第六章2.2離散型隨機(jī)變量的分布列基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過實(shí)例,了解離散型隨機(jī)變量的含義.2.了解離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)、兩點(diǎn)分布的概念.3.會求簡單的離散型隨機(jī)變量的分布列.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)1

離散型隨機(jī)變量取值能夠

的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.

名師點(diǎn)睛離散型隨機(jī)變量的特征(1)可用數(shù)值表示;(2)試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值;(3)試驗(yàn)之前不能確定取何值;(4)試驗(yàn)結(jié)果能一一列出.一一列舉出來

思考辨析離散型隨機(jī)變量的取值必須是有限個(gè)嗎?提示

不一定,離散型隨機(jī)變量的取值可以一一列舉出來,所取值可以是有限個(gè),也可以是無限個(gè).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)一只大熊貓一年內(nèi)的體重是離散型隨機(jī)變量.(

)(2)離散型隨機(jī)變量的取值可以是某一區(qū)間內(nèi)的任意值.(

)××2.[人教A版教材習(xí)題]在某項(xiàng)體能測試中,跑1km時(shí)間不超過4min為優(yōu)秀.某位同學(xué)跑1km所花費(fèi)的時(shí)間X是離散型隨機(jī)變量嗎?如果只關(guān)心該同學(xué)是否能夠取得優(yōu)秀成績,應(yīng)該如何定義隨機(jī)變量?解

該同學(xué)跑1

km所花費(fèi)的時(shí)間X不是離散型隨機(jī)變量.如果我們只關(guān)心該同學(xué)是否能夠取得優(yōu)秀成績,可以定義如下的隨機(jī)變量:Y是離散型隨機(jī)變量,事件{Y=1}表示該同學(xué)跑1

km所花費(fèi)的時(shí)間不超過4

min,能夠取得優(yōu)秀成績;事件{Y=0}表示該同學(xué)跑1

km所花費(fèi)的時(shí)間大于4

min,不能夠取得優(yōu)秀成績.知識點(diǎn)2

離散型隨機(jī)變量的分布列

1.定義

即為隨機(jī)變量取值及其相應(yīng)概率的列表若離散型隨機(jī)變量X的取值為x1,x2,…,xn,…,隨機(jī)變量X取xi的概率為pi(i=1,2,…,n,…),記作P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n,…).①①式也可以列成表,如表所示:xix1x2…xn…P(X=xi)p1p2…pn…上表或①式稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列,簡稱為X的分布列.如果隨機(jī)變量X的分布列為上表或①式,我們稱隨機(jī)變量X服從這一分布列,記作2.性質(zhì)(1)pi>0(i=1,2,…,n,…);(2)p1+p2+…+pn+…=1.名師點(diǎn)睛對于性質(zhì)的理解(1)pi表示的是事件X=xi發(fā)生的概率,因此每一個(gè)pi都是正數(shù).(2)因?yàn)榉植剂薪o出了隨機(jī)變量能取的每一個(gè)值,而且隨機(jī)變量取不同的值時(shí)的事件是互斥的,所以p1+p2+…+pn+…=1.另一方面,由此可以得出隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.思考辨析在擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的隨機(jī)試驗(yàn)中,X表示向上的點(diǎn)數(shù),X的取值有哪些?X取每個(gè)值的概率分別是多少?提示

列成表的形式

自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)在離散型隨機(jī)變量分布列中隨機(jī)變量的每一個(gè)可能值對應(yīng)的概率可以為任意的實(shí)數(shù).(

)(2)在離散型隨機(jī)變量分布列中,在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各值的概率之積.(

)(3)在離散型隨機(jī)變量分布列中,取各個(gè)值的概率之和為1.(

)(4)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)××√√2.[人教A版教材習(xí)題]籃球比賽中每次罰球命中得1分,不中得0分.已知某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.7,求他一次罰球得分的分布列.解

