第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,?1)，則z的共軛復(fù)數(shù)z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(

)A.(2,1) B.(?2,?1) C.(1,2) D.(?1,?2)2.若cosα=12，則α=(

)A.kπ+π3(k∈Z) B.kπ+π6(k∈Z)3.已知向量a，b滿足a+b=(2,1)，a?bA.?2 B.?1 C.0 D.14.將曲線y=cos2x向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則m的最小值為(

)A.π8 B.π4 C.π25.在△ABC中，若a=3，b=1，∠A=π3，則A.π6 B.π4 C.π36.在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①AC1⊥BDA.①③ B.②③ C.①④ D.②④7.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，則(

)A.ω=2，φ=?π6

B.ω=2，φ=π6

C.ω=12，8.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠A=60°.將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得BD=3，則三棱錐D?ABC的體積為(

)A.12 B.32 C.19.函數(shù)f(x)=cos2xcosx，x∈(?π2A.奇函數(shù)，且存在最大值 B.奇函數(shù)，且存在最小值

C.偶函數(shù)，且存在最大值 D.偶函數(shù)，且存在最小值10.設(shè)x，y為平面向量，定義運(yùn)算x?y=|x||y|sin?x，y?.已知向量a，A.334 B.332二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.若復(fù)數(shù)z滿足i?z=3?4i，則|z12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，且tanα<0，則α，β的一組取值可以為α=______；β=______．13.已知圓柱形水杯的底面半徑為3cm，側(cè)面積為120πcm2，則水杯的容積約為_(kāi)_____ml.(精確到1ml，水杯壁厚度忽略不計(jì)14.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，點(diǎn)P在CD邊上．

①若AP?AB=1，則?AP,15.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P在正方形A1B1C1D1及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)P，使得PC⊥BD；

②對(duì)任意點(diǎn)P，PC與BD均為異面直線；

③到直線A1D1和三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題10分)

已知α∈(π2,π)，sinα=35．

(1)求tan(π17.(本小題13分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)

(1)求證：AB⊥平面B118.(本小題13分)

在△ABC中，已知sinA=sin2A．

(1)求∠A；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得△ABC存在，求△ABC的面積．

條件①：a=7；條件②：cosB=?34；條件③：b=3．

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問(wèn)得0分．19.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=2cosx?cos(x?π3)+c的一個(gè)零點(diǎn)為?π12．

(1)求c；

(2)當(dāng)x∈[?π620.(本小題13分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，AE⊥PB．

(1)求證：AE⊥PC；

(2)求證：直線AE不可能與平面PCD平行；

(3)空間中是否存在球O，使得四棱錐P?ABCD的頂點(diǎn)均在此球面上？若存在，確定球心O的位置(結(jié)論無(wú)需證明)；若不存在，說(shuō)明理由．21.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.若存在周期均為π2的兩個(gè)不同的偶函數(shù)g(x)，?(x)，使得f(x)=g(x)cosx+?(x)sinx，則稱f(x)具有性質(zhì)P．

(1)判斷f1(x)=sinx，f2(x)=x+sinx是否具有性質(zhì)P，并說(shuō)明理由；

(2)已知f(x)具有性質(zhì)P，且f(x)不恒為0.設(shè)M={T|f(T+x)=f(x),0<T<2π}.證明：若M為有限集，則參考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.D

6.B

7.A

8.A

9.C

10.B

11.5

12.3π4

π4(13.565

14.π2

[?2,1]15.①②③

16.(1)sinα=35，α∈(π2,π)，故cosα=?45，tanα=?34，

則tan(π4?α)=tanπ17.證明：(1)因?yàn)樵谥比庵鵄BC?A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，

AB?平面ABC，所以AB⊥B1B，

又因?yàn)锳B⊥BC，BC∩B1B=B，BC，B1B?平面B1BCC1，

所以AB⊥平面B1BCC1．

(2)取AB的中點(diǎn)D，因?yàn)镕為BC的中點(diǎn)，連接DF，DE，

所以DF//AC，且DF=12AC，

因?yàn)镋為A1C1的中點(diǎn)，AC//A1C18.(1)sinA=sin2A=2sinAcosA，

因?yàn)锳∈(0,π)，所以sinA>0，

故cosA=12，

故A=π3；

(2)因?yàn)锳=π3，所以B∈(0,2π3)，

因?yàn)閥=cosx在x∈(0,2π3)上單調(diào)遞減，故cosB∈(?12,1)，

但條件②，cosB=?34<?12不合要求，故不能選條件②；

選①、③，由余弦定理得a2=19.(1)由題意得f(x)=2cosx?cos(x?π3)+c=2cosx?(12cosx+32sinx)+c

=cos2x+3sinxcosx+c=12(1+cos2x)+32sin2x+c

=32sin2x+12cos2x+1220.(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，

又AB⊥BC，AB∩PA=A，AB，PA?平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，

又AE?平面PAB，

所以BC⊥AE，

又因?yàn)锳E⊥PB，PB∩BC=B，PB，BC?平面PBC，

所以AE⊥平面PBC，

又PC?平面PBC，

所以AE⊥PC；

(2)證明：過(guò)E點(diǎn)作EF/?/BC交PC于點(diǎn)F，連接DF，如圖所示：

因?yàn)锽C⊥平面PAB，且AD//BC，

則DA⊥平面PAB，

又AE?平面PAB，所以DA⊥AE，

即∠DAE=π2，

由(1)可知AE⊥平面PBC，

又EF?平面PBC，

所以AE⊥EF，

即∠AEF=π2，且EF<BC=DA

所以四邊形AEDF為直角梯形，∠DAE=∠AEF=π2，

AE與DF為腰，

所以AE的延長(zhǎng)線與DF的延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)，

又DF?平面PDC，

所以直線AE與平面PCD相交，

即直線AE不可能與平面PCD平行；

(3)存在，球心O位于PC的中點(diǎn)處，理由如下：

理由如下：將四棱錐P?ABCD的補(bǔ)成長(zhǎng)方體PNST?ABCD，如圖所示：

根據(jù)長(zhǎng)方體外接球的球心位于體對(duì)角線的交點(diǎn)上，

則四棱錐P?ABCD的外接球心O位于長(zhǎng)方體PNST?ABCD的體對(duì)角線的交點(diǎn)處，

該位置也是PC的中點(diǎn)處．

故存在，球心21.(1)f1(x)具有性質(zhì)P，f2(x)不具有性質(zhì)P，理由如下：

令g(x)=0，?(x)=1，

顯然g(x)和?(x)是兩個(gè)周期均為π2的不同的偶函數(shù)，

且f1(x)=sinx=0?cosx+1?sinx，

所以f1(x)具有性質(zhì)P；

對(duì)于f2(x)，假設(shè)其具有性質(zhì)P，

由性質(zhì)P的定義可得f2(x)的周期為2π，

但f2(0)=0+sin0=0，f2(2π)=2π+sin2π=2π，

所以f2(0)≠f2(2π)，與函數(shù)具有性質(zhì)P矛盾，

所以f2(x)不具有性質(zhì)P；

(2)證明：若