2025年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共11小題，每小題3分，共33分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．22．（3分）計(jì)算：＝（）A．6 B． C． D．13．（3分）如圖是集熱板示意圖，集熱板與太陽光線垂直時(shí)，光能利用率最高．春分日蘭州正午太陽光線與水平面的夾角β為54°．若光能利用率最高（）A．26° B．30° C．36° D．54°4．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC與△A′B′C′位似，則B（2，0）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（）A．（3，0） B．（4，0） C．（6，0） D．（8，0）5．（3分）圖1是通過平面圖形的鑲嵌所呈現(xiàn)的圖案，圖2是其局部放大示意圖，由正六邊形、正方形和正三角形構(gòu)成，則圖2中∠ABC的大小是（）A．90° B．120° C．135° D．150°6．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的值可以是（）A．3 B．2 C．1 D．07．（3分）若點(diǎn)A（2，y1）與B（﹣2，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y28．（3分）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)不透明盒子，其中甲盒裝有分別寫著d，t，l的三張聲母卡片，e，i的三張韻母卡片（卡片除漢語拼音字母外，其余完全相同）．若小明分別從甲、乙盒中隨機(jī)各抽取一張卡片（）A． B． C． D．9．（3分）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)著作之一．“方程章”第11題大意是：兩匹馬一頭?？們r(jià)超過1萬，超過部分等于半匹馬的價(jià)格；一匹馬兩頭牛的總價(jià)不足1萬，問一匹馬、一頭牛的價(jià)格分別是多少？若設(shè)一匹馬價(jià)格為x，一頭牛價(jià)格為y（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，連接EF交對(duì)角線BD于點(diǎn)P．若P為EF的中點(diǎn)，∠ADB＝35°（）A．95° B．100° C．110° D．145°11．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2cm，BD相交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿O→A→B方向以，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿C→D方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）2），則點(diǎn)P分別在OA，AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（）A．均為一次函數(shù) B．一次函數(shù)，二次函數(shù) C．均為二次函數(shù) D．二次函數(shù)，一次函數(shù)二、填空題（本大題共4小題。每小題3分，共12分）12．（3分）因式分解：2x2+4x+2＝．13．（3分）射箭運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中，新手成績(jī)通常不太穩(wěn)定．甲和乙同時(shí)進(jìn)行12次射箭練習(xí)后，成績(jī)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表．（填寫“甲”或“乙”）甲乙平均成績(jī)（單位：環(huán)）6.587.67方差s26.910.7214．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC，交BD于點(diǎn)F，BE＝CE．若．15．（3分）如圖，黃金矩形ABCD中，以寬AB為邊在其內(nèi)部作正方形ABFE，四邊形DEGH，四邊形KEGL也是黃金矩形．依次以點(diǎn)E，G，曲線AFHK叫做“黃金螺線”．若AD＝2，則“黃金螺線”AFHK的長(zhǎng)為．（結(jié)果用π表示）三、解答題（本大題共11小題，共75分．解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）16．（5分）計(jì)算：（a+2）（a﹣2）+a（3﹣a）．17．（5分）解方程：＝．18．（5分）解不等式組：．19．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣（x＞0）的圖象相交于點(diǎn)A（m，3），與x軸相交于點(diǎn)B（8，0）（1）求一次函數(shù)y＝﹣x+b與反比例函數(shù)y＝的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接AP．若△ACP的面積為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．20．（7分）天文學(xué)家運(yùn)用三角函數(shù)解決了曾困擾古人數(shù)百年的難題．