專題12勾股定理

題型分析

瘍題型演練

題型一用勾股定理解直角三角形

■■IIIII

1.如圖，將Rt^ABC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到向：ADE,點、B的對應點。恰好落在BC邊上.若

AC=2^5,48=60,則8的長為（）

E

2.如圖，.ABC中，AB=AC=3A/5,BC=6,分別以點8、C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧

交于點E,作射線AE,在射線AE上任取一點。，連接。C.若8=5,則AD的長為（）

3.小明釘了一個長與寬分別為30厘米和20厘米的長方形木框，為了增加其穩(wěn)定性，他準備沿長方形的對

角線釘上一根木條，這根木條的長應為（）厘米.（結(jié)果用最簡二次根式表示）

A.13V100B.A300C.IOA/13D.5而

4.如圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰

好能夠組合得到如圖2所示的四邊形Q4BC.若0c=百，BC=1,ZAOB=30°,則。4的值為（）

1CMB-7

圖1圖2

3

A.73B.-C.r-D.1

5.如圖，在,ABC中，AB=AC=5,BC=8,點。是邊3c上一點（點。不與點8,C重合），將ACD沿

翻折，點C的對應點為點E,AE交8C于點/，若DE〃AB,則點B到線段AD的距離為（）

A.|75

6.在，ASC中，/ACB=90。，AC^BC,G是A3邊上一點，過點G作射線CP,過點A作AMLCP于點

M,過點3作5NLC尸于點N.

A

(1)證明：AM=CN；

⑵取AB中點0,連接OM、ON,猜想線段BN、AM,0M的數(shù)量關(guān)系，并證明.

7.如圖：已知在.ABC中，ZB=45°,ZC=30°.

(1)尺規(guī)作圖：

①作ABC的高A。；

②作/C4D的平分線AE,交2c于點E(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)若AC=8,求43的長.

8.在數(shù)學興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學探究活動.

圖③

(1)ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點，且AE=1,小亮以BE為邊作等邊三角形3防，

如圖①，求CP的長；

(2)ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以3E為邊作等邊三角形3EF,如圖②,

在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長；

(3)ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高8上的一個動點，小亮以3M為邊作等邊三角形如圖

③，在點M從點C到點。的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長.

9.如圖，ABC和都是等腰直角三角形，ZACB=ZECF=90,AC=BC,EC=FC連接AE并延長

與CB交與點。，連接

圖2圖3

(1)如圖1,求證：AE=BF

⑵如圖2,△ECF繞著頂點C旋轉(zhuǎn)，當A、E、尸三點共線時，取好的中點G,連接CG,求證:

AE2+EF2=4CG2;

(3)如圖3,若AC=8C=3g,ZBAD=15°,連接。尸，當E運動到使得NACE=30時，求山砂的面積.

10.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,△AC8和△OCE均為等邊三角形，當△DCE旋轉(zhuǎn)至點AD,E在同一直線上

時，連接BE.

①求NAEB的大小;

②求證：AE=BE+CE.

(2)拓展研究：如圖2,AACB和ADCE均為等腰直角三角形，NACB="CE=90。，點AD,E在同

一直線上.若CE=&,BE=2,求CB的長度.

題型二勾股定理與網(wǎng)格問題

11.如圖，在4x4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，3OLAC于點。,

則皮)的長為()

A.好B.孚

2-I

12.如圖，矩形A8CO由6個邊長為1的小正方形組成，連接小正方形的頂點E、C及D、尸交于點。，則

1g/。0。的值為().

A.非B.2C.73D.72

13.如圖，在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點A、B、O都在格點上，則NA08的正弦值是()

1

A.叵B.3

DT

107-

14.如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中,若小正方形的邊長是1,則任意兩個格點間的距離不可熊是(

A.yf~JB.y/sC.也D.M

15.如圖所示的2x4的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角

16.圖①、圖②分別是10x8的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1,兩點在小正方形的格點上,

請在圖①、圖②中各取一點(點C必須在小正方形的格點上)，使以A、B.C為頂點的三角形分別滿足下列

要求.

