數(shù)學(xué)平面圖的題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪種圖形一定是平面圖？（）A.三棱柱B.四棱錐C.正方體D.正四面體答案：C2.平面圖中頂點(diǎn)數(shù)\(V\)、邊數(shù)\(E\)、面數(shù)\(F\)滿足歐拉公式（）A.\(V-E+F=1\)B.\(V+E-F=2\)C.\(V-E+F=2\)D.\(V+E+F=2\)答案：C3.一個平面圖有5個頂點(diǎn)，8條邊，它的面數(shù)是（）A.3B.4C.5D.6答案：C4.完全圖\(K_3\)是（）A.平面圖B.非平面圖C.不一定D.以上都不對答案：A5.若一個平面圖的所有面的次數(shù)之和為18，邊數(shù)是（）A.6B.9C.12D.18答案：B6.平面圖的邊數(shù)\(E\)與頂點(diǎn)數(shù)\(V\)滿足關(guān)系\(E\leq\)（）A.\(2V-4\)B.\(3V-6\)C.\(4V-8\)D.\(5V-10\)答案：B7.以下圖形中不是平面圖的是（）A.三角形B.四邊形C.\(K_5\)D.五邊形答案：C8.平面圖中一個面的次數(shù)是指（）A.面的邊數(shù)B.面內(nèi)頂點(diǎn)數(shù)C.與面關(guān)聯(lián)的頂點(diǎn)數(shù)D.與面關(guān)聯(lián)的邊數(shù)（每條邊計(jì)算兩次）答案：D9.一個連通平面圖有6個頂點(diǎn)，9條邊，其外部面的次數(shù)是（）A.3B.4C.5D.6答案：D10.若平面圖每個面的次數(shù)至少為4，則邊數(shù)\(E\)與頂點(diǎn)數(shù)\(V\)滿足\(E\leq\)（）A.\(2V-4\)B.\(3V-6\)C.\(4V-8\)D.\(5V-10\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于平面圖性質(zhì)的有（）A.滿足歐拉公式B.邊數(shù)\(E\leq3V-6\)（簡單連通平面圖）C.存在一種平面嵌入D.所有面次數(shù)之和等于邊數(shù)的2倍答案：ABCD2.下列圖形中是平面圖的有（）A.\(K_4\)B.樹C.環(huán)圖D.完全二部圖\(K_{2,3}\)答案：ABCD3.關(guān)于平面圖的面，正確的說法有（）A.面的邊界是圈B.外部面只有一個C.內(nèi)部面可以有多個D.面的次數(shù)是正整數(shù)答案：BCD4.若一個平面圖\(G\)滿足（），則\(G\)是極大平面圖。A.\(G\)連通B.\(G\)是簡單圖C.每個面的次數(shù)為3D.\(E=3V-6\)答案：ABCD5.以下哪些條件能判斷一個圖不是平面圖（）A.包含\(K_5\)或\(K_{3,3}\)子圖B.邊數(shù)\(E>3V-6\)（簡單連通圖）C.不滿足歐拉公式D.圖中存在交叉邊（無論怎樣畫）答案：ABCD6.平面圖的相關(guān)不變量有（）A.頂點(diǎn)數(shù)B.邊數(shù)C.面數(shù)D.面的次數(shù)答案：ABCD7.對于平面圖\(G\)，以下說法正確的是（）A.對偶圖也是平面圖B.連通平面圖的對偶圖連通C.同構(gòu)的平面圖對偶圖也同構(gòu)D.平面圖的對偶圖面數(shù)等于原圖頂點(diǎn)數(shù)答案：ABD8.下列關(guān)于平面圖的判斷方法正確的有（）A.嘗試平面嵌入B.利用庫拉托夫斯基定理C.計(jì)算頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、面數(shù)是否滿足歐拉公式D.看是否存在不交叉的畫法答案：ABCD9.平面圖中關(guān)于面和邊的關(guān)系，正確的是（）A.所有面次數(shù)之和等于邊數(shù)的2倍B.若每個面次數(shù)至少為\(k\)，則\(E\leq\frac{k(V-2)}{k-2}\)C.面數(shù)與邊數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)有關(guān)D.面的次數(shù)決定邊的數(shù)量答案：ABC10.以下屬于平面圖應(yīng)用場景的有（）A.電路布線B.地圖繪制C.分子結(jié)構(gòu)表示D.社交網(wǎng)絡(luò)分析答案：ABC三、判斷題（每題2分，共10題）1.任何一個簡單圖都是平面圖。（×）2.平面圖的對偶圖一定是連通圖。（√）3.若一個圖的邊數(shù)\(E=3V-6\)，則它一定是極大平面圖。（×）4.平面圖中所有面的次數(shù)之和一定是偶數(shù)。（√）5.完全二部圖\(K_{3,3}\)是平面圖。（×）6.歐拉公式對所有平面圖都成立。（√）7.一個平面圖可以有多個外部面。（×）8.極大平面圖的每個面都是三角形。（√）9.若一個圖不存在平面嵌入，則它不是平面圖。（√）10.平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、面數(shù)相互獨(dú)立，沒有固定關(guān)系。（×）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述平面圖的定義答案：若一個圖\(G\)能畫在平面上，使它的邊僅在端點(diǎn)相交，稱\(G\)為平面圖，即存在一種平面嵌入方式，邊與邊不交叉（除頂點(diǎn)處）。2.寫出歐拉公式并說明各符號含義答案：歐拉公式\(V-E+F=2\)，其中\(zhòng)(V\)是平面圖的頂點(diǎn)數(shù)，\(E\)是邊數(shù)，\(F\)是面數(shù)（包括外部面）。3.如何利用面的次數(shù)判斷平面圖邊數(shù)范圍答案：設(shè)平面圖所有面次數(shù)之和為\(S\)，則\(S=2E\)。若每個面次數(shù)至少為\(k\)，則\(kF\leq2E\)，結(jié)合歐拉公式\(F=E-V+2\)，可得\(E\leq\frac{k(V-2)}{k-2}\)。4.簡述判斷一個圖是否為平面圖的方法答案：可嘗試平面嵌入，看能否無交叉繪制；利用庫拉托夫斯基定理，檢查是否含\(K_5\)或\(K_{3,3}\)子圖；計(jì)算頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、面數(shù)是否滿足歐拉公式。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論平面圖在實(shí)際生活中的重要性及具體應(yīng)用實(shí)例答案：平面圖在實(shí)際中很重要。如電路布線，可避免線路交叉短路；地圖繪制，使區(qū)域關(guān)系清晰。像電路板設(shè)計(jì)，合理布局元件連接線路；城市交通規(guī)劃，規(guī)劃道路和路口分布，減少擁堵和混亂。2.探討極大平面圖的性質(zhì)及其與一般平面圖的區(qū)別答案：極大平面圖性質(zhì)：連通簡單圖，每個面次數(shù)為3，邊數(shù)\(E=3V-6\)。與一般平面圖區(qū)別在于它在平面嵌入時邊數(shù)達(dá)到最大，不能再添加邊而保持平面性，一般平面圖邊數(shù)相對較少，面的結(jié)構(gòu)也更復(fù)雜多樣。3.分析平面圖的對偶圖與原圖之間的關(guān)系及對偶圖的作用答案：對偶圖與原圖關(guān)系：頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)互換，面數(shù)對應(yīng)。對偶圖頂點(diǎn)對應(yīng)原圖面，邊對應(yīng)原圖相鄰面的公共邊。作用：可用于解決一些與平面