第1章3.1第2課時等比數(shù)列的性質及應用基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引

課程標準1.能夠根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項公式推出等比數(shù)列的常用性質.2.能夠運用等比數(shù)列的性質解決有關問題.3.能夠運用等比數(shù)列的知識解決簡單的實際問題.基礎落實·必備知識一遍過知識點

等比數(shù)列{an}的常用性質1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則

.

特例:若m+n=2p(m,n,p∈N+),則2.an=am·

(m,n∈N+).

3.在等比數(shù)列{an}中,每隔k項取出一項,取出的項按原來順序組成新數(shù)列,該數(shù)列仍然是等比數(shù)列,公比為

.

4.數(shù)列{c·an}(c≠0),{|an|},{an·bn}({bn}也是等比數(shù)列),等也是等比數(shù)列.5.a1an=a2an-1=…=aman-m+1.注意等式成立的前提和角標規(guī)律

此時ap是am和an的等比中項

am·an=ap·aqqn-mqn-m名師點睛等比數(shù)列{an}的增減性(1)當q>1,a1>0或0<q<1,a1<0時,{an}是遞增數(shù)列.(2)當q>1,a1<0或0<q<1,a1>0時,{an}是遞減數(shù)列.(3)當q=1時,{an}是常數(shù)列;當q<0時,{an}是擺動數(shù)列.思考辨析1.[人教B版教材習題]如果等比數(shù)列{an}中公比q>1,那么{an}一定是遞增數(shù)列嗎?為什么?提示

不一定,比如公比為2的等比數(shù)列-1,-2,-4,-8,-16,….2.在等比數(shù)列{an}中,若am·an=ak·al,是否有m+n=k+l成立?提示

不一定成立,如數(shù)列{an}的通項公式an=2的常數(shù)列,公比為1,此時am·an=ak·al,但m+n=k+l不一定成立.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)在等比數(shù)列{an}中,若公比q<0,則{an}一定不是遞增數(shù)列.(

)(2)若{an},{bn}都是等比數(shù)列,則{an+bn}是等比數(shù)列.(

)(3)若數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列,且公比相同,則{an}是等比數(shù)列.(

)(4)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且m+n=p(m,n,p∈N+),則am·an=ap.(

)√×××2.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且公比大于0,則“q>1”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(

)A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件D解析

當a1<0,q>1時,數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,即充分性不成立;當數(shù)列{an}是遞增數(shù)列時,可能是a1<0,0<q<1,即必要性不成立.故“q>1”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.3.[2024陜西咸陽期中]在正項等比數(shù)列{an}中,a4a8a12=8,則log2a2+log2a14=

.

2重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一等比數(shù)列通項公式的推廣應用【例1】

(1)已知在等比數(shù)列{an}中,若a3=2,a4a6=16,則

=(

)A.16 B.8 C.4 D.2C(2)已知等比數(shù)列{an}中,若a4=2,a7=8,求an.規(guī)律方法

1.應用an=amqn-m,可以憑借任意已知項和公比直接寫出通項公式,不必再求a1.2.等比數(shù)列的增減性由a1,q共同確定,但只要數(shù)列遞增或遞減,必有q>0.變式訓練1已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7等于(

)A.21 B.42 C.63 D.84B解析

設等比數(shù)列{an}的公比為q,則由a1=3,a1+a3+a5=21,得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故選B.探究點二等比數(shù)列的性質及其應用【例2】

(1)在等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=2,an-2an-1an=4,且a1a2a3·…·an=64,則數(shù)列{an}有

項.

12解析

由題意及等比數(shù)列的性質得a1a2a3an-2an-1an=(a1an)3=8,即a1an=2,則a1a2a3·…·an=64=26=(a1an)6,故數(shù)列{an}有12項.★(2)已知{an}為等比數(shù)列.①若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;②若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.②根據(jù)等比數(shù)列的性質,得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95,∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10.規(guī)律方法

巧用等比數(shù)列的性質解題

變式訓練2(1)在正項等比數(shù)列{an}中,若a6=3,則log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11=(