(1)在圖①中畫一個.ABC,使NACB=90。，面積為5；

(2)在圖②中畫一個二ABC,]tBA=BC,NASC為鈍角，并求.ABC的周長.

17.如圖是由小正方形組成的8x8網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中

完成畫圖，并保留必要的作圖痕跡.

(1)在圖1中，在直線的下方作格點。使AD13C,連接AD,垂足為X.

(2)在圖2中找出所有可能的格點R使△3CF是以為直角邊的等腰直角三角形，并畫出△3CF.

⑶在圖3中的線段BC上畫出點G,使NAGC=45.

18.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都為1,每個小正方形的頂點叫格點，圖中已給出了兩個格

點A,B,

(1)在格點上取一點C,畫一個ABC,使/BAC=45。，1.5ASC=6.

(2)在格點上取一點，畫一個△回￡),且AO=5,BD=^fn,并利用網(wǎng)格畫出ND4B的平分線.

19.圖①、圖②、圖③均是6x6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格點,

只用無刻度的直尺，在圖①、圖②、圖③中各畫一個三角形，要求同時滿足以下三個條件：

(1)三角形的頂點在格點上;

(2)三角形是腰長為無理數(shù)的等腰三角形;

(3)三角形的面積為6.

題型三勾股定理與折疊問題

20.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,將矩形沿AC折疊，點B落在點8處，則重疊部分的

面積為（）

A.12B.106

21.如圖，長方形ABC。中，A8=3cm,AO=9cm,將此長方形折疊，使點3與點。重合折痕為EF,貝必A8E

的面積為（）

A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.12cm2

22.如圖，有一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cm,2C=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使

它落在斜邊AB上且與AE重合，則8。的長為（）

A

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

23.如圖，三角形紙片ABC中，NBAC=90。，AB=2,AC=3.沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在

邊上的點。處；再折疊紙片，使點C與點。重合，若折痕與AC的交點為E,則AE的長是（）

X

--------

E

A-TB-1c-iD.g

5

24.如圖，三角形紙片ABC,點。是BC邊上一點，連接AZ）把△A2D沿著翻折，得到AAM,DE

與AC交于點G,連接BE交于點E若。G=GE,AF=6,BF=4,AAOG的面積為8,則點尸到8C的

距離為（）

*

E

B［）C

A2/ZB2君Q4下D.迪

T?丁?丁5

題型四勾股定理的證明方法

25.根據(jù)圖形（圖1,圖2）的面積關(guān)系，下列說法正確的是（）

A.圖1能說明勾股定理，圖2能說明完全平方公式

B.圖1能說明平方差公式，圖2能說明勾股定理

C.圖1能說明完全平方公式，圖2能說明平方差公式

D.圖1能說明完全平方公式，圖2能說明勾股定理

26.如圖，將正方形ABCD剪去4個全等的直角三角形（圖中陰影部分），得到邊長為。的四邊形EFGH.下

列等式成立的是（）

A.a+b=cB.c2=(a+b)2-4ab

C.c2=(a+b)(a-b)D.a2+b2=c2

27.勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端.下面四幅圖中不能證

明勾股定理的是（）

28.在勾股定理的學習過程中，我們已經(jīng)學會了運用以下圖形，驗證著名的勾股定理：這種根據(jù)圖形直觀

推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”.實際上它也可用于驗證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)

域中的許多數(shù)學公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學思想是（）

A.統(tǒng)計思想B.分類思想C.數(shù)形結(jié)合思想D.函數(shù)思想

29.觀察“趙爽弦圖'’（如圖），若圖中四個全等的直角三角形的兩直角邊分別為a,b,a>b,根據(jù)圖中圖形

面積之間的關(guān)系及勾股定理，可直接得到等式（）

A.a(a-b)=a2-ab

C.(a——Q?—2ab+b?D.(a+b)?-Q?+2ab+

題型五勾股定理的實際應用

30.一架長為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為6米，如果梯子的頂端沿墻壁下滑

1米，那么梯子的底端向后滑動的距離（）

A.等于1米B.大于1米C.小于1米D.不能確定

31.我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載這樣一個問題，原文是：“今有立木，系索其末，委地三尺.引

