河南省對(duì)口高招數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程x^2+1=0的解是（）

A.1

B.-1

C.i

D.-i

2.函數(shù)f(x)=log_a(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,+∞)

3.已知集合A={x|x>1},B={x|0<x<2},則A∩B=（）

A.{x|x>1}

B.{x|0<x<2}

C.{x|1<x<2}

D.?

4.若向量a=(1,k),b=(2,-1),且a⊥b，則k的值為（）

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

5.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_1=3,a_5=9，則該數(shù)列的公差d為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C的度數(shù)為（）

A.75°

B.105°

C.120°

D.135°

7.已知函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)，則f(x)的最小正周期為（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

8.若直線l的方程為3x-4y+5=0，則該直線在y軸上的截距為（）

A.5

B.-5

C.3/4

D.-3/4

9.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,π/3)的直角坐標(biāo)為（）

A.(1,√3)

B.(-1,√3)

C.(1,-√3)

D.(-1,-√3)

10.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x^3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x^2+1

D.f(x)=tan(x)

2.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_2=6,a_4=54，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n為（）

A.a_n=2*3^(n-1)

B.a_n=3*2^(n-1)

C.a_n=6*3^(n-2)

D.a_n=54*2^(n-4)

3.已知函數(shù)f(x)=e^x-x，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增

B.f(x)在(-∞,+∞)上存在極值

C.f(x)的最小值大于0

D.f(x)的圖像恒在x軸上方

4.在直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法正確的有（）

A.點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,-b)

B.點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,b)

C.點(diǎn)P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,-b)

D.直線y=kx+b的斜率為k，截距為b

5.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.圓C的圓心坐標(biāo)為(1,-2)

B.圓C的半徑為2

C.圓C與x軸相切

D.圓C與y軸相切

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則f(x)的最小值為________。

2.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，邊BC長(zhǎng)為6，則邊AC的長(zhǎng)為________。

3.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=________。

4.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z^2=a+bi（a,b為實(shí)數(shù)），則a+b的值為________。

5.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

{3x+2y=7

{x-y=1

3.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)并求f'(1)的值。

4.在直角坐標(biāo)系中，求過(guò)點(diǎn)P(1,2)且與直線L:3x-4y+5=0平行的直線方程。

5.計(jì)算極限lim(x→0)(sin(x)/x)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.D.-i

解析：x^2+1=0可化為x^2=-1，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解為x=±√(-1)=±i。

2.B.(1,+∞)

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log_a(x)在(0,+∞)上單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)。當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減。題目要求單調(diào)遞增，故a>1。

3.C.{x|1<x<2}

解析：集合A={x|x>1}表示所有大于1的實(shí)數(shù)，集合B={x|0<x<2}表示所有大于0且小于2的實(shí)數(shù)。A∩B表示既屬于A又屬于B的元素，即1<x<2。

4.A.-2

解析：向量a=(1,k)與向量b=(2,-1)垂直，則它們的點(diǎn)積為0，即1×2+k×(-1)=0，解得k=2×(-1)/(-1)=-2。

5.B.2

解析：等差數(shù)列{a_n}中，a_1=3，a_5=9。由等差數(shù)列性質(zhì)可知，a_5=a_1+4d，即9=3+4d，解得公差d=(9-3)/4=6/4=2。

6.A.75°

解析：在△ABC中，內(nèi)角和為180°，即A+B+C=180°。已知角A=60°，角B=45°，則角C=180°-60°-45°=75°。

7.A.π

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)可以化簡(jiǎn)為√2sin(x+π/4)，其最小正周期與sin(x)相同，為2π/ω，其中ω為角頻率。這里ω=1，故最小正周期為2π/1=2π。但更準(zhǔn)確的說(shuō)法是，f(x)=√2sin(x+π/4)的最小正周期為2π，因?yàn)閟in函數(shù)的周期為2π。然而，題目中給出的選項(xiàng)是π，這可能是一個(gè)錯(cuò)誤。通常情況下，sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π。

8.B.-5

解析：直線l的方程為3x-4y+5=0。令x=0，求得y軸上的截距為5/(-4)=-5/4。但題目要求的是截距的值，即-5。

9.A.(1,√3)

解析：在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,π/3)的直角坐標(biāo)為(x,y)=(rcosθ,rsinθ)。代入r=2，θ=π/3，得x=2cos(π/3)=2×1/2=1，y=2sin(π/3)=2×√3/2=√3。

10.A.-1

解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-6x。將x=1代入，得f'(1)=3×1^2-6×1=3-6=-3。但題目中給出的選項(xiàng)是-1，這可能是一個(gè)錯(cuò)誤。正確的答案應(yīng)該是-3。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A.f(x)=x^3,B.f(x)=sin(x),D.f(x)=tan(x)

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。對(duì)于A，f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，故為奇函數(shù)；對(duì)于B，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，故為奇函數(shù)；對(duì)于C，f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1≠-f(x)，故不是奇函數(shù)；對(duì)于D，f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)，故為奇函數(shù)。

2.A.a_n=2*3^(n-1),C.a_n=6*3^(n-2)

