2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（立體幾何突破思維拓展試題）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是一個(gè)邊長為2的正三角形，側(cè)面AA1B1B垂直于底面ABC，且AA1=2。點(diǎn)D是棱BB1的中點(diǎn)，那么直線AD與平面A1BC所成的角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√6/42.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，點(diǎn)P是側(cè)棱SC上的動點(diǎn)，那么點(diǎn)P到平面SAB的距離的最小值是（）A.1B.√2C.√3/2D.√6/33.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是一個(gè)直角三角形，∠B=90°，AB=BC=1，AA1=2。點(diǎn)D是棱CC1的中點(diǎn)，那么三棱錐D-ABC的外接球的體積是（）A.4π/3B.2π/3C.π/3D.π/94.一個(gè)圓錐的底面半徑為1，母線與底面所成的角為30°，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的面積是（）A.π/2B.πC.3π/2D.2π5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CC1的中點(diǎn)，那么二面角E-A1D-F的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.06.已知一個(gè)球的表面積為16π，那么這個(gè)球的體積與它的外切圓柱的體積之比是（）A.1:1B.1:2C.2:1D.1:37.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。那么點(diǎn)A到平面PBC的距離是（）A.√5/2B.√3C.1D.√28.一個(gè)球的半徑為R，這個(gè)球內(nèi)切于一個(gè)圓錐，圓錐的母線與底面所成的角為30°，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）A.2πR^2B.4πR^2C.πR^2D.3πR^29.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是一個(gè)等邊三角形，AA1=1。點(diǎn)D是棱BC上的一點(diǎn)，且BD=1/3BC。那么點(diǎn)A1到平面BDC1的距離是（）A.√3/3B.√6/3C.1D.√2/210.在正四棱臺中，底面邊長為2，側(cè)棱長為√2，那么這個(gè)正四棱臺的體積是（）A.2√2B.4√2C.8√2D.16√211.一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線長為4，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的圓心角是（）A.90°B.120°C.180°D.270°12.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱DD1的中點(diǎn)，那么三棱錐E-FBD1的體積是（）A.1/6B.1/4C.1/3D.1/2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是一個(gè)邊長為2的正三角形，側(cè)面AA1B1B垂直于底面ABC，且AA1=2。點(diǎn)D是棱BB1的中點(diǎn)，那么直線AD與平面A1BC所成的角的余弦值是。14.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，點(diǎn)P是側(cè)棱SC上的動點(diǎn)，那么點(diǎn)P到平面SAB的距離的最大值是。15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是一個(gè)直角三角形，∠B=90°，AB=BC=1，AA1=2。點(diǎn)D是棱CC1的中點(diǎn)，那么三棱錐D-ABC的表面積是。16.一個(gè)圓錐的底面半徑為1，母線與底面所成的角為30°，那么這個(gè)圓錐的全面積是。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）在五棱錐P-ABCDE中，底面ABCDE是一個(gè)正五邊形，PA⊥平面ABCDE，PA=2，且AB=2。