第一章1.6平面直角坐標(biāo)系中的距離公式基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式.2.掌握點(diǎn)到直線的距離公式.3.會求兩條平行直線間的距離.4.會運(yùn)用坐標(biāo)法證明簡單的平面幾何問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)1

兩點(diǎn)間的距離公式1.平面上的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)間的距離公式|AB|=

.

2.兩點(diǎn)間距離的特殊情況(1)原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)A(x,y)的距離|OA|=

.

(2)當(dāng)AB∥x軸(y1=y2)時(shí),|AB|=

.

(3)當(dāng)AB∥y軸(x1=x2)時(shí),|AB|=

.

名師點(diǎn)睛兩點(diǎn)間的距離公式與兩點(diǎn)的先后順序無關(guān),即上述公式也可以寫成|x2-x1||y2-y1|思考辨析已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),怎樣求這兩點(diǎn)間的距離?提示

當(dāng)AB與x軸平行時(shí),|AB|=|x2-x1|;當(dāng)AB與y軸平行時(shí),|AB|=|y2-y1|;當(dāng)AB與坐標(biāo)軸不平行時(shí),如圖,過點(diǎn)A作x軸的平行線,過點(diǎn)B作y軸的平行線,兩條直線相交于點(diǎn)C,則C(x2,y1).在Rt△ABC中,|AB|2=|BC|2+|AC|2,所以自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)P1(0,a),P2(0,b)兩點(diǎn)間的距離為a-b.(

)(2)已知平面內(nèi)的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的斜率為k,則直線上A,B兩點(diǎn)間的距離(3)已知點(diǎn)A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,則a的值為1.(

)×√×2.[人教A版教材習(xí)題]求下列兩點(diǎn)間的距離.(1)A(6,0),B(-2,0);(2)C(0,-4),D(0,-1);(3)P(6,0),Q(0,-2);(4)M(2,1),N(5,-1).解(1)8;(2)3;3.[人教A版教材習(xí)題]已知P(a,2),Q(-2,-3),M(1,1)三點(diǎn),且|PQ|=|PM|,求a的值.解

由題意,得|PQ|2=(a+2)2+25,|PM|2=(a-1)2+1.由|PQ|=|PM|,得|PQ|2=|PM|2,即(a+2)2+25=(a-1)2+1,解得a=-.知識點(diǎn)2

點(diǎn)到直線的距離公式1.平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離,等于過這個(gè)點(diǎn)作直線的

所得_________

的長度.

2.點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=

(其中A,B不全為0).

名師點(diǎn)睛1.運(yùn)用公式前首先應(yīng)把直線方程化為一般式.2.注意公式特征,分子絕對值符號里面是把坐標(biāo)(x0,y0)代入直線方程Ax+By+C=0(其中A,B不全為0)的左邊得到的.當(dāng)A=0或B=0時(shí),上述公式仍然成立.垂線

垂線段思考辨析在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(x0,y0),直線l:Ax+By+C=0(A,B不全為0),如何求出點(diǎn)P到直線l的距離d呢?提示

設(shè)A≠0,B≠0,如圖.則直線l與x軸和y軸都相交,過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線,交直線l于點(diǎn)R和S,則直線PR的方程為y=y0,R的坐標(biāo)為自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)點(diǎn)到直線垂線段的長度就是該點(diǎn)到該直線的距離.(

)(2)點(diǎn)P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為(3)直線外一點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)的距離的最小值是該點(diǎn)到該直線的距離.(

)√×√2.[人教A版教材習(xí)題]求下列點(diǎn)到直線的距離.(1)A(-2,3),l:3x+4y+3=0;(2)B(1,0),l:x+y-=0;(3)C(1,-2),l:4x+3y=0.(2)0;3.[人教B版教材習(xí)題]如果點(diǎn)P(m,n)到直線x+y-1=0的距離為0,寫出m,n滿足的關(guān)系式.解

m+n-1=0.知識點(diǎn)3

兩條平行直線間的距離公式1.概念:夾在兩條平行直線間的

的長度就是兩條平行直線間的距離.

2.求法:兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為

到

的距離.

3.公式:兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0之間的距離(其中A,B不全為0,且C1≠C2).