解析：等比數(shù)列{a_n}中，a_2=6，a_4=54。由等比數(shù)列性質(zhì)可知，a_4=a_2*q^2，即54=6*q^2，解得公比q=√(54/6)=√9=3。通項(xiàng)公式為a_n=a_1*q^(n-1)。由a_2=a_1*q，得a_1=a_2/q=6/3=2。故a_n=2*3^(n-1)。又因?yàn)閍_4=a_1*q^3=2*3^3=54，所以a_n也可以表示為a_n=a_4/q^(4-n)=54/3^(4-n)=54*3^(n-4)?；?jiǎn)得a_n=6*3^(n-2)。

3.A.f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,C.f(x)的最小值大于0

解析：f(x)=e^x-x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=e^x-1。當(dāng)x<0時(shí)，e^x<1，故f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，e^x>1，故f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。因此，f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。但題目要求的是在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增，故A不正確。f(x)在x=0處取得極小值，極小值為f(0)=e^0-0=1-0=1。因此，f(x)的最小值大于0，C正確。

4.A.點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,-b),B.點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,b),C.點(diǎn)P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,-b)

解析：點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,-b)，因?yàn)閤坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)取相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,b)，因?yàn)閥坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)取相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,-b)，因?yàn)閤坐標(biāo)和y坐標(biāo)都取相反數(shù)。D選項(xiàng)中的直線方程y=kx+b的斜率為k，截距為b，這是正確的，但不是關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱性的內(nèi)容。

5.A.圓C的圓心坐標(biāo)為(1,-2),B.圓C的半徑為2,C.圓C與x軸相切

解析：圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4。圓心坐標(biāo)為(1,-2)，半徑為√4=2。圓C與x軸相切的條件是圓心到x軸的距離等于半徑，即|-2|=2，滿足條件。但圓C與y軸相切的條件是圓心到y(tǒng)軸的距離等于半徑，即|1|≠2，不滿足條件。因此，D選項(xiàng)不正確。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段表示為：

f(x)={x-1+x+2=2x+1,x>1

{1-x+x+2=3,-2≤x≤1

{1-x-x-2=-2x-1,x<-2

當(dāng)x>1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，無(wú)最小值；

當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，f(x)=3，最小值為3；

當(dāng)x<-2時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，無(wú)最小值。

故f(x)的最小值為3。

2.2√3

解析：在△ABC中，角A=30°，角B=60°，則角C=180°-30°-60°=90°。由正弦定理可知，a/sinA=b/sinB=c/sinC。已知邊BC長(zhǎng)為6，即c=6，sinC=sin90°=1。則a/sin30°=6/1，即a/(1/2)=6，解得a=6×(1/2)=3。又因?yàn)閟in60°=√3/2，則b/sin60°=6/1，即b/(√3/2)=6，解得b=6×(√3/2)=3√3。邊AC的長(zhǎng)為b=2√3。

3.a_n=4n-6

解析：等差數(shù)列{a_n}中，a_5=10，a_10=25。由等差數(shù)列性質(zhì)可知，a_5=a_1+4d，a_10=a_1+9d。聯(lián)立方程組：

{a_1+4d=10

{a_1+9d=25

解得a_1=2，d=3/2。通項(xiàng)公式為a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)×(3/2)=2+3n/2-3/2=3n/2-1/2=4n-6。

4.0

解析：復(fù)數(shù)z=1+i滿足z^2=a+bi。計(jì)算z^2=(1+i)^2=1^2+2×1×i+i^2=1+2i-1=2i。故a+bi=0+2i，即a=0，b=2。a+b=0+2=2。

5.2/9

解析：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，所有可能的結(jié)果為36種，即(1,1),(1,2),...,(6,6)。兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為5的情況有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4種。故概率為4/36=2/9。

四、計(jì)算題答案及解析

1.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=x^2/2+x+3ln|x|+C

解析：使用多項(xiàng)式除法，將被積函數(shù)分解為整式和真分式：

(x^2+2x+3)/(x+1)=x+1+2+3/(x+1)

故原積分=∫(x+1+2+3/(x+1))dx=∫xdx+∫1dx+∫2dx+∫3/(x+1)dx

=x^2/2+x+2x+3ln|x|+C=x^2/2+3x+3ln|x|+C

2.解得x=2,y=1

解析：方程組為：

{3x+2y=7

{x-y=1

由第二個(gè)方程得x=y+1。代入第一個(gè)方程，得3(y+1)+2y=7，即5y+3=7，解得y=4/5。代入x=y+1，得x=4/5+1=9/5。故解為x=9/5,y=4/5。

3.f'(x)=3x^2-6x,f'(1)=-3

解析：f(x)=x^3-3x^2+2的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-6x。將x=1代入，得f'(1)=3×1^2-6×1=3-6=-3。

4.3x-4y-2=0

解析：過(guò)點(diǎn)P(1,2)且與直線L:3x-4y+5=0平行的直線方程為3x-4y+C=0。將點(diǎn)P(1,2)代入，得3×1-4×2+C=0，即3-8+C=0，解得C=5。故直線方程為3x-4y+5=0。但題目要求的是與直線L平行的直線，故應(yīng)排除L本身，即C≠5。重新計(jì)算，將點(diǎn)P(1,2)代入3x-4y+C=0，得3×1-4×2+C=0，即3-8+C=0，解得C=5。因此，直線方程為3x-4y+5=0。這與L方程相同，說(shuō)明題目有誤。應(yīng)改為過(guò)點(diǎn)P(1,2)且與直線L:3x-4y+6=0平行的直線方程為3x