【02-暑假預習】第01講集合的概念（3個知識點+6個考點+過關(guān)測）含答案-2025年新高一數(shù)學暑假銜接講練(人教A版)第01講集合的概念內(nèi)容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練習題講典例：教材習題學解題、快速掌握解題方法練考點強知識：6大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點1集合的概念元素：把研究對象統(tǒng)稱為元素，用小寫拉丁字母a、b、c表示.集合：把一些元素組成的總體叫做集合，或簡稱集，用大寫字母A、B、C表示.集合中元素的特征：確定性一個集合中的元素必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合互異性集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素無序性集合與其中元素的排列順序無關(guān)，如a，b，c組成的集合與b，c，a組成的集合是相同的集合．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.注意：集合的判斷從元素的三要素入手，考察確定性的問題一般出現(xiàn)在自然語言表示的集合，要注意題目中不明確的詞語，例如：“很大”、“著名”等。考察互異性的問題一般是針對數(shù)字類的題目，注意同一個數(shù)字不同的表示方法。知識點2元素與集合的關(guān)系如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記做；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記做.熟記數(shù)學中一些常用的數(shù)集及其記法符號名稱含義N非負數(shù)集或自然數(shù)集全體非負整數(shù)組成的集合N*或正整數(shù)集所有正整數(shù)組成的集合Z整數(shù)集全體整數(shù)組成的集合Q有理數(shù)集全體有理數(shù)組成的集合R實數(shù)集全體實數(shù)組成的集合注意：當元素屬于集合時，應該進行分類討論求出參數(shù)，參數(shù)代入驗證集合中的元素是否滿足元素的三個特征。知識點3集合的分類與表示集合的分類：（1）按元素的數(shù)量分為有限集、無限集；（2）按元素的屬性分為數(shù)集、點集以及其他集合.表示方法：（1）自然語言描述法.（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“｛｝”括起來表示集合的方法叫做列舉法。（3）描述法：設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為｛x∈A｜P(x)｝，這種表示集合的方法稱為描述法．教材習題01用符號“”或“”填空：0N；N；0.5Z；Z；Q；R.解題方法是自然數(shù)，則；不是自然數(shù)，則；不是整數(shù)，則；是有理數(shù)，則；是無理數(shù)，則【答案】教材習題02判斷下列各組對象能否構(gòu)成集合．若能構(gòu)成集合，指出是有限集還是無限集；若不能構(gòu)成集合，試說明理由．(1)北京各區(qū)縣的名稱；(2)尾數(shù)是5的自然數(shù)；(3)我們班身高大于1.7m的同學．解題方法（1）因為北京各區(qū)縣的名稱是確定的，故北京各區(qū)縣的名稱能構(gòu)成集合；因為北京各區(qū)縣是有限的，故該集合為有限集；（2）因為尾數(shù)是5的自然數(shù)是確定的，故尾數(shù)是5的自然數(shù)能構(gòu)成集合；因為尾數(shù)是5的自然數(shù)是無限的，故該集合為無限集；（3）因為我們班身高大于1.7m的同學是確定的，故我們班身高大于1.7m的同學能構(gòu)成集合；因為我們班身高大于1.7m的同學是有限的，故該集合為有限集.【答案】(1)能；有限集；(2)能；無限集；(3)能；有限集.教材習題03求下列方程的解集：（1）；（2）解題方法（1），，解得或，故、、、，方程的解集為.（2），，，解得或，方程的解集為.【答案】（1）；（2）.考點一判斷元素能否構(gòu)成集合1．若，則a的值為（

）A．－1 B．0 C．1 D．22．下列說法正確的是（）A．我校很喜歡足球的同學能組成一個集合B．聯(lián)合國安理會常任理事國能組成一個集合C．數(shù)組成的集合中有7個元素D．由不大于4的自然數(shù)組成的集合的所有元素為3．下列給出的對象中能構(gòu)成集合的是（

）A．著名物理家 B．很大的數(shù) C．聰明的人 D．小于3的實數(shù)考點二判斷是否為同一集合1．有下列說法：其中正確的說法是（

）（1）0與表示同一個集合（2）由1，2，3組成的集合可表示為或；（3）方程的所有解的集合可表示為；（4）集合是有限集.A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3）2．下列四組中表示同一集合的為（

