第16講函數(shù)的基本性質(zhì)(2)(函數(shù)的單調(diào)性)

【基礎(chǔ)知識】

定義對于定義在D上的函數(shù)》=/&),設(shè)區(qū)間/是

D的一個子集.對于區(qū)間I上的任意給定的兩個自變量的值

.門、72，當孫<72時?如果總成立/5)</(才2)，就稱函數(shù)

1y=/(.r)在區(qū)間/上是嚴格增函數(shù)(strictlyincreasing

function)；而如果總成立/Cri)>/(才2).就稱函數(shù)1y=/(彳)在

區(qū)間/上是嚴格減函數(shù)(strictlydecreasingfunction).

此外,如果總成立/CZ|)〈/(Z2)，就稱函數(shù)N=/(。)在

區(qū)間/上是增函數(shù)(increasingfunction)；而如果總成立

/(Zl)2/(Z2)，就稱函數(shù)在區(qū)間1上是減函數(shù)

(decreasingfunction).

??嚴格增”??嚴格減”??增”及??減”統(tǒng)稱為函數(shù)的單調(diào)性.

定義如果函數(shù)y=/(i)在某個區(qū)間/上是增(減)函

數(shù),那么就稱函數(shù)y=/1)在區(qū)間/上是單調(diào)函數(shù)

(monotonicfunction),并稱區(qū)間/是函數(shù)y=/(z)的一個

單調(diào)區(qū)間(monotonicinterval).

注：①函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，在討論函數(shù)的單調(diào)性的基礎(chǔ)上不要忽略函數(shù)定義域的要求；

②一個函數(shù)有多個單調(diào)遞增或遞減區(qū)間時不能用“U”連接；如>=’的單調(diào)遞減區(qū)間時(-8,0)和

X

(0,+8)而不能寫成(_oo,0)U(0,+00)。

單調(diào)性證明四部曲

①任取X”々屬于定義域，且令為〈X2；②作差/(%,)-/(%)并變形，一般情況下是變形為幾個式子乘

積的形式；③判斷/(不)一/(%)的符號；④得出結(jié)論.

復合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減

注：在解決復合函數(shù)單調(diào)性問題時不可忽略函數(shù)的定義域要求。

單調(diào)性與奇偶性之間的關(guān)系

奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

單調(diào)性的其它等價形式

①對于任意的。>(),都有/(x+a)>/(x),表示/(x)單調(diào)遞增;

對于任意的。〉()，都有/(x+a)</(x),表示/(x)單調(diào)遞減.

②對于任意的玉wx,,都有A“二/區(qū))〉0,表示f(x)單調(diào)遞增;

占一元2

對于任意的司力尤2,都有,(e)_/("?)<0,表示/(x)單調(diào)遞減.

內(nèi)一赴

③若y=/(x)是奇函數(shù)，且對定義域內(nèi)的任意(x+yxO)都有

/(止/3>0恒成立,則y=/(x)在定義域內(nèi)遞增；

x+y

/(x)+/()')<0恒成立,則y=f(x)在定義域內(nèi)遞減.

x+y

【考點剖析】

考點一：單調(diào)性的概念及簡單基本函數(shù)的單調(diào)性

在2例設(shè)/*)是定義在火上的函數(shù).

①若存在再，/￡尺，當％]<%2時、有/(再)</(巧)成立,則函數(shù)/(X)在A上單調(diào)遞增；

②若存在當再V*2時，有/(項)4/(%2)成立，則函數(shù)。(%)在一上不可能單調(diào)遞

減；

③若存在工2>0,對于任意玉WR，都有/&)</(西+12)成立，則函數(shù)/(X)在尺上

單調(diào)遞增；

④任意為，巧金氏，當不<%2時，都有/(而)之/(々)成立，則函數(shù)/(X)在H上單調(diào)遞減.

以上命題正向的序號是()

(A)①③(B)②③(C)②④(D)②

注2)例2.判斷命題：

(1)已知/(x),g(x)均為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則/(x>g(x)是R上單調(diào)遞增函數(shù);

(2)已知/(x)的定義域為R,/(%)</(%+1),/(幻為R上的增函數(shù)。

(3)已知/(x)的定義域為R,/(x)在[0,口)上單調(diào)遞增，則/(x)在R上單調(diào)遞增。

(4)偶函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù)。

3.定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像過點M(—6,2)和N(2,-6),且對任意正實數(shù)k,有.f(x+k)<

f(x)成立，則當不等式|￡&-。+2<4的解集為(一4,4)時，實數(shù)t的值為.