索卻行，去本八尺而索盡.問索長幾何?”譯文為；“現(xiàn)在有一根直立的木柱，用一根繩索綁住木柱的頂端，

另一端自由下垂，則繩索比木柱多三尺；將繩索的另一端靠地拉直，此時距離木柱的底端八尺，問這條繩

索的長度是多少?”根據(jù)題意，求得繩索的長度是（）

A.9—尺B.9尺C.12尺D.12—尺

66

32.如圖，《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問折高者幾何？意思

是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠,

求折斷處離地面的高度.設(shè)竹子折斷處離地面無尺，根據(jù)題意，可列方程為（）

A.X2+62=102B.(10—x)2+62=x2

C.x2+(10—無)2—6~D.X2+62=(10—x)2

33.小穎的媽媽用如圖的口杯喝花茶，由于吸管有點短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的內(nèi)徑6cm,口杯

內(nèi)部高度9cm,要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要()cm.

A.9B.10C.11D.12

34.如圖，一艘海輪位于燈塔尸的北偏東30。方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間

后，到達位于燈塔尸的南偏東45。方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為()

A.40海里B.40也海里C.80海里D.40n海里

35.如圖，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中有線段和C。，點A、B、C、D均在小正方形的頂

點上

(1)畫出一個以為底的等腰ABE,點E在小正方形的頂點上，且ABE的面積為了；

(2)畫出以為一腰的等腰，CDF,點尸在小正方形的頂點上，且C"的面積為10；

(3)在(1)、(2)的條件下，連接EF,請直接寫出線段EF的長.

36.如圖，將一架梯子斜靠在墻上(墻與地面垂直)，梯子的頂端距地面的垂直距離AB=8m,梯子的底端

距墻的距離3c=6m.

(1)求梯子的長度；

(2)如果將梯子向下滑動，使得梯子的底端向右滑動1m，那么此時梯子頂端下滑了多少米.

37.學完勾股定理之后，同學們想利用升旗的繩子、卷尺，測算出學校旗桿的高度.愛動腦筋的小明這樣

設(shè)計了一個方案：將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端5米

處，發(fā)現(xiàn)此時繩子底端距離打結(jié)處約1米.請你設(shè)法幫小明算出旗桿的高度.

G

38.如圖，一棵被大風吹折的大樹在8處斷裂，樹梢著地.經(jīng)測量，折斷部分A8與地面的夾角/8AC=30。,

樹干在某一時刻陽光下的影長CZ）=6米，而在同時刻身高1.5米的人的影子長為2米.求大樹未折斷前

的高度.

39.如圖，某海岸線AM的方向為北偏東75。，從港口A處測得海島C在北偏東45。方向，從港口8處測得

海島C在北偏東30。方向，已知港口A與海島C的距離為36海里，求港口2與海島C的距離.

40.如圖，臺風中心位于點。處，并沿東北方向（北偏東45。），以40千米/小時的速度勻速移動，在距離臺

風中心50千米的區(qū)域內(nèi)會受到臺風的影響，在點。的北偏東15。方向，距離80千米的地方有一城市3,問:

8市是否會受到此臺風的影響？若受到影響，請求出受到影響的時間；若不受到影響，請說明理由.

北

題型六判斷直角三角形

41.下列各線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1、也、6B.1、1、1C.3\4\52D.6、8、14

42.三角形的三邊。，b,。滿足（〃+b）2—。2=2〃人，則此三角形是)

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

43.下列各組數(shù)中,能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.1,1,6C.6,8,11D.5,12,23

44.下列各組數(shù)中,能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.6,7,8B.5,6,7C.4,5,6D.6,8,10

