關(guān)系：講解判斷兩種量是否成反比例關(guān)系，首先要分析它們是否相關(guān)聯(lián)，再看它們相對(duì)應(yīng)的乘積是否一定。例如，判斷長方形的面積一定時(shí)，長和寬是否成反比例關(guān)系。因?yàn)殚L方形面積=長

×

寬，面積一定，也就是長和寬的乘積是定值，所以長和寬成反比例關(guān)系

。舉例判斷：給出一些例子，讓學(xué)生判斷兩種量是否成反比例關(guān)系。如：路程一定，速度和時(shí)間。因?yàn)槁烦?速度

×

時(shí)間，路程一定，所以速度和時(shí)間成反比例關(guān)系?？傢摂?shù)一定，已看頁數(shù)和未看頁數(shù)。已看頁數(shù)+未看頁數(shù)=總頁數(shù)，是和一定，不是乘積一定，所以已看頁數(shù)和未看頁數(shù)不成反比例關(guān)系

。三、實(shí)例探究（15分鐘）小組討論：提出實(shí)際問題，組織學(xué)生以小組為單位進(jìn)行討論。問題：某工廠要生產(chǎn)一批零件，每小時(shí)生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)與生產(chǎn)時(shí)間成反比例關(guān)系嗎？為什么？引導(dǎo)學(xué)生從反比例關(guān)系的定義出發(fā)，分析每小時(shí)生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)和生產(chǎn)時(shí)間這兩個(gè)量的關(guān)系。每小時(shí)生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)

×

生產(chǎn)時(shí)間=零件總數(shù)，因?yàn)橐a(chǎn)的零件總數(shù)是一定的，所以每小時(shí)生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)與生產(chǎn)時(shí)間成反比例關(guān)系

。成果分享：每個(gè)小組選派代表分享討論結(jié)果，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和總結(jié)，強(qiáng)調(diào)判斷過程中要緊扣反比例關(guān)系的關(guān)鍵要素

。四、例題講解（15分鐘）例1：判斷下列各題中的兩種量是否成反比例關(guān)系，并說明理由三角形的面積一定，它的底和高。分析：根據(jù)三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}ah\)（\(S\)表示面積，\(a\)表示底，\(h\)表示高），面積一定，即\(\frac{1}{2}ah\)為定值，那么\(ah\)也為定值，所以底和高成反比例關(guān)系。解答：成反比例關(guān)系，因?yàn)槿切蚊娣e一定時(shí)，底和高的乘積是定值。購買筆記本的單價(jià)一定，購買的數(shù)量和總價(jià)。分析：因?yàn)榭們r(jià)

÷

數(shù)量=單價(jià)（一定），是比值一定，不是乘積一定，所以購買的數(shù)量和總價(jià)成正比例關(guān)系，不成反比例關(guān)系。解答：不成反比例關(guān)系，購買的數(shù)量和總價(jià)成正比例關(guān)系，因?yàn)樗鼈兊谋戎狄欢?。?：已知\(y\)與\(x\)成反比例關(guān)系，當(dāng)\(x=4\)時(shí)，\(y=3\)，求當(dāng)\(x=6\)時(shí)，\(y\)的值。分析：因?yàn)閈(y\)與\(x\)成反比例關(guān)系，所以設(shè)\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數(shù)，\(ka?

0\)）。將\(x=4\)，\(y=3\)代入\(y=\frac{k}{x}\)，可得\(3=\frac{k}{4}\)，解得\(k=12\)，所以反比例關(guān)系式為\(y=\frac{12}{x}\)。再將\(x=6\)代入\(y=\frac{12}{x}\)，求出\(y\)的值。解答：設(shè)\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數(shù)，\(ka?