求棱錐P-ABCDE的體積。18.（12分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，點(diǎn)E是棱PC上的一點(diǎn)，且CE=1/2PC。求二面角E-AB-C的余弦值。19.（12分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱AA1的中點(diǎn)。求三棱錐E-FG-B1的體積。20.（12分）一個(gè)圓錐的底面半徑為1，母線與底面所成的角為30°，點(diǎn)P是母線SC上的一點(diǎn)，且SP=√3。求點(diǎn)P到圓錐底面圓心O的距離。21.（12分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是一個(gè)等腰直角三角形，∠B=90°，AB=BC=1，AA1=2。點(diǎn)D是棱CC1上的一點(diǎn)，且CD=1/2CC1。求點(diǎn)A到平面B1CD的距離。22.（10分）在正四棱臺中，底面邊長為2，側(cè)棱長為√2，求這個(gè)正四棱臺的側(cè)面積。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：取BC中點(diǎn)O，連接AO，DO。因?yàn)閭?cè)面AA1B1B垂直于底面ABC，所以AO⊥平面ABC。連接A1O，則A1O⊥BC。所以∠A1OD是直線AD與平面A1BC所成的角。在Rt△A1OD中，AO=√3，AD=√(AO^2+OD^2)=√(3+1)=2，A1O=√(AA1^2-A1O^2)=√(4-1)=√3。所以sin∠A1OD=OD/AD=√3/2。2.答案：A解析：作SO⊥平面ABC，垂足為O，連接AO，則AO⊥AB，AO⊥BC。所以∠SAO是側(cè)棱與底面所成的角，∠SAO=30°。所以AO=AB*tan30°=2*√3/3。又因?yàn)镾O=AO*tan30°=2*√3/3*√3/3=2/3。點(diǎn)P到平面SAB的距離的最小值就是SO，即1。3.答案：B解析：取AC中點(diǎn)O，連接DO，BO。因?yàn)镃C1⊥平面ABC，所以AC⊥BC，AC⊥AB，且AC⊥BO。所以AC是三棱錐D-ABC的外接球直徑。AD=√(AB^2+BC^2)=√2，CD=1，所以AC=√3。外接球半徑R=AC/2=√3/2。外接球體積V=4πR^3/3=4π(√3/2)^3/3=2π/3。4.答案：B解析：圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，扇形半徑等于圓錐母線長，扇形弧長等于圓錐底面周長。母線長l=2πr/sin30°=2π*1/1/2=4π。扇形面積S=1/2*弧長*半徑=1/2*4π*2π=π。5.答案：D解析：取A1D中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M。因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1中，E是BB1中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1中點(diǎn)，所以EM⊥平面A1D1D，F(xiàn)M⊥平面A1D1D。所以∠EMF是二面角E-A1D-F的平面角。在Rt△EMF中，EM=√2/2，F(xiàn)M=√2/2，所以cos∠EMF=0。6.答案：C解析：球的表面積S=4πR^2=16π，所以R=2。球的體積V球=4πR^3/3=32π。外切圓柱底面半徑等于球半徑，高等于球直徑。圓柱體積V柱=πR^2h=π*2^2*4=16π。所以V球/V柱=32π/16π=2/1。7.答案：A解析：作AE⊥BC，垂足為E，連接PE。因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PE⊥BC。所以∠PEA是點(diǎn)A到平面PBC的距離。在Rt△PAB中，PA=2，AB=1，所以PB=√5。AE=AB*sin∠PAB=1*sin60°=√3/2。PE=√(PA^2-AE^2)=√(4-3/4)=√(13/4)=√13/2。所以sin∠PEA=AE/AP=√3/2/2=√5/2。8.答案：A解析：圓錐內(nèi)切球半徑r=R*tan30°=R*√3/3。圓錐母線l=R/(1-tan30°)=R/(1-√3/3)=3R/√3。側(cè)面面積S=πrl=π*R*(3R/√3)=πR^2√3。全面積S全=S+底面積=πR^2√3+πR^2=πR^2(√3+1)=2πR^2。9.答案：B解析：取BC中點(diǎn)O，連接AO，DO。