45.已知.ABC的三條邊分別是〃、b、c,則下列條件中不能判斷‘ABC是直角三角形的是（）

A.a:Z?:c=3:4:5B.ZC=ZA+ZB

C.ZA:ZB:ZC=1:5:6D.NA:NB:NC=3:4:5

題型七利用勾股定理逆定理求解

46.如圖，四邊形A3CZ)中，AB^3cm,AD4cm,BC=13cm,CD=12cm,且NA=90°,則四邊形ABC。

的面積為（）

A.12cm2B.18cm2

47.如果下列各組數(shù)是三角形的三邊,那么不能組成直角三角形的一組數(shù)是（）

A.9,40,41B.5,12,13C.0.3,0.4,0.5D.8,24,25

48.如圖，有四個三角形，各有一邊長為6,一邊長為8,若第三邊分別為6,8,10,12,則面積最大的三

角形是（）

A.B.

49.如圖，尸是等邊三角形A3C內(nèi)的一點，且以=3,尸3=4,PC=5,以為邊在ABC外作

LBQC%ABPA,連接PQ,則以下結(jié)論中不正確的是（）

Q

A.NPBQ=60°B.NPQC=90°C.ZAPC=120°D.ZAPB=150°

50.如圖，在△ABC中，AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,D,E,尸分別是AB,BC,CA的中點，貝1]△DEF

的面積等于（）

c

A.1B.1.5C.2D.3

專題12勾股定理

題型分析

題型演練

題型一用勾股定理解直角三角形

IIII■

1.如圖，將Rt^ABC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到而ADE,點、B的對應點。恰好

落在BC邊上.若AC=2^,NB=60，則CD的長為（）

A.1D.2也

【答案】B

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知筋=A。，又因為ZB=60,可得一ADB為等邊三角形，又因為

RtA8C中有NC=30,所以AC=1:2：6，

故由已知AC=2jL算出2C,A3相減即可.

【詳解】ZB=60,AB=AD,

15/58

，.ADB為等邊三角形，

AB=BD,

又,在RtA3C中，ZB=60，則NC=30,

BC=2AB,AC=6AB,

「已知所以AB=2,BC=4,

CD=BC-BD=4-2=2,

故選：B.

2.如圖，/IBC中，AB=AC=3y/5,BC=6,分別以點8、C為圓心，大于;3C的長為

半徑作弧，兩弧交于點E,作射線AE,在射線AE上任取一點。，連接。C.若CD=5,則

AD的長為（）

【答案】A

【分析】連接班、CE（圖見詳解），由AB=AC可得AE為線段8c的垂直平分線，再利用

勾股定理求出A。、0D,即可求得AD的長.

【詳解】如圖，連接BE、CE,設(shè)交3C于點。

AB=AC=375

A點在線段BC的垂直平分線上

???AE垂直平分線段BC

BO=CO=-BC=3,ZAOB=ZAOC=ZCOD=90°

2

在用ABO中，由勾股定理得

16/58

AO=y/AB2-OB2=J（3A/5）2-32=6

在RtZXCZJO中，CD=5,由勾股定理，得

DO=VCZ^-OC2=752-32=4

AD=AO+Z）O=6+4=10

故選：A

3.小明釘了一個長與寬分別為30厘米和20厘米的長方形木框，為了增加其穩(wěn)定性，他準

備沿長方形的對角線釘上一根木條，這根木條的長應為（）厘米.（結(jié)果用最簡二次根式

表示）

A.13V100B.V1300C.10V13D.5>/13

【答案】C

【分析】由于長方形木框的寬和高與所加固的木板正好構(gòu)成直角三角形，故可利用勾股定理

解答.

【詳解】解：設(shè)這條木板的長度為x厘米，

由勾股定理得：X2=302+202,

解得x=10\/13cm.

故選：C.

4.如圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的

直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形若OC=6，BC=1,

ZAOB=30°,則的值為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理和含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：./OBC=90°,0C=5BC=1,

ZA=90°,ZAOB=30°,

17/58

AB=-OB=\,

2

s.OA^^OB1-AB1=A/22-12=6,

故選：A.