某天文研究小組探究用三角函數(shù)知識(shí)計(jì)算月球與地球之間距離的方法，通過查閱資料、實(shí)際觀測(cè)、獲得數(shù)據(jù)和計(jì)算數(shù)據(jù)，得出月球與地球之間的近似距離．具體研究方法與過程如表：?jiǎn)栴}月球與地球之間的距離約為多少？工具天文望遠(yuǎn)鏡、天文經(jīng)緯儀等月球、地球的實(shí)物圖與平面示意圖說明為了便于觀測(cè)月球，在地球上先確定兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，B，以線段AB作為基準(zhǔn)線，B兩點(diǎn)同時(shí)觀測(cè)月球P（將月球抽象為一個(gè)點(diǎn)），并測(cè)得∠ABP和∠BAP的度數(shù)（如圖），過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，連接AP數(shù)據(jù)AB≈0.8萬千米，∠ABP＝89°25'37.43′′，∠BAP＝89°22'38.09′′．根據(jù)以上信息，求月球與地球之間的近似距離PH．（結(jié)果精確到1萬千米）（參考數(shù)據(jù)：tan89°25′37.43''≈100.00，10089°22′38.09''≈92.00，sin89°25′37.43''≈040.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cos89°25′37.43′′≈0.00999，cos89°22′38.09′′≈0.01087）21．（7分）綜合與實(shí)踐在學(xué)校項(xiàng)目化學(xué)習(xí)中，某研究小組開展主題為“生長(zhǎng)素濃度對(duì)植物種子發(fā)芽率的影響”的研究．請(qǐng)你閱讀以下材料，解決“數(shù)學(xué)建模”中的問題．【研究背景】已知一定濃度的生長(zhǎng)素既能促進(jìn)種子發(fā)芽，也會(huì)因濃度過高抑制種子發(fā)芽．探索生長(zhǎng)素使用的適宜濃度等最優(yōu)化問題，可以借助數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決．【數(shù)據(jù)收集】研究小組選擇某類植物種子和生長(zhǎng)素，以生長(zhǎng)素濃度x（標(biāo)準(zhǔn)單位）為自變量（%）為因變量，進(jìn)行“生長(zhǎng)素濃度對(duì)植物種子發(fā)芽率的影響”的實(shí)驗(yàn)生長(zhǎng)素濃度x（標(biāo)準(zhǔn)單位）00.611.722.52.733.344.2發(fā)芽率y（%）35.0049.2856.0062.3763.0061.2559.5756.0051.1735.0029.12【數(shù)據(jù)分析】如圖，小組成員以表中各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系描出相應(yīng)的點(diǎn)．說明：①當(dāng)生長(zhǎng)素濃度x＝0時(shí)，種子的發(fā)芽率為自然發(fā)芽率；②當(dāng)發(fā)芽率大于等于零且小于自然發(fā)芽率時(shí)，該生長(zhǎng)素抑制種子發(fā)芽；③當(dāng)生長(zhǎng)素抑制種子發(fā)芽，使得發(fā)芽率減小到0時(shí)，停止實(shí)驗(yàn)．【數(shù)學(xué)建模】請(qǐng)你結(jié)合所學(xué)知識(shí)解決下列問題：（1）觀察上述各點(diǎn)的分布規(guī)律，判斷y關(guān)于x的函數(shù)類型，并求出該函數(shù)的表達(dá)式；（2）請(qǐng)計(jì)算抑制種子發(fā)芽時(shí)的生長(zhǎng)素濃度范圍．22．（7分）“三等分角”是兩千多年來數(shù)學(xué)史上最著名的古典四大問題之一，阿基米德等數(shù)學(xué)家通過巧妙的幾何作圖得到了解決“三等分角”問題的特例方法．某數(shù)學(xué)興趣小組通過折紙與尺規(guī)作圖相結(jié)合的方法探究“三等分銳角”問題的解法，解決過程如下：操作步驟與演示圖形如圖①，已知一個(gè)由正方形紙片的邊PK與經(jīng)過頂點(diǎn)P的直線l1構(gòu)成的銳角α．按照以下步驟進(jìn)行操作：任意折出一條水平折痕l2，l2與紙片左邊交點(diǎn)為Q；再折疊將PK與l2重合得到折痕l3，l3與紙片左邊交點(diǎn)為N，如圖②．→折痕使點(diǎn)Q，P分別落在l1和l3上，得到折痕m，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q’，m交l3于M，如圖③④．→保持紙片折疊，再沿MN折疊，得到折痕l4的一部分，如圖⑤．→將紙片展開，再沿l4折疊得到經(jīng)過點(diǎn)P的完整折痕l4，如圖⑥．→將紙片折疊使邊PK與l4重合，折痕為l5，則直線l4和l5就是銳角α的三等分線，如圖⑦⑧．解決問題（1）請(qǐng)依據(jù)操作步驟與演示圖形，通過尺規(guī)作圖完成以下兩個(gè)作圖任務(wù)：（保留作圖痕跡，不寫作法）任務(wù)一：在圖③中，利用已給定的點(diǎn)Q′作出點(diǎn)P′；任務(wù)二：在圖⑥中作出折痕l3．（2）若銳角α為75°，則圖⑤中l(wèi)2與l4相交所成的銳角是°．23．（7分）豌豆莢里有幾粒豆子不確定，那么豆子粒數(shù)是否有規(guī)律？同學(xué)們對(duì)這個(gè)問題很感興趣．為此，調(diào)查小組從一批豌豆莢中隨機(jī)抽取了若干個(gè)豌豆莢，以下是本次調(diào)查的過程．