因?yàn)锳A1⊥平面ABC，所以AO⊥平面ABC。連接A1O，則A1O⊥BC。所以∠A1OD是點(diǎn)A1到平面BDC1的距離。在Rt△A1OD中，AO=√3/2，OD=1/2，A1O=√(AA1^2-AO^2)=√(1-(√3/2)^2)=1/2。所以sin∠A1OD=OD/A1O=1/2/1/2=√6/3。10.答案：B解析：取上下底面中心O1，O，連接OO1，SO1，SO。因?yàn)檎睦馀_上下底面邊長為2，側(cè)棱長為√2，所以O(shè)O1=√2，SO=√(√2^2-1^2)=1。上下底面面積S1=2^2=4，S=1^2=1。體積V=(S1+S+√S1S)*OO1/3=(4+1+√4)*√2/3=5√2/3。所以V=(S1-S+√S1S)*SO/3=(4-1+√4)*1/3=4√2。11.答案：C解析：圓錐側(cè)面展開圖扇形弧長等于底面周長，扇形半徑等于母線長。底面周長C=2πR=2π*2=4π。扇形弧長=4π，扇形半徑=4π/2π=2。圓心角θ=弧長/半徑=4π/2=2π=180°。12.答案：C解析：取正方體棱長為2，則CC1=2，DD1=2，AA1=2。E是CC1中點(diǎn)，F(xiàn)是DD1中點(diǎn)，G是AA1中點(diǎn)，所以CE=1，F(xiàn)D=1，AG=1。三棱錐E-FG-B1的體積V=1/3*底面積*高。底面FGB1是等腰直角三角形，直角邊長為1，所以底面積S=1/2*1*1=1/2。高是點(diǎn)E到平面FGB1的距離，等于1。所以V=1/3*1/2*1=1/6。二、填空題答案及解析13.答案：√3/3解析：同選擇題第1題解析，sin∠A1OD=√3/2，AD=2，AO=√3，所以cos∠A1OD=AO/AD=√3/2/2=√3/4。所以sin∠A1OD/cos∠A1OD=√3/2/√3/4=√3/3。14.答案：√3/2解析：點(diǎn)P到平面SAB的距離的最大值就是點(diǎn)S到平面ABO的距離。作SO⊥平面ABC，垂足為O，連接AO，則AO⊥AB，AO⊥BC。SO=AO*tan30°=2*√3/3*√3/3=2/3。AO=√3，BO=1。所以SO=√(AO^2-BO^2)=√(3-1)=√2。所以最大距離=SO+AO=√2+√3=√3/2。15.答案：3+√3解析：底面面積S底=1/2*AB*BC=1/2*1*1=1/2。側(cè)面面積S側(cè)=AB*AA1+BC*AA1+AC*AA1=1*2+1*2+√2*2=4+2√2。S底=1/2*CC1*AC=1/2*2*√2=√2。三棱錐表面積S=S底+S側(cè)=1/2+4+2√2+√2=3+3√2。16.答案：3π解析：底面面積S底=πR^2=π*1^2=π。側(cè)面面積S側(cè)=πRL=π*1*2π=2π。全面積S=S底+S側(cè)=π+2π=3π。三、解答題答案及解析17.答案：2√3解析：取ABCDE中心O，連接PO，AO。因?yàn)镻A⊥平面ABCDE，所以∠POA是側(cè)面與底面所成的角，∠POA=30°。AO=AB/(2sin72°)=2/(2*√3/2)=2√3/sin72°。PO=PA/tan30°=2√3。體積V=(1/3*底面積*高)=1/3*π*(2√3/sin72°)^2*2√3=2√3。18.答案：√2/2解析：取AD中點(diǎn)O，連接EO，CO。因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以∠PEO是側(cè)面與底面所成的角，∠PEO=45°。EO=PC/2=CE=1。CO=AD/2=1。∠ECO是二面角E-AB-C的平面角。在Rt△ECO中，cos∠ECO=CO/EO=1/1=√2/2。19.答案：1/6解析：取正方體棱長為2，則AA1=2，CC1=2，DD1=2。E是CC1中點(diǎn)，F(xiàn)是DD1中點(diǎn)，G是AA1中點(diǎn)，所以CE=1，F(xiàn)D=1，AG=1。三棱錐E-FG-B1的體積V=1/3*底面積*高。底面FGB1是等腰直角三角形，直角邊長為1，所以底面積S=1/2*1*1=1/2。高是點(diǎn)E到平面FGB1的距離，等于1。所以V=1/3*1/2*1=1/6。20.答案：√3/2解析：圓錐底面半徑r=1，母線長l=4，母線與底面所成的角是30°。點(diǎn)P在母線SC上，SP=√3。所以點(diǎn)P到底面圓心O的距離=PC*sin30°=SP/sin30°*sin30°=SP=√3/2。21.答案：√2/3解析：取AC中點(diǎn)O，連接DO，BO。因?yàn)锳A1⊥平面ABC，所以AO⊥平面ABC。連接A1O，則A1O⊥BC。所以∠A1OD是點(diǎn)A到平面B1CD的距離。在Rt△A1OD中，AO=√2/2，OD=1/2，