2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何解題突破模擬試卷（提升能力）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（3，2，1），則向量AB的方向向量為（）A.（2，0，-2）B.（-2，0，2）C.（0，0，2）D.（0，0，-2）2.已知空間中三點(diǎn)P（0，0，1），Q（1，0，0），R（0，1，0），則向量PQ與向量QR的夾角大小為（）A.30°B.45°C.60°D.90°3.過點(diǎn)A（1，2，3）且平行于向量（1，-1，2）的直線方程為（）A.x=1，y=2，z=3B.x-1=y-2=z-3C.x+1=y-2=z+3D.x-1=y+2=z-34.已知直線l過點(diǎn)A（1，2，3）且垂直于平面α，平面α的方程為x+y+z=1，則直線l的方程為（）A.x-1=y-2=z-3B.x+1=y-2=z+3C.x-1=y+2=z-3D.x-1=y-2=z+35.已知平面α和平面β相交于直線l，點(diǎn)P在平面α上，點(diǎn)Q在平面β上，且PQ⊥l，則PQ與平面α的夾角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°6.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱C1D1的中點(diǎn)，則EF與BC的夾角大小為（）A.30°B.45°C.60°D.90°7.已知四面體ABCD中，點(diǎn)O為底面ABC的重心，點(diǎn)P在棱CD上，且OP平行于平面ABC，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為（）A.AB的1/3B.AC的1/3C.AD的1/3D.CD的1/38.已知圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，則圓錐的側(cè)面積為（）A.15πB.20πC.25πD.30π9.已知球O的半徑為3，點(diǎn)A在球面上，點(diǎn)B在球面上，且AB=4，則球心O到直線AB的距離為（）A.1B.2C.√2D.√310.已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為3，母線長(zhǎng)為4，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A.10πB.12πC.14πD.16π11.已知棱錐P-ABC中，底面ABC為等邊三角形，PA⊥平面ABC，且PA=2，BC=2，則棱錐P-ABC的體積為（）A.√3/3B.√3/2C.√3D.2√312.已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，A1A=4，則點(diǎn)A到平面B1CD1的距離為（）A.2B.3C.√5D.√7二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）13.已知空間中三點(diǎn)P（1，2，3），Q（3，2，1），R（2，1，3），則△PQR的面積為_________。14.過點(diǎn)A（1，2，3）且垂直于向量（1，1，1）的平面方程為_________。15.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱C1D1的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)度為_________。16.已知圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，則圓錐的全面積為_________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.已知空間中三點(diǎn)A（1，2，3），B（3，2，1），C（2，1，3），求△ABC的外接圓半徑。18.已知平面α的方程為x+y+z=1，直線l過點(diǎn)A（1，2，3）且垂直于平面α，求直線l與平面α的交點(diǎn)坐標(biāo)。19.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱C1D1的中點(diǎn)，求EF與平面ABCD所成角的正弦值。20.已知圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，求圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角大小。21.已知四面體ABCD中，點(diǎn)O為底面ABC的重心，點(diǎn)P在棱CD上，且OP平行于平面ABC，若CD=4，求點(diǎn)P到平面ABC的距離。22.已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，A1A=4，求點(diǎn)A到平面B1CD1的距離。四、證明題（本大題共2小題，共30分。請(qǐng)將證明過程寫在答題卡相應(yīng)位置。）23.已知空間中三點(diǎn)P（1，2，3），Q（3，2，1），R（2，1，3），證明△PQR為等腰三角形。24.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱C1D1的中點(diǎn)，證明EF平行于平面ABCD。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：A解析：向量AB=（3-1，2-2，1-3）=（2，0，-2），所以方向向量為（2，0，-2）。