試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁商城縣2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試題考生注意:1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上,并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效，3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。）1．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．2．某班從包括甲乙在內(nèi)的名學(xué)生中，選擇人參加植樹活動(dòng)，則甲乙兩人至多一人參加的方法數(shù)有（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)y=f（x）的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（） B．C． D．4．隨機(jī)變量的分布列如下表所示，若隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（

）012A． B． C．1 D．5．已知函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上（

）A．單調(diào)遞增，有最小值 B．單調(diào)遞增，有最大值C．單調(diào)遞減，有最小值 D．單調(diào)遞減，有最大值6．已知平面的方程為，直線的方向向量為，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．南宋數(shù)學(xué)家楊輝的重要著作《詳解九章算法》中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列．以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列．若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為：2，3，6，11，則該數(shù)列的第27項(xiàng)為（

）A．676 B．678 C．731 D．7338．已知正實(shí)數(shù)m，n，p滿足，，，則m，n，p的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知，且，則（

）A． B．C． D．10．若函數(shù)在處取得極大值，則（

）A． B．C．為的一個(gè)增區(qū)間 D．的極小值為11．已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切于點(diǎn)，與圓內(nèi)切于點(diǎn)，圓心的軌跡記為曲線，則（

）A．C的方程為B．的最小值為C．D．曲線在點(diǎn)處的切線方程為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分）12．春節(jié)期間，甲、乙、丙三人去看電影，每人可在《哪吒之魔童鬧海》、《唐探1900》、《熊出沒·重啟未來》及《蛟龍行動(dòng)》四部電影中任選一部，則不同的選法有種．13．用（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，令，變換后得到的線性回歸方程為，則14．在各棱長均相等的正四面體中，取棱上一點(diǎn)T，使，連接，三棱錐的內(nèi)切球的球心為M，三棱錐的內(nèi)切球的球心為N，則平面與平面的夾角的正弦值是．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．(13分)2025年春晚最火的節(jié)目無疑是機(jī)器人扭秧歌．其中表演的機(jī)器人出自宇樹科技，宇樹科技是一家專注于高性能四足機(jī)器人研發(fā)和生產(chǎn)的中國科技公司．該公司以其創(chuàng)新的四足機(jī)器人在全球范圍內(nèi)廣受關(guān)注，主要應(yīng)用于教育、科研、娛樂和工業(yè)等領(lǐng)域，其中四大產(chǎn)品之一的機(jī)器人UnitreeA1具備較強(qiáng)的負(fù)載能里和環(huán)境適應(yīng)性，可用于巡檢與監(jiān)控、物流和運(yùn)用、安防與救援．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)出機(jī)器人UnitreeA1在某地區(qū)2024年2月到6月的銷售量如下表所示：月份23456銷量425366109用最小二乘法得到UnitreeA1的銷售量關(guān)于月份的回歸直線方程為，且相關(guān)系數(shù)，銷量的方差．(1)求的值(結(jié)果精確到0.1)；(2)求的值，并根據(jù)（1）的結(jié)果計(jì)算5月銷售量的殘差．附：回歸系數(shù)，相關(guān)系數(shù)．16．(15分)已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.17．(15分)如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，分別為棱，的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；(2)利用題中條件能否得出平面？若不能，試添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件后證明平面．18．(17分)記，，．(1)求，并證明：；(2)若，使得成立，求取值范圍；(3)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．19．(17分)“洛必達(dá)法則”是研究微積分時(shí)經(jīng)常用到的一個(gè)重要定理，洛必達(dá)法則之一的內(nèi)容是：若函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)都存在，且，如果是常數(shù)）時(shí)，或或，且（是常數(shù)），則時(shí)，．已知函數(shù)．(1)證明：時(shí)曲線在點(diǎn)處的切線與曲線也相切；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．①指出的大致范圍（不必說明理由），并求出的取值范圍；②試探究與的大小關(guān)系．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁商城縣2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試題參考答案1．B 2．C 3．B 4．A 5．B 6．B 7．B 8．D9．ABD 10．ACD 11．CD12． 13． 14．15．（1）由表可得：，，因?yàn)?，可得，?分）又因?yàn)?，可得，?分）所以.（2分）（2）由表可知：，（1分）由（1）可知回歸直線方程為，且，則，解得，（2分）此時(shí)，，可得，符合題意，所以，（2分）對(duì)于回歸直線方程，令，可得，所以5月銷售量的殘差.（2分）16．（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，（1分）由，得，所以（3分）解得，所以，，（3分）（2）由（1）知，，因此當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以（4分）.（4分）17．（1）因?yàn)?，，為棱的中點(diǎn)所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面，因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，且，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，，平面，所以平面平面．?0分）（2）利用題中條件不能得出平面，添加條件，證明如下：因?yàn)?，，，平面，所以平面．?分）18．（1）由題意，，，證明：要證，只需證，由于

①，

②，①＋②得，即，得證；（6分）（2）存在，使得成立，即的最大值，由題知，，令，，，即，解得（舍去），，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，的最大值為，即；（5分）（3），，令，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)，，又最多只有三個(gè)解且，由三次函數(shù)圖象，，，，的單調(diào)增區(qū)間是，.（6分）19．（1）證明：時(shí)，，因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即．因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即．所以時(shí)曲線在點(diǎn)處的切線與曲線也相切．（4分）（2）①．由，得，令，則與的零點(diǎn)相同，與的零點(diǎn)相同，又，時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，所以和在上都是增函數(shù)，在上都是減函數(shù)，所以時(shí)，時(shí)，，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，且解得．當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，根據(jù)洛必達(dá)法則可知，時(shí)，所以時(shí)，所以時(shí)，在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以，因此，若