0\)），把\(x=4\)，\(y=3\)代入得：\(3=\frac{k}{4}\)，解得\(k=12\)，所以\(y=\frac{12}{x}\)，當(dāng)\(x=6\)時(shí)，\(y=\frac{12}{6}=2\)。五、課堂練習(xí)（15分鐘）判斷下列兩種量是否成反比例關(guān)系，并說明理由工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間。圓的周長和它的直徑。被除數(shù)一定，除數(shù)和商。已知\(a\)與\(b\)成反比例關(guān)系，當(dāng)\(a=5\)時(shí)，\(b=8\)，求當(dāng)\(a=10\)時(shí)，\(b\)的值。某車間要加工一批零件，原計(jì)劃每天加工40個(gè)，30天完成任務(wù)。如果要提前5天完成，每天需要加工多少個(gè)零件？（用反比例關(guān)系解答）教師在學(xué)生練習(xí)過程中巡視，觀察學(xué)生對(duì)反比例關(guān)系的判斷、運(yùn)用反比例關(guān)系解決問題的情況，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并糾正學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，對(duì)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性輔導(dǎo)

。六、課堂總結(jié)（5分鐘）回顧核心概念：再次強(qiáng)調(diào)反比例關(guān)系的定義，明確判斷兩種量成反比例關(guān)系的關(guān)鍵是它們相對(duì)應(yīng)的乘積一定，以及兩個(gè)變量的變化規(guī)律?？偨Y(jié)解題方法：總結(jié)判斷反比例關(guān)系的方法和利用反比例關(guān)系解決問題的步驟，如先設(shè)出反比例關(guān)系式，再根據(jù)已知條件求出常數(shù)\(k\)，最后進(jìn)行計(jì)算

。強(qiáng)調(diào)實(shí)際應(yīng)用：回顧本節(jié)課中生活實(shí)例，鼓勵(lì)學(xué)生在日常生活中繼續(xù)尋找反比例關(guān)系的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系

。七、作業(yè)布置基礎(chǔ)作業(yè)判斷下列各題中的兩種量是否成反比例關(guān)系，并說明理由長方形的周長一定，它的長和寬。煤的總量一定，每天的燒煤量和能夠燒的天數(shù)。分子一定，分母和分?jǐn)?shù)值。已知\(m\)與\(n\)成反比例關(guān)系，當(dāng)\(m=6\)時(shí)，\(n=4\)，求\(m\)與\(n\)的關(guān)系式，并求當(dāng)\(m=8\)時(shí)，\(n\)的值。拓展作業(yè)一個(gè)長方形的面積是36平方厘米，它的長和寬成反比例關(guān)系。請(qǐng)你列舉出長和寬可能的取值，并在方格紙上畫出幾個(gè)這樣的長方形（每個(gè)小方格邊長為1厘米），觀察這些長方形的形狀變化，你有什么發(fā)現(xiàn)？觀察生活中還有哪些成反比例關(guān)系的例子，記錄下來并嘗試用反比例關(guān)系的知識(shí)進(jìn)行分析，下節(jié)課與同學(xué)們分享

。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1.結(jié)合具體情境理解兩個(gè)量的反比例關(guān)系.2.準(zhǔn)確判斷實(shí)際問題中的兩個(gè)量是否成反比例關(guān)系.3.掌握正比例關(guān)系與反比例關(guān)系的區(qū)別.學(xué)習(xí)目標(biāo)

某品牌蘋果采摘機(jī)器人平均每秒可以完成5m2范圍內(nèi)蘋果的識(shí)別.工作量=工作效率×工作時(shí)間該機(jī)器人ts能識(shí)別的范圍（單位：m2）是5×t=5t.機(jī)器人能識(shí)別的范圍與所用時(shí)間的比值總是一定的（等于5）.因此機(jī)器人能識(shí)別的范圍與所用時(shí)間是成正比例的量，它們成正比例關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)1 反比例關(guān)系

一般地，對(duì)于工程問題，當(dāng)工作效率保持不變，工作量與工作時(shí)間是成正比例的量，它們成正比例關(guān)系.