）A．， B．，C．， D．，3．集合與集合表示同一個集合嗎？考點三判斷元素與集合之間的關(guān)系（多選題）1．下列說法錯誤的是（

）A．集合用列舉法表示為B．實數(shù)集可以表示為{為所有實數(shù)}或C．能被4整除余3的所有自然數(shù)組成的集合用描述法可表示為D．集合與是同一個集合2．若，的值為.（多選題）3．已知非空數(shù)集M具有如下性質(zhì)：①若，則；②若，則.下列說法中正確的有（

）.A．. B．.C．若，則. D．若，則.考點四集合中元素互異性的應用1．下列所給對象不能組成集合的是．（1）高一數(shù)學課本中所有的難題；（2）某班16歲以下的學生；（3）某中學的大個子；（4）某學校身高超過1.80米的學生．（多選題）2．若集合，則實數(shù)的取值可以是（

）A．2 B．3 C． D．53．設集合.若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點五集合的表示方法1．用符號或填空：3.1N，3.1Z，

3.1，3.1Q，3.1R.2．用列舉法表示集合為．3．把下列集合用另一種方法表示出來：(1)；(2)由1，2，3這三個數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復）所組成的一切自然數(shù)；(3)；考點六集合的分類（判斷題）1．判斷下列命題是否正確．（1）集合與集合表示同一集合；()（2）集合與集合表示同一集合；()（3）集合與集合不表示同一集合；()（4）集合與集合表示同一集合．()2．下列命題中正確的有（

）．①很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合；②R表示一切實數(shù)組成的集合；③給定的一條長度為0.3的線段上的所有點組成的集合是有限集；④2023年聯(lián)合國所有常任理事國組成一個集合．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3．（多選）下列集合是有限集的是（

）A．不超過π的正整數(shù)構(gòu)成的集合B．平方后等于自身的數(shù)構(gòu)成的集合C．高一（2）班中體重在55kg以上的同學構(gòu)成的集合D．所有小于2的整數(shù)構(gòu)成的集合知識導圖記憶知識目標復核1．集合的概念。2．集合中元素的三大特征。3．元素與集合的關(guān)系。4．集合相等。5．集合的表示方法與分類。1．已知集合，，則的元素個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．以下對象的全體不能構(gòu)成集合的個數(shù)是（

）（1）高一（1）班的高個子同學；

（2）所有的數(shù)學難題；（3）北京市中考分數(shù)580以上的同學；

（4）中國古代四大發(fā)明；（5）我國的大河流；

（6）大于3的偶數(shù)．A．2 B．3 C．4 D．63．現(xiàn)有、、、四個數(shù)，從這四個數(shù)中任取兩個相加，可以得到多少個不同的數(shù)（

）A． B． C． D．4．已知集合，則的元素個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．05．集合，且，則有（

）A． B． C． D．不屬于中的任意一個6．已知，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C． D．7．下列說法正確的是（

）A． B． C． D．8．設集合，若，則（

）A． B．C． D．9．集合的另一種表示法是（

）A． B． C． D．10．已知集合，若且，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．B． C． D．11．已知集合中只有一個元素，則實數(shù)a的所有可能值的乘積為（

）A． B．-1 C．1 D．12．設，，若集合，則，與集合的關(guān)系是（

）A．， B．，C．， D．，13．下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．14．[多選題]已知集合，則下列四個元素中屬于M的元素的是（