設(shè)該運(yùn)動員一次罰球得分為X,其分布列為

X01P0.30.73.[人教A版教材習(xí)題]某種資格證考試,每位考生一年內(nèi)最多有3次考試機(jī)會.一旦某次考試通過,便可領(lǐng)取資格證書,不再參加以后的考試,否則就繼續(xù)參加考試,直到用完3次機(jī)會.小李決定參加考試,如果他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,且每次考試是否通過相互獨(dú)立.試求:(1)小李在一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列;(2)小李在一年內(nèi)領(lǐng)到資格證書的概率.解

(1)考試次數(shù)X的可能取值為1,2,3,且P(X=1)=0.6,P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28,P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)=0.12.∴X的分布列為X123P0.60.280.12(2)P=0.6+0.28+0.12×0.8=0.976.或P=1-0.4×0.3×0.2=0.976.知識點(diǎn)3

伯努利試驗(yàn)與兩點(diǎn)分布若在某個(gè)試驗(yàn)中,每次試驗(yàn)只有兩個(gè)相互對立的結(jié)果,可以分別稱為“成功”和“失敗”,每次“成功”的概率均為p,每次“失敗”的概率均為1-p,則稱這樣的試驗(yàn)為伯努利試驗(yàn).如果隨機(jī)變量X的分布列如表所示:X10Ppq其中0<p<1,q=1-p,那么稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布(又稱0—1分布或伯努利分布).思考辨析若隨機(jī)變量X的分布列為

X12P

那么X服從兩點(diǎn)分布嗎?提示

不服從兩點(diǎn)分布,兩點(diǎn)分布中X的取值只能是0,1.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)伯努利試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè),這兩個(gè)結(jié)果互為對立事件.(

)(2)兩點(diǎn)分布又稱0—1分布或伯努利分布.(

)√√2.已知一批200件的待出廠產(chǎn)品中,有1件不合格品,現(xiàn)從中任意抽取2件進(jìn)行檢查,若用隨機(jī)變量X表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù),求X的分布列.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的判定【例1】

指出下列隨機(jī)變量是不是離散型隨機(jī)變量,并說明理由.(1)某座大橋一天某個(gè)時(shí)段內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X;(2)某超市5月份某天的銷售額;(3)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差ξ;(4)長江某水位監(jiān)測站所測水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化,該水位站所測水位ξ.解

(1)車輛數(shù)X的取值可以一一列出,故X為離散型隨機(jī)變量.(2)某超市5月份某天銷售額取值可以一一列出,故為離散型隨機(jī)變量.(3)實(shí)際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出,不是離散型隨機(jī)變量.(4)不是離散型隨機(jī)變量.水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化,不能按次序一一列舉.規(guī)律方法

“三步法”判定離散型隨機(jī)變量(1)依據(jù)具體情境分析變量是否為隨機(jī)變量.(2)由條件求解隨機(jī)變量的值域.(3)判斷變量的取值能否被一一列舉出來,若能,則是離散型隨機(jī)變量;否則,不是離散型隨機(jī)變量.變式訓(xùn)練1指出下列隨機(jī)變量是不是離散型隨機(jī)變量,并說明理由.(1)從10張已編好號碼的卡片(從1號到10號)中任取一張,被取出的卡片的號碼;(2)一個(gè)袋中裝有4個(gè)白球和3個(gè)黑球,從中任取3個(gè),其中所含白球的個(gè)數(shù);(3)某林場樹木最高達(dá)30m,此林場中樹木的高度.

解

(1)只要取出一張,便有一個(gè)號碼,因此被取出的卡片號數(shù)可以一一列出,是離散型隨機(jī)變量.(2)從7個(gè)球中取3個(gè)球,所得的結(jié)果有以下幾種:3個(gè)白球;2個(gè)白球和1個(gè)黑球;1個(gè)白球和2個(gè)黑球;3個(gè)黑球,即所含白球的個(gè)數(shù)可以一一列出,是離散型隨機(jī)變量.(3)林場樹木的高度是一個(gè)隨機(jī)變量,它可以取(0,30]內(nèi)的一切值,無法一一列舉,不是離散型隨機(jī)變量.【例2】

拋擲兩枚骰子一次,記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)減去第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為X,那么“X≤-4”表示的隨機(jī)事件的結(jié)果不可能是(