.寫出下列函數(shù)對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間

(1)f(x)=|2x+l|+|2—乂的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是

(2)/（X）=43-2x-的單調(diào)遞增區(qū)間

(3)y=」的單調(diào)遞增區(qū)間.

x-1

f（x）=G-L的單調(diào)遞增區(qū)間

(4)

X

5.已知函數(shù)f(x)=|尤—4,(。>0),g(x)=x2+2ax+\,(x<2),且/(尤)與g(x)的圖像在y

軸上的截距相等，則函數(shù)/（幻+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

6.求/（?=三~三的單調(diào)遞增區(qū)間

2x-l

證明：函數(shù)/（.r）=M在區(qū)間（o,+8）上是嚴格增

函數(shù).

證明：函數(shù)/（1）=才2—2?在區(qū)間（一8,1］上是嚴

格減函數(shù).

判斷函數(shù)/a）=iog2（3.r+2）在其定義域上的單調(diào)

性,并說明理由.

考點二：定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性

判斷函數(shù)/（1）=72_27在區(qū)間［-2,2］上的單

調(diào)性.并求出它的單調(diào)區(qū)間.

on設(shè)》=/（#）是偶函數(shù)，它在區(qū)間［一2,—口上是嚴

格減函數(shù)?判斷它在區(qū)間［1,2］上的單調(diào)性,并說明理由.

9/\

12.已知函數(shù)/(x)=|九一a|—+a,XG[1,6J,aeR.當ae(l,3)時，求證函數(shù)/(x)是單

x

調(diào)函數(shù).

例13.討論函數(shù)/(x)二—修在區(qū)間(一1,1)上的單調(diào)性

x—1

考點三：分段函數(shù)單調(diào)性

例13.已知函數(shù)/(幻=，2-公(x<0),滿足對任意x產(chǎn)々，都有,?)一,<0成立，則

(tz-3)x+4tz(x>0)%|—x2

?的取值范圍是

例14.設(shè)/(x)、g(x)、〃(x)是定義域為R的三個函數(shù)，對于命題：若/(x)+g(x)、/(x)+/?(x)、

g(x)+〃(x)均為增函數(shù)，則/(x)、g(x)、〃(x)中至少有一個增函數(shù)；這個命題是否正確？

考點四：單調(diào)性的應(yīng)用

15.已知函數(shù)/(x)=2ax2+4(a—3)x+5在區(qū)間(一8,3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍

是

例16.函數(shù)/(x)=竺上'?在區(qū)間(-2,+8)上為增函數(shù)，則。的取值范圍是_______

x+2

例17.已知/(幻=2以一，，x€(0,1],/(%)在定義域上為增函數(shù)，求。的取值范圍

X

「工例18.已知函數(shù)/(幻="2-依(。#0)在區(qū)間[0』上是減函數(shù)，則實數(shù)〃的取值范圍

是.

例19.已知函數(shù)/(x)=?+8,(1H0,aeR),若函數(shù)/(x)在xe[2,+o。)上為增函數(shù)，求。的取

值范圍

(1)/(幻在區(qū)間(-8,1-6)上是增函數(shù)，求a的取值范圍。

(2)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(—8,1—6)，求a的取值范圍。

考點五：抽象函數(shù)單調(diào)性

例21.已知偶函數(shù)/(幻在[0,+o。)上是增函數(shù)，求不等式/(2x+5)</(??+2)的解集。

22.定義在［1,4］上的函數(shù)/(x)為減函數(shù)，求滿足不等式/(1-24)-/(4-/)>0的。的值的集合

例23.函數(shù)/'(x)對任意的必、nGR,都有/'("/+〃)=/(4+￥(/?)—1,并且x>0時，恒有/'(才)>1.

(1)求證：/Xx)在R上是增函數(shù)；

⑵若/1⑶=4,解不等式7X3+a—5)<2.

考點六：單調(diào)性綜合問題

例24.已知函數(shù)〃》)=竺￥是定義在(一1，1)上的奇函數(shù)，其中。、且/口］=二

1IX12J5

(1)求函數(shù)/(X)的解析式;

(2)判斷函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論;

(3)解關(guān)于f的不等式/。一1)+/(/)<0.