5.如圖，在ABC中，AB=AC=5,BC=8,點。是邊BC上一點（點。不與點8,C重

合），將ACD沿AD翻折，點C的對應點為點E,AE交BC于點F,若DE〃AB,則點8

到線段AD的距離為（）

A.|^5

【答案】B

【分析】過A作AG,3c于G,過2作工AD于X,依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，平行線的

性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，即可得到BD的長，再根據(jù)勾股定理即可得到AD的長，最后依據(jù)面

積法即可得出BH的長，進而得到點B到線段的距離.

【詳解】解：如圖，過A作AG_L3C于G,過2作于X,

AB=AC=5,

：.ZABC=ZC,BG=-BC=4,AG=yIAB。-Bd1=3,

'：DE//AB,

：.ZBAF=ZE,ZABC=ZEDF,由折疊的性質(zhì)得：ZE=ZC,AE=AC=5,

：.ZABC=ZBAF=NE=ZEDF,

AAF=BF,EF=DF,

BD=AE=AC=5,

：.DG=BD-BG=5-4=lf

RtVADG中，AD=y/AG2+DG2=710>

-ADxBH=-BDxAG,

22

.BDxAG5x33回

??Dll=----------=-i'=-------?

ADVW2

故選：B.

18/58

6.在.ABC中，/ACB=90。，AC^BC,G是AB邊上一點，過點G作射線CP,過點A作

4"，8于點加，過點B作BNLCP于點N.

⑴證明：AM=CN；

(2)取A3中點。，連接31、ON,猜想線段BN、AM,OM的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴見解析

(2)AM=BN+y/2OM，理由見解析

【分析】(1)證明△AQW絲aCBN即可證得結(jié)論；

(2)連接0C,先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)得到4=/2,

進而證明一0cM絲OBN(SAS)求得0M=0N,ZM0N=90。,利用勾股定理和線段和與差

計算即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖，AM1CP,BNLCP,

：.ZCMA=ZBNC=90°,

：.ZCAM+ZACM^90°,

?/ZACB=90°,

：.ZACM+ZBCN=90°,

：.Z.CAM=ZBCN,

,/AC=BC,

.ACM^CBN(AAS),

:.AM=CN.

(2)解：結(jié)論：AM=BN+^2OM.

證明：如圖，連接OC,

VZACB=90°,AC=BC,。是AB中點，

19/58

AOC=OB,N3=N4=45。，COLAB,

??,AACM沿ACBN,

:?AM=CN,CM=BN,N1+N3=N4+N2,

???N1=N2,

:?、OCM均OBN〈SAS),

**.OM=ON,N5=N6,

VZ5+Z7=90°,

???N6+N7=90。，即NMON=90。，

MN=yJOM2+OM2=叵OM，

?/CN=CM+MN,

：?AM=BN+也OM.

1.如圖：已知在.ABC中，ZB=45°,ZC=30°.

⑴尺規(guī)作圖：

①作ABC的高AD；

②作/C4D的平分線AE,交8C于點E（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）若AC=8,求AB的長.

【答案】（1）見解析

（2）472

【分析】（1）①先以A為圓心，大于A到BC的距離為半徑畫弧，得與2C的兩個交點，再

分別以這兩個交點為圓心，大于這兩個交點之間的距離的一半為半徑畫弧，得兩弧的交點，

過A與兩弧的交點畫線段，交BC于D,則可得答案；

②先以A為圓心，任意長為半徑畫弧，得與NC4D的兩邊相交的兩個交點，再分別以這兩

個交點為圓心，大于這兩個交點之間的距離的一半為半徑畫弧，得兩弧的交點，過A與兩

20/58

弧的交點畫線段AE,交BC于E,則可得答案；

(2)利用含30。的直角三角形的性質(zhì)求解AD,再證明AD=BD=4,再利用勾股定理可得

答案.

【詳解】(1)解：①如圖，則AD為所作;

②如圖，則AE為所作.

(2)在RtaACD中，

,/ZC=30°,

/.Ar>=-AC=-x8=4,

22

在RtAABZ)中，

?/4=45。，

ABAD=90°-ZB=45°,

：.ZB=ZBAD,

BD=AD=4,

???△ABD為等腰直角三角形，

AB=VAD123+BD2=V42+42=472-

8.在數(shù)學興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學探究活動.