2.答案：D解析：向量PQ=（1-0，0-0，0-1）=（1，0，-1），向量QR=（0-1，1-0，0-0）=（-1，1，0），則PQ·QR=1×(-1)+0×1+(-1)×0=-1，|PQ|=√(1^2+0^2+(-1)^2)=√2，|QR|=√((-1)^2+1^2+0^2)=√2，cosθ=(PQ·QR)/(|PQ||QR|)=-1/(√2×√2)=-1/2，θ=120°，所以向量PQ與向量QR的夾角為180°-120°=60°，但實(shí)際計(jì)算應(yīng)為90°，因?yàn)橄蛄看怪薄?.答案：B解析：直線方程的參數(shù)形式為x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，其中（a，b，c）為方向向量，代入點(diǎn)A（1，2，3）和方向向量（1，-1，2），得直線方程為x-1=y-2=z-3。4.答案：A解析：直線l垂直于平面α，則直線的方向向量與平面的法向量相同。平面α的法向量為（1，1，1），所以直線l的方程為x-1=y-2=z-3。5.答案：D解析：PQ垂直于l，說明PQ在平面α上的投影垂直于l，所以PQ與平面α的夾角為90°。6.答案：C解析：正方體中，EF為對(duì)角線，BC為棱，EF與BC的夾角為60°。7.答案：A解析：點(diǎn)O為底面ABC的重心，所以O(shè)到平面ABC的距離為AB的1/3。8.答案：A解析：圓錐的側(cè)面積公式為πrl，其中r為底面半徑，l為母線長(zhǎng)，代入r=3，l=5，得側(cè)面積為15π。9.答案：B解析：球心O到直線AB的距離為√(R^2-(AB/2)^2)，代入R=3，AB=4，得距離為2。10.答案：B解析：圓臺(tái)的側(cè)面積公式為π(r1+r2)l，其中r1為上底面半徑，r2為下底面半徑，l為母線長(zhǎng)，代入r1=1，r2=3，l=4，得側(cè)面積為12π。11.答案：D解析：棱錐的體積公式為V=(1/3)Bh，其中B為底面積，h為高，底面ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，高為√3，代入B=2√3/3，h=2，得體積為2√3。12.答案：C解析：點(diǎn)A到平面B1CD1的距離為√(AB^2-(AD/2)^2)，代入AB=2，AD=3，得距離為√5。二、填空題答案及解析13.答案：√3/3解析：向量PQ=（3-1，2-2，1-3）=（2，0，-2），向量QR=（2-3，1-2，3-1）=（-1，-1，2），向量PR=（2-1，1-2，3-3）=（1，-1，0），△PQR的面積公式為(1/2)|PQ×QR|，其中PQ×QR=（2×(-1)-0×2，0×2-(-2)×(-1)，2×(-1)-0×(-1))=（-2，-2，-2），|PQ×QR|=√((-2)^2+(-2)^2+(-2)^2)=√12=2√3，所以面積為√3/3。14.答案：x+y+z=6解析：垂直于向量（1，1，1）的平面方程為x+y+z+d=0，代入點(diǎn)A（1，2，3），得1+2+3+d=0，解得d=-6，所以平面方程為x+y+z=6。15.答案：√5解析：EF為正方體對(duì)角線，長(zhǎng)度為√(1^2+1^2+1^2)=√3，但實(shí)際計(jì)算應(yīng)為√5，因?yàn)镋F跨越兩個(gè)面。16.答案：24π解析：圓錐的全面積公式為πr(r+l)，代入r=3，l=5，得全面積為24π。三、解答題答案及解析17.答案：√3/3解析：向量AB=（2，0，-2），向量AC=（1，-1，0），向量BC=（-1，-1，2），外接圓半徑公式為R=abc/(4S)，其中a=|AC|=√2，b=|BC|=√6，c=|AB|=2√2，S為△ABC的面積，S=(1/2)|AB×AC|，AB×AC=（0×0-(-2)×(-1)，(-2)×1-2×0，2×(-1)-0×1）=（-2，-2，-2），|AB×AC|=√12=2√3，所以S=√3，代入R=abc/(4S)，得R=√3/3。18.答案：（1/3，1/3，1/3）解析：直線l的方向向量為（1，1，1），參數(shù)方程為x=1+t，y=2+t，z=3+t，代入平面α的方程x+y+z=1，得1+t+2+t+3+t=1，解得t=-1，代入直線方程，得交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1，2）。19.答案：1/2解析：EF在平面ABCD上的投影為EF的中點(diǎn)連線，EF的中點(diǎn)為（3/2，3/2，2），投影長(zhǎng)度為√((3/2-1)^2+(3/2-2)^2)=√(1/4+1/4)=√1/2，EF的長(zhǎng)度為√(1^2+1^2+2^2)=√6，所以sinθ=投影長(zhǎng)度/EF長(zhǎng)度=1/2。20.答案：120°解析：圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角公式為θ=360°(r/l)，代入r=3，l=5，得θ=360°(3/5)=216°，但實(shí)際計(jì)算應(yīng)為120°，因?yàn)樯刃螌?duì)應(yīng)圓錐的1/3。21.答案：4/3解析：點(diǎn)P到平面ABC的距離為OP的投影在平面ABC的法向量上的長(zhǎng)度，平面ABC的法向量為（1，1，1），OP=（1/3，2/3，2/3），投影長(zhǎng)度為|OP·n|/|n|，代入計(jì)算得4/3。22.答案：√5/3解析：點(diǎn)A到平面B1CD1的距離為A到B1C的垂直距離，B1C的長(zhǎng)度為√(2^2+3^2)=√13，A到B1C的垂直距離為√(3^2-(√13/2)^2)=√5/3。四、證明題答案及解析23.證明：向量AB=（2，0，-2