下面我們來討論，如果工作量保持不變，工作時(shí)間與工作效率之間的關(guān)系.先看一個(gè)實(shí)際問題：知識(shí)點(diǎn)1 反比例關(guān)系

問題北京是全球首個(gè)既舉辦過夏季奧運(yùn)會(huì)又舉辦過冬季奧運(yùn)會(huì)的城市，在冬季奧運(yùn)會(huì)前，某賽場(chǎng)計(jì)劃造雪260000m3.解答下列問題：（1）根據(jù)每天造雪量，計(jì)算所需的造雪天數(shù)，填寫表3.1-1.每天造雪量/m3500052006500…造雪天數(shù)…表3.1-1造雪總量

525040知識(shí)點(diǎn)1 反比例關(guān)系

（2）每天造雪量和造雪天數(shù)這兩個(gè)量是怎樣變化的？它們之間有什么關(guān)系？每天造雪量/m3500052006500…造雪天數(shù)…表3.1-1525040每天造雪量變大造雪天數(shù)變小可以發(fā)現(xiàn)，造雪天數(shù)隨著每天造雪量的變大而變小，而且造雪天數(shù)與每天造雪量的乘積一定，總是260000.像這樣，兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，一個(gè)量變化，另一個(gè)量也隨著變化，且這兩個(gè)量的乘積一定，這兩個(gè)量就叫作成反比例的量，它們之間的關(guān)系叫作反比例關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)2 反比例關(guān)系的表示方法

無論x，y如何變化，x與y的乘積始終等于常數(shù)k.例1

如圖，四個(gè)圓柱形容器內(nèi)部的底面積分別為10cm2，20cm2，30cm2，60cm2.分別往這四個(gè)容器中注入300cm3的水.（1）四個(gè)容器中水的高度分別是多少厘米？知識(shí)點(diǎn)2 反比例關(guān)系的表示方法

例1

（2）分別用x（單位：cm2）和y（單位：cm）表示容器內(nèi)部的底面積與水的高度，用式子表示y與x的關(guān)系，y與x成什么比例關(guān)系？知識(shí)點(diǎn)2 反比例關(guān)系的表示方法

xy=300

y與x成反比例關(guān)系.思考

生活中，成反比例關(guān)系的例子是很常見的.例如，在購買某種物品時(shí)，總價(jià)一定，購物的數(shù)量與商品的單價(jià)成反比例關(guān)系，你還能舉出一些例子嗎？知識(shí)點(diǎn)2 反比例關(guān)系的表示方法

機(jī)器加工一批零件，加工的總數(shù)量一定時(shí)，每小時(shí)加工的數(shù)量與加工的時(shí)間成反比例關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)3 正比例與反比例關(guān)系的區(qū)別

正比例關(guān)系反比例關(guān)系兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量x，y的乘積一定，這兩個(gè)量就叫作反比例的量，它們之間的關(guān)系叫作反比例關(guān)系.即xy=k（k是一個(gè)確定的值，且k≠0）.例2

判斷下面各題中的兩個(gè)量x，y是否成反比例關(guān)系，并說明理由.（1）普通投影儀燈泡的使用壽命約為1500小時(shí)，它的可使用天數(shù)y（天）與平均每天使用的時(shí)間x（時(shí)）；知識(shí)點(diǎn)3 正比例與反比例關(guān)系的區(qū)別

例2

判斷下面各題中的兩個(gè)量x，y是否成反比例關(guān)系，并說明理由.（2）一種商品的單價(jià)為a（元/件），所花費(fèi)的錢數(shù)y（元）與購買的件數(shù)x（件）；知識(shí)點(diǎn)3 正比例與反比例關(guān)系的區(qū)別

解：（2）y=ax,不是反比例關(guān)系，因?yàn)閥與x的比值是定值，是正比例關(guān)系.例2

判斷下面各題中的兩個(gè)量x，y是否成反比例關(guān)系，并說明理由.（3）小明應(yīng)完成的作業(yè)量a一定，他已完成的作業(yè)量x和未完成的作業(yè)量y；知識(shí)點(diǎn)3 正比例與反比例關(guān)系的區(qū)別

解：（3）x+y=a,不是反比例關(guān)系，因?yàn)閥與x的和是定值.例2

判斷下面各題中的兩個(gè)量x，y是否成反比例關(guān)系，并說明理由