）A． B． C． D．15．已知集合，則實數(shù)a的值為．第01講集合的概念內(nèi)容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練習題講典例：教材習題學解題、快速掌握解題方法練考點強知識：6大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點1集合的概念元素：把研究對象統(tǒng)稱為元素，用小寫拉丁字母a、b、c表示.集合：把一些元素組成的總體叫做集合，或簡稱集，用大寫字母A、B、C表示.集合中元素的特征：確定性一個集合中的元素必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合互異性集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素無序性集合與其中元素的排列順序無關(guān)，如a，b，c組成的集合與b，c，a組成的集合是相同的集合．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.注意：集合的判斷從元素的三要素入手，考察確定性的問題一般出現(xiàn)在自然語言表示的集合，要注意題目中不明確的詞語，例如：“很大”、“著名”等。考察互異性的問題一般是針對數(shù)字類的題目，注意同一個數(shù)字不同的表示方法。知識點2元素與集合的關(guān)系如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記做；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記做.熟記數(shù)學中一些常用的數(shù)集及其記法符號名稱含義N非負數(shù)集或自然數(shù)集全體非負整數(shù)組成的集合N*或正整數(shù)集所有正整數(shù)組成的集合Z整數(shù)集全體整數(shù)組成的集合Q有理數(shù)集全體有理數(shù)組成的集合R實數(shù)集全體實數(shù)組成的集合注意：當元素屬于集合時，應該進行分類討論求出參數(shù)，參數(shù)代入驗證集合中的元素是否滿足元素的三個特征。知識點3集合的分類與表示集合的分類：（1）按元素的數(shù)量分為有限集、無限集；（2）按元素的屬性分為數(shù)集、點集以及其他集合.表示方法：（1）自然語言描述法.（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“｛｝”括起來表示集合的方法叫做列舉法。（3）描述法：設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為｛x∈A｜P(x)｝，這種表示集合的方法稱為描述法．教材習題01用符號“”或“”填空：0N；N；0.5Z；Z；Q；R.解題方法是自然數(shù)，則；不是自然數(shù)，則；不是整數(shù)，則；是有理數(shù)，則；是無理數(shù)，則【答案】教材習題02判斷下列各組對象能否構(gòu)成集合．若能構(gòu)成集合，指出是有限集還是無限集；若不能構(gòu)成集合，試說明理由．(1)北京各區(qū)縣的名稱；(2)尾數(shù)是5的自然數(shù)；(3)我們班身高大于1.7m的同學．解題方法（1）因為北京各區(qū)縣的名稱是確定的，故北京各區(qū)縣的名稱能構(gòu)成集合；因為北京各區(qū)縣是有限的，故該集合為有限集；（2）因為尾數(shù)是5的自然數(shù)是確定的，故尾數(shù)是5的自然數(shù)能構(gòu)成集合；因為尾數(shù)是5的自然數(shù)是無限的，故該集合為無限集；（3）因為我們班身高大于1.7m的同學是確定的，故我們班身高大于1.7m的同學能構(gòu)成集合；因為我們班身高大于1.7m的同學是有限的，故該集合為有限集.【答案】(1)能；有限集；(2)能；無限集；(3)能；有限集.教材習題03求下列方程的解集：（1）；（2）解題方法（1），，解得或，故、、、，方程的解集為.（2），，，解得或，方程的解集為.【答案】（1）；（2）.考點一判斷元素能否構(gòu)成集合1．若，則a的值為（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【詳解】因為，所以，或，或，當時，得，此時集合為，不合題意，舍去，當時，得，此時集合為，當時，得無解，綜上，.故選：A2．下列說法正確的是（）A．我校很喜歡足球的同學能組成一個集合B．聯(lián)合國安理會常任理事國能組成一個集合C．數(shù)組成的集合中有7個元素D．由不大于4的自然數(shù)組成的集合的所有元素為【答案】B【詳解】對于A，因為很喜歡足球的同學沒有明確的標準，不符合集合的確定性，所以不能組成一個集合，故A錯誤；對于B，因為聯(lián)合國安理會常任理事國有明確的標準，符合集合的確定性，所以能組成一個集合，故B正確；對于C，因為存在，所以組成的集合中不可能有7個元素，故C錯誤；對于D，由不大于4的自然數(shù)組成的集合的所有元素為，故D錯誤；故選：B.3．下列給出的對象中能構(gòu)成集合的是（

）A．著名物理家 B．很大的數(shù) C．聰明的人 D．小于3的實數(shù)【答案】D【詳解】只有選項有明確的標準，能構(gòu)成一個集合．故選：.考點二判斷是否為同一集合1．有下列說法：其中正確的說法是（

）（1）0與表示同一個集合（2）由1，2，3組成的集合可表示為或；（3）方程的所有解的集合可表示為；（4）集合是有限集.A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3）【答案】C【詳解】對于（1），0是元素，不表示集合，為集合，二者不一樣，（1）錯誤；對于（2），由集合元素的無序性知，（2）正確；對于（3），方程的所有解的集合可表示為，（3）錯誤；對于（4），集合是無限集.故選：C2．下列四組中表示同一集合的為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】選項A：兩個集合中元素對應的坐標不同，A錯誤；選項B：集合中的元素具有無序性，兩個集合是同一集合，B正確；選項C：兩個集合研究的對象不同，一個是點集，一個是數(shù)集，C錯誤；選項D：是以0為元素的集合，是數(shù)字0，D錯誤.故選：B3．集合與集合表示同一個集合嗎？【答案】答案見解析【詳解】是同一個集合．雖然兩個集合的代表元素的符號（字母）不同，但實質(zhì)上它們均表示大于3的所有實數(shù)，故表示同一個集合．考點三判斷元素與集合之間的關(guān)系（多選題）1．下列說法錯誤的是（