)A.5 B.6 C.10 D.11D解析

因為a6=3,且{an}為等比數(shù)列,所以a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a7==32,所以log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11=log3(a1a2a3…a11)=log3311=11.故選D.★(2)(多選題)已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),公比為q,且a1>1,a8+a9>a8a9+1>2,記數(shù)列{an}的前n項積為Tn,則下列選項中正確的是(

)A.q>1 B.a8>1C.T16>1 D.T17>1BC解析

由a8+a9>a8a9+1,得(a8-1)(1-a9)>0,即a8,a9中一個大于1,另一個小于1.∵等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),公比為q,即q>0,∴數(shù)列{an}要么是遞增數(shù)列,要么是遞減數(shù)列,而a1>1,∴綜上可知,a8>1>a9,即數(shù)列{an}為遞減數(shù)列且0<q<1.∵T16=a1·a2·…·a16=(a8a9)8,又a8a9>1,∴T16>1,而T17=(a9)17<1,故選BC.探究點三由等比數(shù)列衍生的新數(shù)列【例3】

已知在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6等于(

)D解析

∵{an}為等比數(shù)列,∴a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9也成等比數(shù)列,∴(a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9)=5×10.又數(shù)列{an}各項均為正數(shù),∴a4a5a6=5.規(guī)律方法

借助新數(shù)列與原數(shù)列的關系,整體代換可以減少運算量.變式訓練3在等比數(shù)列{an}中,若a12=4,a18=8,則a36為(

)A.32 B.64

C.128

D.256B解析

由等比數(shù)列的性質可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比數(shù)列,且

=2,故a36=4×24=64.探究點四等比數(shù)列的實際應用【例4】

某人買了一輛價值13.5萬元的新車,專家預測這種車每年按10%的速度貶值.(1)用一個式子表示n(n∈N+)年后這輛車的價值.(2)如果他打算用滿4年時賣掉這輛車,他能得到多少錢?解

(1)n年后車的價值依次設為a1,a2,a3,…,an,由題意,得a1=13.5×(1-10%),a2=13.5×(1-10%)2,….由等比數(shù)列定義,知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,∴n年后車的價值為an=13.5×0.9n萬元.(2)由(1)得a4=13.5×0.94=8.857

35(萬元),∴用滿4年時賣掉這輛車,能得到8.857

35萬元.規(guī)律方法

等比數(shù)列應用題的關注點(1)常見類型:增長率問題、銀行利率問題、數(shù)值增減問題等.(2)關鍵:建立數(shù)學模型,即將實際問題轉化成等比數(shù)列的問題.(3)步驟構造數(shù)列→判斷數(shù)列→尋找條件→建立方程→求解方程→正確解答變式訓練4《九章算術》中有一題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主貴之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬”,馬主曰:“我馬食半牛”,今欲衰償之,問各出幾何?其意:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,苗主人要求賠償五斗粟,羊主人說:“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”,馬主人說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”.則牛主人比羊主人多賠償粟的斗數(shù)是(

)B解析

由題意,羊、馬、牛的主人需賠償?shù)乃谝来纬傻缺葦?shù)列{an},且公比q=2,因為一共賠償五斗粟,所以a1+a2+a3=5,即a1+a1q+a1q2=5,即7a1=5,本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)等比數(shù)列通項公式的推廣應用.(2)等比數(shù)列的性質及其應用.(3)等比數(shù)列的實際應用.2.方法歸納:化歸轉化、數(shù)學建模.3.常見誤區(qū):等比數(shù)列性質的錯用,例如誤用為a6=a2·a4.學以致用·隨堂檢測促達標123451.對任意等比數(shù)列{an},下列說法一定正確的是(

)A.a1,a3,a9成等比數(shù)列B.a2,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列D解析

根據(jù)等比數(shù)列的性質,若m+n=2k(m,n,k∈N+),則am,ak,an成等比數(shù)列.即a3,a6,a9成等比數(shù)列.故選D.6123452.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,滿足a2+a4=10,a3+a5=20,則log2a1+log2a2+…+log2a10=(

)A.55 B.45 C.16 D.32B解析

設等比數(shù)列{an}的公比為q,所以a10=1×29=29,因此,log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2…a10)=log2(a1a10)5=log2(29)5=45.故選B.6123453.一張報紙的厚度為a,面積為b