圖③

(1)ASC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點，且AE=1,小亮以8E為邊作等

邊三角形BEF,如圖①，求CP的長；

(2)ASC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以8E為邊作等邊三角

形BEF,如圖②，在點E從點C到點A的運動過程中，求點尸所經(jīng)過的路徑長；

(3)ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高C。上的一個動點，小亮以8M為邊作等邊三角

形BMN,如圖③，在點M從點C到點。的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長.

【答案】⑴CC=1；

21/58

⑵點B所經(jīng)過的路徑長為3；

(3)點N所經(jīng)過的路徑的長為:有.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AABE/△CBE(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即

可求出"的長；

(2)連接C/,易證4件四△CB尸(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CF〃AB,當點E

在C處時，CF=AC,當點E在A處時，點尸與C重合，進一步即可求出點尸運動的路徑

的長；

(3)取8C中點H,連接HV,易證/△HBN(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

HN=DM,NHLBC,當點M在。處時，HN=CD=f,當點M在。處時，點N與H

2

重合，從而可求出點N所經(jīng)過的路徑長.

【詳解】(1)解：?.?.ABC、ZXBEF是等邊三角形，

ABA=BC9BE=BF,ZABC=ZEBF=6Q°.

：.ZABE=ZCBF,

：.AABE^ACBF(SAS),

：.CF=AE,

AE=1,

：.CF=1；

(2)解：連接。尸，如圖所示：

VABC.ABEF是等邊三角形，

ABA=BCfBE=BF,ZABC=ZEBF=6Q°,ZA=60°,

:?ZABE=/CBF,

：.AABE^ACBF(SAS),

:?CF=AE,ZBCF=ZA=60°f

ZABC=60°,

：.ZBCF=ZABCf

：.CF//AB,

??,二ABC是邊長為3的等邊三角形，

???AC=3,

22/58

當點E在C處時，CF=AC,

當點石在A處時，點產(chǎn)與。重合，

?,?點F運動的路徑的長=AC-3；

(3)解：取中點H,連接HN,如圖所示:

/.BH=-BC,

2

???是等邊三角形，

BC=AB=AC,ZABC=60°,

：.BH=-AB,

2

CD^AB,

：.BD=-AB,

2

???BH=BD,

???_8MN是等邊三角形，

:?：.BM=BN,ZMBN=60。，

；?：.ZDBM=ZHBN,

：.(SAS),

HN=DM,NBHN=NBDM=90。,

：.NH±BC,

??,.ABC是邊長為3的等邊三角形，

3

/.BC=3,BD=—,

2

根據(jù)勾股定理，得cr>=|粗，

當點加在C處時，HN=CD=-s/3,

2

當點M在。處時，點N與“重合，

，點N所經(jīng)過的路徑的長=CD=.

2

9.如圖，ABC和都是等腰直角三角形，ZACB=ZECF=90,AC^BC,EC=FC

連接AE并延長與CB交與點。，連接

23/58

圖2圖3

(1)如圖1,求證：AE=BF

(2)如圖2,繞著頂點C旋轉(zhuǎn)，當A、E、尸三點共線時，取"的中點G,連接CG,

求證：AE2+EF2=4CG2;

(3)如圖3,若AC=BC=3g,ZBAD=15°,連接。尸，當E運動到使得ZACE=30時，求

一DEF的面積.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

C-9

4

【分析】(1)根據(jù)題意得出N3CF+，3CE=4CE+NACE,BC=AC,CF=CE,再由

全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明;

(2)延長CG至點〃使CG=GH,連接AH,FH,BE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出

AE2+EF2=EF2+FB2=EB2，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)得出AC=CB,ACLCB,

CB=FH,FHLCB,最后利用全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理即可證明;

(3)作平行于4)交CE于點/,連接JD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出S"EF=S.EW，

/CJF=/CED,再由等腰三角形及等邊三角形的判定得出*ACE是等腰三角形，即

AE=CE,是等邊三角形，過J作瓦＞的垂線交匹于點K,再利用含30度角的三角

形的性質(zhì)及勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：；和AECE都是等腰直角三角形，ZACB=ZECF=90,