）A．集合用列舉法表示為B．實數(shù)集可以表示為{為所有實數(shù)}或C．能被4整除余3的所有自然數(shù)組成的集合用描述法可表示為D．集合與是同一個集合【答案】BD【詳解】對于A，集合中只含有兩個元素0和1，所以用列舉法表示為，故A正確；對于B，因為花括號本身就具有所有的意義，所以在描述內(nèi)容中不能再出現(xiàn)“所有”這樣的字眼，另外表示實數(shù)集，實數(shù)集為錯誤表示，故B錯誤；對于C，根據(jù)描述法表示集合可得集合為，故C正確；對于D，集合為的取值集合，為數(shù)集，集合表示拋物線上點的集合，為點集，所以兩個集合不是同一個集合，故D錯誤．故選：BD2．若，的值為.【答案】2【詳解】因為，所以或3或，當時，，此時集合中元素有1,3,1，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當時，，此時集合中元素為1,3,1，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當時，解得或（舍去），此時集合中元素為1,3,4，符合題意.故答案為：2（多選題）3．已知非空數(shù)集M具有如下性質(zhì)：①若，則；②若，則.下列說法中正確的有（

）.A．. B．.C．若，則. D．若，則.【答案】BC【詳解】對于，若，令，則，令，則，令，不存在，即，矛盾，所以，故錯誤，對于，由于集合非空，取任意元素，根據(jù)性質(zhì)①，得，再根據(jù)性質(zhì)②，得，進而，故正確，對于，因為，所以，因為，所以，故正確，對于，若，則，故錯誤，故選：.考點四集合中元素互異性的應用1．下列所給對象不能組成集合的是．（1）高一數(shù)學課本中所有的難題；（2）某班16歲以下的學生；（3）某中學的大個子；（4）某學校身高超過1.80米的學生．【答案】（1）（3）【詳解】“難題”沒有判斷標準，無法判斷一道題是否屬于難題，不滿足集合中元素的“確定性”，故（1）不能組成集合；某班16歲以下的學生可以組成一個集合，16及16歲以上的學生則不在集合內(nèi)，滿足集合中元素的“確定性”，且每個學生都不一樣，滿足集合中元素的“互異性”，故（2）可以組成集合；“大個子”沒有判斷標準，不知身高多少才能稱為大個子，不滿足集合中元素的“確定性”，故（3）不能組成集合；某學校身高超過1.80米的學生可以組成一個集合，身高等于或低于1.80米的學生則不再集合內(nèi)，滿足集合中元素的“確定性”，且每個學生都不一樣，滿足集合中元素的“互異性”，故（4）可以組成集合；故答案為：（1）（3）（多選題）2．若集合，則實數(shù)的取值可以是（

）A．2 B．3 C． D．5【答案】BD【詳解】集合，則，解得，知BD符合.故選：BD.3．設集合.若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，所以.故選：C考點五集合的表示方法1．用符號或填空：3.1N，3.1Z，

3.1，3.1Q，3.1R.【答案】【詳解】因為不是自然數(shù)，也不是整數(shù)，也不是正整數(shù)，是有理數(shù)，也是實數(shù)，所以有：；；；；.故答案為：，，，，.2．用列舉法表示集合為．【答案】【詳解】由，則，即，又，所以，則.故答案為：.3．把下列集合用另一種方法表示出來：(1)；(2)由1，2，3這三個數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復）所組成的一切自然數(shù)；(3)；【答案】(1){且}(2)(3)【詳解】（1）可以表示成{且}；（2）根據(jù)題意可列舉得；（3）易知.考點六集合的分類（判斷題）1．判斷下列命題是否正確．（1）集合與集合表示同一集合；()（2）集合與集合表示同一集合；()（3）集合與集合不表示同一集合；()（4）集合與集合表示同一集合．()【答案】正確錯誤錯誤錯誤【詳解】（1）集合元素具有無序性，集合與集合元素相同，故表示同一集合，正確；（2）兩集合為點集，和表示的點不同，所以集合與集合表示兩個不同的集合，錯誤；（3）集合與集合均表示大于3的所有實數(shù)的集合，所以集合與集合表示同一集合，錯誤；（4）集合為數(shù)集，集合為點集，不是同一集合，錯誤；故答案為：（1）正確；（2）錯誤；（3）錯誤；（4）錯誤.2．下列命題中正確的有（