例25.函數(shù)了(龍)對任意的私"eA都有外〃+〃)=/(祖)+/(〃"，并且無>。時恒有Ax)>1.

(1)求證：/(x)在R上是增函數(shù)；

(2)若/(3)=4,解不等式/(/+“一5)<2.

【反思總結(jié)】

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，一定是在函數(shù)定義域范圍內(nèi)討論的，一個函數(shù)在整個定義域上可以

不具有單調(diào)性，但函數(shù)還是存在單調(diào)區(qū)間的，注意當函數(shù)有多個單調(diào)區(qū)間的時候要用和將多個單調(diào)區(qū)間連

起來；

對于有些題目中蘊含著復合函數(shù)的定義域要求，不要忽略，要考慮到復合函數(shù)定義域問題；對于單調(diào)

性和奇偶性之間的關(guān)系要清楚。

【真題演練】

一、單選題

1.(2020?上海高一開學考試)如果/。)=爾-(2-°?+1在區(qū)間卜8,g上為減函數(shù)，則a的取值()

A.(0,1]B.[0,1)C.[0,1]D.(0,1)

2.（2021?上海高一期末）對于定義在R上的函數(shù)y=/（x）,考察以下陳述句:

q：y=/（x）是R上的嚴格增函數(shù);

Pl：任意玉,X26R，/（』+工2）=/（尤|）+/（工2），且當X＞0時，都有/（幻＞0;

〃2：當/（*|）＜/（工2）時，都有不＜芻；

關(guān)于以上陳述句，下列判斷正確的是（）

A.生都是9的充分條件B.Pl、P2中僅Pl是9的充分條件

c.Pi、P2中僅。2是夕的充分條件D.Pi、P2都不是夕的充分條件

3.（2020?上海市行知中學高一月考）下列函數(shù)中，在R上既是奇函數(shù)又是嚴格減函數(shù)的是（）

1JY

A.y=-B.y=ln——-C.y=-x|x|D.y=3-Jt+l

x1+x

4.（2020?上海高一單元測試）已知函數(shù)/（x）=x|x|-2x,則下列結(jié)論正確的是（）

A.“X）是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是［0,+8）

B./（元）是偶函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是（一8』

C./（X）是奇函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是11,1］

D./（X）是奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是（-8,0］

5.（2020?上海高一單元測試）函數(shù)＞=/（X）是R上的偶函數(shù)，且在（-0）,0］上是增函數(shù)，若/（a）W/⑵,

則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-oo,2]B.[—2,+oo)C.[—2,2]D.2]U[2,+c°)

6.（2020?上海高一單元測試）關(guān)于函數(shù)/（x）=x-0（a〉0）,有下列四個命題，其中正確的是（）

x

A./（X）的值域是（-8,0）U（0,+8）B./（X）是奇函數(shù)

C./a）在（—8,0）U（0,+8）上單調(diào)遞增D.方程|/（x）l=a總有兩個不同的解

二、填空題

7.（2020?上海市金山中學高一月考）已知函數(shù)＞=/一4以在［2,3］上是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范

圍是.

8.（2021?上海格致中學高一期末）已知函數(shù)產(chǎn)/）是R上的奇函數(shù)，且是（田，0）上的嚴格減函數(shù)，若川）=0,

則滿足不等式（x-1次x）X）的x的取值范圍為.

9.（2021?上海市楊浦高級中學高一期末）已知y=f（x）是奇函數(shù)，滿足/⑴=0,且在區(qū)間（0,+8）內(nèi)是

嚴格增函數(shù)，則不等式」把＜0的解集是.（結(jié)果用區(qū)間表示）

X

10.（2021?上海市川沙中學高一期末）設(shè)奇函數(shù)/（x）在（0,+8）是嚴格增函數(shù)，且/（5）=0,則不等式

/⑺二仆）＜0的解集為.

X

11.（2021?上海市延安中學高一期末）若函數(shù)y=|2x+a］在區(qū)間［3,+8）上是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)a的取

值范圍是.

12.（2021.上海復旦附中高一期末）若函數(shù)/（耳=指■在區(qū)間（0,+8）是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)a的取值

范圍是—.