:./BCF+NBCE=/BCE+NACE,BC=AC,CF=CE,

：.NBCF=/ACE,

^BCF^ACE(SAS),

/.BF=AE；

(2)由(1)得?BCR四?ACE,

...ZAEC=NCFB=180°-NCEF=135°,AE=FB,

/DFB=135°-ZCFE=90°,

即AE2+EF2=EF2+FB'=EB2，

延長CG至點〃使CG=GH,連接AH,FH,BE,

24/58

*：CG=GH,AG=GF,

J四邊形AC五H是平行四邊形，即AC〃尸H,AC=FH,

VAC=CB,AC1CB,

：.CB=FH,FHLCB,

*BCFdACE,

:.NACE=NBCF,

?；NECB=90。一/ACE,NHFC=9U-NBCF,

；?NECB=NHFC,

在.ECB與eCFH中,

CB=FH

<NECB=NHFC,

CE=FC

：.?ECBdCFH,

；?CH=EB,

AE2+EF2=EB1+CH2=4CG2,

BPAE2+EF2=4CG2；

(3)作E7平行于AD交CE于點J,連接JD,

9：FJ//ED,

:?S.DEF=S.EDJ，NCJF=NCED,

'：ZBAD=15°,"4B=45。，

：.^CAD=30°,

???/ACE=/C4D=30。，

?)?ACE是等腰三角形，即AE=CE,

???ZECD=ZCED=ZEDC=60°,

????ECD是等邊三角形，

???/CAD=30。，AC=35

；?CD=CE=ED=CF=3,

V^FCJ=90°,NCJF=60。,CF=3,

:,CJ=6，即JE=3-5

過)作的垂線交ED于點、K,

25/58

,：ZJEK=60°,JE=3-5

.373-31973-9

XJX-

,?J.DEF_Q.EDJ_224.

10.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,ZXACB和ADCE均為等邊三角形，當ADCE旋轉(zhuǎn)至點AD,E

在同一直線上時，連接3E.

①求NAEB的大?。?/p>

②求證：AE=BE+CE.

(2)拓展研究：如圖2,△AC3和△￡)(?￡均為等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,點

A,D,E在同一直線上.若CE=e,BE=2,求CB的長度.

【答案】(1)①60。,②見解析；(2)回

【分析】(1)由條件易證△ACD絲△3CE,從而得到：AD=BE,ZADC=ZBEC.由點

AD,E在同一直線上可求出/AOC,從而可以求出NAEB的度數(shù)；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)由“SAS”可證△ACD四△BCE,可得BE=AD,ZADC=NBEC,由勾股定理可求解.

【詳解】(1)①解：:△AC3和△DCE均為等邊三角形，

ACA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

：.ZACD=ZBCE,

在，ACD和BCE中，

AC=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

，.ACD^,BCE(SAS).

:./ADC=/BEC,

?/△￡>(7￡為等邊三角形，

，NCDE=NCED=60°,

?.?點A,D,E在同一直線上，

/ADC=120。，

/.NBEC=120。,

ZAEB=ZBEC-ZCED=60°；

②證明：VAACD^ASCE,

/.AD=BE,

：.CDE是等邊三角形，

26/58

：?CE=DE,

：.AE=AD+DE=BE+CE；

^AE=BE+CE；

(2)解：?「△DCE為等腰直角三角形，CD=CE=也,

：?DE=^CD1+CE1=y]2CE2=42CE=2,ZCDE=ZCED=45°

VAC=BC,DC=EC,ZACD=90°-ZDCB,ZBCE=90°-ZDCBf

：.ZACD=ZBCE,

在，ACD和BCE中,

AC=BC

<ZACD=ZCE,

DC=EC

???.ACD烏BCE(SAS),

/.AD=BE=2,

AE=AD+DE=4,

/CEB=ZACD=180°-ZCDE=135°,

JZAEB=ZCEB-ZCED=90°f

AB=[AE2+BE2=2石，

VZACB=90°,CA=CB,

C^+CB2=AB2,

2cB2=20,

CB=M.

r??i

題型二勾股定理與網(wǎng)格問題

I__________________________I

11.如圖，在4x4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，BDA.AC

于點。，則30的長為()

【答案】D

【分析】根據(jù)面積相等的方法，即可求出答案.