）．①很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合；②R表示一切實數(shù)組成的集合；③給定的一條長度為0.3的線段上的所有點組成的集合是有限集；④2023年聯(lián)合國所有常任理事國組成一個集合．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【詳解】對于①，很小的實數(shù)是個不確定的概念，不可以構(gòu)成集合，故錯誤；對于②，R表示一切實數(shù)組成的集合，故正確；對于③，給定的一條長度為0.3的線段上的所有點組成的集合是無限集，故錯誤；對于④，2023年聯(lián)合國常任理事國有中國、俄羅斯、英國、法國、美國，能組成一個集合，故正確．故選：C．3．（多選）下列集合是有限集的是（

）A．不超過π的正整數(shù)構(gòu)成的集合B．平方后等于自身的數(shù)構(gòu)成的集合C．高一（2）班中體重在55kg以上的同學構(gòu)成的集合D．所有小于2的整數(shù)構(gòu)成的集合【答案】ABC【詳解】對于A，不超過的正整數(shù)有1，2，3，構(gòu)成的集合是有限集，A對；對于B，平方后等于自身的數(shù)有0和1，構(gòu)成的集集合是有限集，B對；對于C，高一（2）班中體重在以上的同學人數(shù)一定，構(gòu)成的集合是有限集，C對；對于D，所有小于2的整數(shù)有無數(shù)個，因此構(gòu)成的集合屬于無限集.故選：ABC.知識導圖記憶知識目標復核1．集合的概念。2．集合中元素的三大特征。3．元素與集合的關(guān)系。4．集合相等。5．集合的表示方法與分類。1．已知集合，，則的元素個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【難度】0.94【知識點】列舉法求集合中元素的個數(shù)【分析】根據(jù)給定條件，求出集合即可.【詳解】集合，則，所以集合C的元素個數(shù)為3個.故選：C2．以下對象的全體不能構(gòu)成集合的個數(shù)是（

）（1）高一（1）班的高個子同學；

（2）所有的數(shù)學難題；（3）北京市中考分數(shù)580以上的同學；

（4）中國古代四大發(fā)明；（5）我國的大河流；

（6）大于3的偶數(shù)．A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【難度】0.94【知識點】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】由集合元素三要素逐個判斷即可.【詳解】（1）（2）（5）的元素不確定，不能構(gòu)成集合．（3）（4）（6）符合集合概念，故選：B3．現(xiàn)有、、、四個數(shù)，從這四個數(shù)中任取兩個相加，可以得到多少個不同的數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點】列舉法表示集合【分析】將所得結(jié)果列舉出來即可.【詳解】現(xiàn)有、、、四個數(shù)，從這四個數(shù)中任取兩個相加，所得結(jié)果構(gòu)成的集合為.故選：A.4．已知集合，則的元素個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【難度】0.94【知識點】列舉法求集合中元素的個數(shù)【分析】根據(jù)題意求集合，即可判斷元素個數(shù).【詳解】由題意可得：，可知有3個元素.故選：B5．集合，且，則有（

）A． B． C． D．不屬于中的任意一個【答案】B【難度】0.85【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系【詳解】由題知P表示偶數(shù)集，Q表示奇數(shù)集，R表示所有被4除余1的整數(shù)，新以當時，則a為偶數(shù)，b為奇數(shù)，則一定為奇數(shù)．6．已知，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【難度】0.85【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)【分析】討論對應元素，結(jié)合集合中元素的互異性確定參數(shù)值即可.【詳解】若，顯然時不符合集合元素的互異性；若，不符合集合元素的互異性；若或，不符合集合元素的互異性；綜上，.故選：C7．下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.94【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】根據(jù)的意義進行判斷.【詳解】根據(jù)的意義,,故選：C.8．設集合，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】由元素與集合的關(guān)系求出參數(shù)，求解方程從而得到集合.【詳解】，所以，時，