其實(shí)質(zhì)是點(diǎn)到直線的距離

公垂線段

點(diǎn)直線名師點(diǎn)睛兩條平行直線間的距離公式適用于兩條直線的方程都是一般式,并且x,y分別對應(yīng)的系數(shù)一模一樣的情況,如果兩平行直線的方程中x,y的系數(shù)對應(yīng)不同,必須先等價(jià)轉(zhuǎn)化為系數(shù)對應(yīng)相同才能套用公式.思考辨析直線l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三點(diǎn),直線l2:x+y+1=0與直線l1平行,那么點(diǎn)A,B,C到直線l2的距離分別為多少?有什么規(guī)律嗎?提示

點(diǎn)A,B,C到直線l2的距離均為.規(guī)律是當(dāng)兩直線平行時(shí),一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離都相等.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)連接兩條平行直線上的兩點(diǎn)就得到平行線間的距離.(

)(2)兩平行線間的距離是一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離,也可以看作是兩條直線上各任意取一點(diǎn)后,兩點(diǎn)之間距離的最小值.(

)×√2.[2024上海長寧期末]兩條平行直線4x-3y+5=0和4x-3y-5=0的距離為

.

23.[人教A版教材習(xí)題]已知兩條平行直線l1:3x-4y+6=0與l2:3x-4y+C=0間的距離為3,求C的值.解

21或-9.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一兩點(diǎn)間的距離【例1】

如圖,已知△ABC的三頂點(diǎn)A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).(1)判斷△ABC的形狀;(2)求△ABC的面積.規(guī)律方法

計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法(1)對于任意兩點(diǎn)P1(x1,y1)和P2(x2,y2),則|P1P2|=(2)對于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況,可直接利用兩點(diǎn)間距離公式的特殊情況求解.變式訓(xùn)練1已知點(diǎn)A(-1,2),B(2,),在x軸上求一點(diǎn)P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.探究點(diǎn)二點(diǎn)到直線的距離【例2】

求點(diǎn)P(2,-3)到下列直線的距離.(1)y=;(2)3y=4;(3)x=3.規(guī)律方法

點(diǎn)到直線的距離的求解方法(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí),只需把直線方程化為一般式,直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.(2)對于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線x=a或y=b,求點(diǎn)P(x0,y0)到它們的距離時(shí),既可以用點(diǎn)到直線的距離公式,也可以直接寫成d=|x0-a|或d=|y0-b|.(3)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí),只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù).變式訓(xùn)練2求在兩坐標(biāo)軸上截距相等,且到點(diǎn)A(3,1)的距離為

的直線方程.探究點(diǎn)三兩條平行直線間的距離【例3】

(1)求兩條平行直線3x+4y-12=0與mx+8y+6=0之間的距離;(2)求到直線3x-4y+1=0的距離為3,且與此直線平行的直線的方程.規(guī)律方法

求兩條平行直線間距離一般有兩種方法:(1)轉(zhuǎn)化法:將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.由于這種求法與點(diǎn)的選擇無關(guān),因此,選點(diǎn)時(shí),常選取一個(gè)特殊點(diǎn),如直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等,以便于運(yùn)算.(2)公式法:直接用公式

,但要注意兩直線方程中x,y的系數(shù)必須分別相同.變式訓(xùn)練3(1)[2024北京大興月考]如圖,已知直線l1過點(diǎn)(-1,0),(0,1),直線l2過點(diǎn)(1,0),(0,-1),則l1與l2間的距離為(

)B(2)求與直線l:5x-12y+6=0平行且到l的距離為2的直線方程.探究點(diǎn)四距離公式的綜合應(yīng)用【例4】

(1)在直線l:3x-y-1=0上求一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大.(2)求過點(diǎn)P(1,2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程.解

由題意知過P點(diǎn)且與OP垂直的直線到原點(diǎn)O的距離最大,∵kOP=2,∴所求直線方程為y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.變式探究在本例(1)中,其他條件不變,在直線l上求到點(diǎn)A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小的點(diǎn)P的坐標(biāo).規(guī)律方法

變式訓(xùn)練4(1)(多選題)兩條平行直線l1,l2分別過點(diǎn)P(-1,3),Q(2,-1),它們分別繞P,Q旋轉(zhuǎn),但始終保持平行,則l1,l2之間的距離的可能取值為(

)A.1 B.3 C.5 D.7ABC(2)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在直線x+y-4=0上,O為原點(diǎn),求當(dāng)|OP|最小時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo).解

直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離,此時(shí)OP垂直于已知直線,則kOP=1,∴OP所在直線方程為y=x.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123451.(多選題)已知點(diǎn)M(1,4)到直線l:mx+y-1=0的距離為3,則實(shí)數(shù)m的值可能為(

)A.0 B. C.3 D.2AB123452.

若兩條直線l1:x+2y-6=0與l2:x+ay-7=0平行,則l1與l2間的距離是(

)C123453.(多選題