11Q

【詳解】解：由題意可得，AABC的面積是：3x4--x3xl--x3x4=-,

???8。是AASC的高，&。=疹百=5，

27/58

9

解得，BD=~,

故選：D.

12.如圖，矩形ABC。由6個邊長為1的小正方形組成，連接小正方形的頂點E、C及。、

尸交于點。，則tan/OOC的值為().

A.A/5B.2C.y/3D.72

【答案】B

【分析】以點尸為原點，以尸C所在直線為x軸，建立如圖平面直角坐標系網(wǎng)0,0),E(-1,1),

Q(2,2),C(2,0),求出ED.EC=2x3-1x2=4,再根據(jù)0</OOC<萬，求出tan/OOC的值.

【詳解】

解：以點尸為原點，以FC所在直線為無軸，建立如圖平面直角坐標系，

則尸(0,0。￡(-1,1),D(2,2),C(2,0)

FD=j4+4=2忘,\EC^=yj9+i=yJ10,

FZ)-EC=2x3-lx2=4,

FDEC4V5

?-c°s/DOC=何國=運行=T

\"0<ZDOC<^,：,sinZDOC=-Jl-cos2ZDOC=--,

sinNDOC

tmZDOC==2.

cosXDOC

故選：B.

13.如圖，在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點A、B、O都在格點上，則NA03的

正弦值是()

28/58

A.—B.3C.1D.好

1022

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理解得AB,AO,8。的長，再由SABo=gA8）=；AO-BO-sinNAO8

即可解答.

【詳解】解：由圖可知，AB=2,AO=[U+于=2■底30=42?+2?=20，

S.=-ABh=-AOBOsmZAOB

Rn22

—x2x2=—x2A/5x2A/2-sinZAOB

22

sinZAOB=

10

故選：A.

14.如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長是1,則任意兩個格點間的距離不可

熊是（）

A.77D.710

【答案】A

【分析】利用直角三角形的勾股定理即可求出答案.

【詳解】解：在3義3的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長是1,

二任意兩個格點間的距離為,2?+2?=瓜，732+12=710，也，1,2,3,

V32+32=3A/2,722+32=713-42+寸=后?

；?任意兩個格點間的距離不可能是⑺，

故選：A.

15.如圖所示的2x4的正方形網(wǎng)格中，AABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角

形稱為格點三角形，則點A到BC的距離等于（）

29/58

LL42

A-歷B-2忘C->口.瓦

【答案】C

【分析】過點A作于。，由網(wǎng)格特征和勾股定理可得，BC的長，再利

S4ABC=5BCxAD=SMECF-^/\ABM~BEC~^AAFC即可求解.

【詳解】解：如圖：過點A作AOL2C于￡）,

由網(wǎng)格特征和勾股定理可得，BC2=l2+32=10,

.-.Bc=Vio

S^ABC=^MECF-—^ABEC~^AAFC

=2x3——xlxl——xlx3——x2x2

222

=2

SAABC=^BC>AD,

:.-BC.AD=2,

2

故選：C

16.圖①、圖②分別是10x8的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1,A3兩點在小正

方形的格點上，請在圖①、圖②中各取一點（點C必須在小正方形的格點上），使以A、B、C

為頂點的三角形分別滿足下列要求.

⑴在圖①中畫一個4ABC,使NACB=90。，面積為5；

（2）在圖②中畫一個.ABC,使R4=3C,/ABC為鈍角，并求，ABC的周長.

【答案】（1）見解析

30/58

⑵作圖見解析，10+4行

【分析】（1）根據(jù)題意可知AB=5,要使ABC面積為5,則只需要過點C作垂直的直

線且長度為2即