13.（2021.上海市控江中學高一期末）若定義在R上的奇函數(shù)/（幻在（0,+°。）上是嚴格增函數(shù)，且

/（-4）=0,則使得于（x）＞0成立的x的取值范圍是.

三、解答題

14.（2021?上海市大同中學高一期末）判斷函數(shù)了=*—±xe（0,+8）的單調(diào)性并說明理由.

15.（2020.上海市第二中學高一月考）已知/（x）是奇函數(shù).

（1）若/（x）=lg（三j+a）,求實數(shù)a的值；

（\

（2）若/（同在R上是嚴格增函數(shù)，若實數(shù)a滿足“l(fā)og?。）—/log,a＜2/（1）,求a的取值范圍.

\27

【過關(guān)檢測】

一、單選題

I.（2020.上海高一專題練習）已知段）是7?上的增函數(shù)，若令尸（x）=/（l-x）貝+x）,則F（x）是R上的（）

A.增函數(shù)B.減函數(shù)

C.先減后增的函數(shù)D.先增后減的函數(shù)

/、1

2.（2020?上海高一專題練習）下列命題：（1）若/（X）是增函數(shù)，則冗行是減函數(shù)；（2）若“X）是減

函數(shù)，則［/（X）r是減函數(shù)；（3）若是增函數(shù)，g（x）是減函數(shù)，g（/（X））有意義，則g（7（X））為減

函數(shù)，其中正確的個數(shù)有：（）

A.1B.2C.3D.0

3.（2020?上海市奉賢區(qū)奉城高級中學高一月考）已知函數(shù)=［）人（八\，滿足對任意的

（q-3）x+4a（x20）

王。％2,都有U'7'J<0成立,實數(shù)的取值范圍是（）

%］一工2

A.（0,1）B.“〔JC.（—oo,3）D.^0,―

4.（2020.上海高一單元測試）下列函數(shù)中在區(qū)間（L+8）單調(diào)遞增的是（）

A.y=（x-2）"B.y=-----C.y=|x+4|D.y=—y/x—1

?3-x

二、填空題

5.（2020?上海師大附中高一期末）已知/（x）是定義在H上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（~w,0］上單調(diào)遞增，若

實數(shù)〃滿足‘（""T）>/（-V2）,則a的取值范圍是.

6.（2020.上海市嘉定區(qū)第一中學高一月考）若函數(shù)/（力=皿2+（加-1）X一1在區(qū)間［_l,+oo）上是嚴格

單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是.

7.（2020?上海市曹楊中學高一月考）函數(shù)丁=上。一在（-2,內(nèi)）是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

'x-a-2

8.（2020?上海高一單元測試）已知偶函數(shù)/（X）在［0,+8）上單調(diào)遞增，且1是它的一個零點，則不等式

/。一2）＜0的解集為.

9.（2020?上海高一單元測試）已知定義在心上的奇函數(shù)/（幻在（-8,0］上是減函數(shù)，若

/（m+l）+f（3m-2）＜0,則實數(shù)m的取值范圍是.

10.（2020.上海復旦附中高一期中）函數(shù)y=匚嚏的最大值是.

11.（2020?上海高一單元測試）函數(shù)y=J（l-x）（x-2）的單調(diào)遞減區(qū)間是.

12.（2020.上海高一單元測試）已知下列各命題：①若在定義域內(nèi)存在再使得/（%）＜/（9）成立，

則函數(shù)/（x）是增函數(shù)；②函數(shù)）=3-x在其定義域內(nèi)是減函數(shù)；③函數(shù)y=，在其定義域內(nèi)是增函數(shù).其中

X

是真命題的是（填寫序號）.

三、解答題

13.（2018?上海市奉賢區(qū)奉城高級中學高一月考）設(shè)定義在R上的奇函數(shù)/（x）在區(qū)間［0.+8）上單調(diào)遞減,

如果一2）＞/（加），求實數(shù)加的取值范圍.

14.（2020?上海市行知中學高一月考）已知函數(shù)/（幻=4/一4ox+/-2a+2.

（1）若。=2,求函數(shù)f（x）在區(qū)間（一1,2）上的值域；

（2）若函數(shù)在區(qū)間［0,2］上有最小值一3,求。的值.

15.(2020.上海市金山中學高一月考)已知函數(shù)/(幻=，一(。€/?).

x—2

(1)當4=1時，證明：函數(shù)f(X)在(2,+8)上是