本講主線1、掌握兩個(gè)容斥原理2、一道經(jīng)典的拉燈問題本講主線在計(jì)數(shù)時(shí)，必須注意沒有重復(fù)，沒有遺漏。為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計(jì)算出來，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理本講主線如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個(gè)數(shù)總和=A類元素個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)—既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)—既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)—既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個(gè)數(shù)。（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）本講主線如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個(gè)數(shù)總和=A類元素個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)—既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)—既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)—既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個(gè)數(shù)。（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）拓展例題一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個(gè)班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？分析：依題意，被計(jì)數(shù)的事物有語、數(shù)得滿分兩類，“數(shù)學(xué)得滿分”稱為“A類元素”，“語文得滿分”稱為“B類元素”，“語數(shù)都是滿分”稱為“既是A類又是B類的元素”，“至少有一門得滿分的同學(xué)”稱為“A類和B類元素個(gè)數(shù)”的總和。為15+12-4=23。五年級二班有40名同學(xué)，其中有25人沒有參加數(shù)學(xué)小組，有18人參加了航模小組，有10人兩個(gè)小組都參加。那么只參加了這兩個(gè)小組之一的學(xué)生共有多少人？例題【一】（★★）數(shù)學(xué)航模五年級二班有40名同學(xué)，其中有25人沒有參加數(shù)學(xué)小組，有18人參加了航模小組，有10人兩個(gè)小組都參加。那么只參加了這兩個(gè)小組之一的學(xué)生共有多少人？例題【一】（★★）數(shù)學(xué)參加人數(shù)：40-25=15人15-10+18-10=5+8=13（人）1～209這209個(gè)自然數(shù)中，與209互質(zhì)的自然是有幾個(gè)？例題【二】（★★★）互質(zhì)，沒有公約數(shù)分解，209=11×1911:209÷11=19（個(gè)）19:209÷19=11（個(gè)）11/19：1（個(gè)）大餅：19+11-1=29（個(gè)）答：209-19=180（個(gè)）老師點(diǎn)睛1.公式(1)大餅=A+B-AB(2)大餅=A+B+C-AB-AC-BC+ABCABABC消重在1至2008這2008個(gè)自然數(shù)中，恰好是3、5、7中兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共有

個(gè)例題【三】（★★★★）3倍5倍7倍在1至2008這2008個(gè)自然數(shù)中，恰好是3、5、7中兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共有

個(gè)例題【三】（★★★★）3/5:2008÷15=133（個(gè)）3/7:2008÷21=95（個(gè)）5/7：2008÷35=57（個(gè)）3/5/7:2008÷105=19（個(gè)）133+95+57-19X3=228老師點(diǎn)睛2.考點(diǎn)：鍋內(nèi)餅外、三葉草（1）鍋內(nèi)餅外=全部-大餅（2）三葉草=AB+AC+BC-3ABC在2006盞亮著的電燈，各有一個(gè)拉線開關(guān)控制，按順序編號為1,2，…，2006，將編號為2的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下；再將編號為3的倍數(shù)的燈拉線各拉一下，最后將編號為5的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下，拉完后亮著的燈數(shù)為多少盞？例題【四】（★★★★★）2倍3倍5倍在2006盞亮著的電燈，拉完后亮著的燈數(shù)為多少盞？例題【四】（★★★★★）2倍3倍5倍2：有1003個(gè)3：有668個(gè)5：有401個(gè)2/3：有334個(gè)2/5：有200個(gè)3/5：有133個(gè)2/3/5:有66個(gè)在2006盞亮著的電燈，拉完后亮著的燈數(shù)為多少盞？例題【四】（★★★★★）2倍3倍5倍大餅：1003+668+401-（334+200+133）+66=1471（盞）鍋內(nèi)餅外：2006-1471=535（盞）三葉草：334+200+133-66X3=469（盞）亮的燈：535+469=1004（盞）有編號為1～2010的2010個(gè)氣球，有一個(gè)神槍手，他第一次把所有編號是3的倍數(shù)氣球打破；第二次把編號是5的倍數(shù)的氣球打破；最后把編號是7的倍數(shù)的氣球打破。那么，最后還剩幾個(gè)是沒有被打破的氣球？例題【五】（★★★★★）2倍5倍7倍有編號為1～2010的2010個(gè)氣球，有一個(gè)神槍手，他第一次把所有編號是3的倍數(shù)氣球打破；第二次把編號是5的倍數(shù)的氣球打破；最后把編號是7的倍數(shù)的氣球打破。那么，最后還剩幾個(gè)是沒有被打破的氣球？例題【五】（★★★★★）3倍5倍7倍有編號為1～2010的2010個(gè)氣球，有一個(gè)神槍手，他第一次把所有編號是3的倍數(shù)氣球打破；第二次把編號是5的倍數(shù)的氣球打破；最后把編號是7的倍數(shù)的氣球打破。那么，最后還剩幾個(gè)是沒有被打破的氣球？例題【五】（★★★★★）3倍5倍7倍3:670個(gè)5:402個(gè)7:287個(gè)3/5:134個(gè)3/7：95個(gè)5/7:57個(gè)3/5/7=19個(gè)大餅：670+402+287-（234+95+57）+19=1092（個(gè)