)A.第一枚1點(diǎn),第二枚4點(diǎn)B.第一枚2點(diǎn),第二枚6點(diǎn)C.第一枚1點(diǎn),第二枚5點(diǎn)D.第一枚1點(diǎn),第二枚6點(diǎn)A解析

拋擲兩枚骰子,點(diǎn)數(shù)之差滿足小于等于-4的只有三種情況:第一枚為1點(diǎn)、第二枚為6點(diǎn);第一枚為1點(diǎn)、第二枚為5點(diǎn);第一枚為2點(diǎn)、第二枚為6點(diǎn).故選A.變式探究例2中,如果擲出的點(diǎn)數(shù)之差的絕對值為隨機(jī)變量X,X取值有哪些?解

X=0,1,2,3,4,5.規(guī)律方法

關(guān)于離散型隨機(jī)變量取值的意義關(guān)鍵是明確隨機(jī)試驗(yàn)產(chǎn)生隨機(jī)變量的方法,就可以反推隨機(jī)變量的取值對應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果.這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果對于求隨機(jī)變量取值對應(yīng)的概率至關(guān)重要.變式訓(xùn)練2一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球,從中任取3個(gè),其中所含白球的個(gè)數(shù)為ξ.(1)列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對應(yīng)的ξ的值;(2)若規(guī)定抽取3個(gè)球中,每抽到一個(gè)白球加5分,抽到黑球不加分,且最后結(jié)果都加上6分,求最終得分η的可能取值,并判定η是否為離散型隨機(jī)變量.解

(1)ξ0123結(jié)果取得3個(gè)黑球取得1個(gè)白球,2個(gè)黑球取得2個(gè)白球,1個(gè)黑球取得3個(gè)白球(2)由題意可得η=5ξ+6,而ξ可能的取值為{0,1,2,3},所以η對應(yīng)的各值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.故η的可能取值為6,11,16,21.其結(jié)果可以一一列出,符合離散型隨機(jī)變量的定義.顯然,η為離散型隨機(jī)變量.探究點(diǎn)二求離散型隨機(jī)變量的分布列【例3】

某班有學(xué)生45人,其中O型血的有15人,A型血的有10人,B型血的有12人,AB型血的有8人.將O,A,B,AB四種血型分別編號為1,2,3,4,現(xiàn)從中抽1人,其血型編號為隨機(jī)變量X,求X的分布列.規(guī)律方法

求離散型隨機(jī)變量分布列的一般步驟(1)確定X的所有可能取值xi(i=1,2,…)以及每個(gè)取值所表示的意義.(2)利用概率的相關(guān)知識,求出每個(gè)取值相應(yīng)的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…).(3)寫出分布列.(4)根據(jù)分布列的性質(zhì)對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).變式訓(xùn)練3為檢測某產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)抽取5件產(chǎn)品,測量產(chǎn)品中微量元素x,y的含量(單位:毫克),測量數(shù)據(jù)如下:編號12345x169178166177180y7580777081如果產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥177且y≥79時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品.現(xiàn)從上述5件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)X的分布列.解

由題意,5件抽測品中有2件優(yōu)等品,則X的可能取值為0,1,2.X012P0.30.60.1探究點(diǎn)三分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用【例4】

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X01234P0.20.10.10.3m求:(1)2X+1的分布列;(2)|X-1|的分布列.解

由分布列的性質(zhì)知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3.根據(jù)題意列表為X012342X+113579|X-1|10123從而由上表得(1)2X+1的分布列為2X+113579P0.20.10.10.30.3(2)|X-1|的分布列為

|X-1|0123P0.10.30.30.3規(guī)律方法

離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)通過性質(zhì)建立關(guān)系,求得參數(shù)的取值或范圍,進(jìn)一步求出概率,得出分布列.(2)求對立事件的概率或判斷某概率是否成立.變式訓(xùn)練4(1)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為

則k的值為(

)B(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=(i=1,2,3),則P(X≥2)=

.

解析由已知得隨機(jī)變量X的分布列為

探究點(diǎn)四伯努利試驗(yàn)與兩點(diǎn)分布【例5】

袋內(nèi)有10個(gè)白球,5個(gè)紅球,兩種球除顏色不同外均相同,從中摸出2個(gè)球,記