【收集數(shù)據(jù)】打開每個(gè)豌豆莢，數(shù)清其中的豆子（直徑大于3毫米）粒數(shù)【整理數(shù)據(jù)】將收集的豆子粒數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)整理，用x表示每個(gè)豌豆莢中的豆子粒數(shù)，將數(shù)據(jù)分為5類：其中A類（0≤x＜2）（2≤x＜4），C類（4≤x＜6），D類（6≤x＜8）（8≤x＜10）．【描述數(shù)據(jù)】根據(jù)整理的數(shù)據(jù)，繪制出如下統(tǒng)計(jì)圖．【分析數(shù)據(jù)】根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查活動(dòng)中隨機(jī)抽取了個(gè)豌豆莢，圖中a＝，b＝；（2）所調(diào)查豆子粒數(shù)的中位數(shù)落在類中；（只填寫字母）（3）如果甲同學(xué)調(diào)查了20個(gè)豌豆莢，其中B類有7個(gè)，乙同學(xué)調(diào)查了10個(gè)豌豆莢24．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，連接DO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)E，CE．（1）求證：∠ADB＝∠AEC；（2）若AB＝4，cos∠AEC＝，求OD的長(zhǎng)．25．（8分）【提出問題】數(shù)學(xué)討論課上，小明繪制圖1所示的圖形，正方形ABCD與正方形BEFG（AB＞BE），G分別在AB，BC上．根據(jù)圖形提出問題：如圖2，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），直線AE與CG相交于點(diǎn)H，探究線段AH，BH【解決問題】（1）小明將上述問題特殊化，如圖3，H重合時(shí)，請(qǐng)你寫出AH，CH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）小明借鑒（1）中特殊化的解題策略后，再解決圖2所示的一般化問題，H不重合時(shí)，請(qǐng)你寫出AH，CH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展問題】（3）小明將圖2所示問題中的旋轉(zhuǎn)角α的范圍再擴(kuò)大，正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（180°＜α＜360°），直線AE與CG相交于點(diǎn)H，連接BH，BH，CH之間的數(shù)量關(guān)系．26．（9分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于圖W上或內(nèi)部有一點(diǎn)N（不與原點(diǎn)O重合），及平面內(nèi)一點(diǎn)P，則稱點(diǎn)P是圖W的“映射點(diǎn)”．（1）如圖1，已知圖W1：線段AB，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．在P1（﹣1，0），P2（1，2）中，是圖W1的“映射點(diǎn)”；（2）如圖2，已知圖W2：正方形ABCD，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）．若直線l：y＝x+b上存在點(diǎn)P是圖W2的“映射點(diǎn)”，求b的最大值；（3）如圖3，已知圖W3：⊙T，圓心為T（0，t），半徑為1．若x軸上存在點(diǎn)P是圖W3的“映射點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．

題號(hào)1234567891011答案ABCBDDCAACD12．【答案】2（x+1）2．【解答】解：原式＝2（x2+7x+1）＝2（x+7）2，故答案為：2（x+5）2．13．【答案】甲．【解答】解：由題意知，甲成績(jī)的平均數(shù)小于乙，所以甲的平均成績(jī)低于乙，且成績(jī)波動(dòng)幅度大于乙，所以根據(jù)表中信息估計(jì)新手是甲，故答案為：甲．14．【答案】4．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝4，∠ABD＝∠CBD，∵BE＝CE，∴BE＝CE＝2，∵sin∠BAE＝＝，∴∠BAE＝30°，∴∠ABE＝60°，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，∴∠BAE＝∠CBD＝∠ABD，BF＝2EFEF，∴AF＝BF，EF＝5，∴AF＝BF＝2EF＝4，故答案為：7．15．【答案】．【解答】解∵黃金矩形ABCD中，且AD＝2，∴，∵四邊形ABFE是正方形，∴，∴，∵四邊形FGHC是正方形，∴，∵，∴，∵四邊形LKDH是正方形，∴，∴“黃金螺線”AFHK的長(zhǎng)為＝＝＝＝＝，故答案為：．16．【答案】3a﹣4．【解答】解：原式＝a2﹣4+5a﹣a2＝3a﹣3．17．【答案】x＝2．【解答】解：原方程去分母得：3x＝2x+7，解得：x＝2，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2時(shí)，x（x+8）≠0，故原方程的解為x＝2．18．【答案】3＜x＜5．【解答】解：解第一個(gè)不等式得：x＜5，解第二個(gè)不等式得：x＞3，故原不等式組的解集為5＜x＜5．19．【答案】（1）一次函數(shù)解析式為y＝﹣，反比例函數(shù)解析式為y＝；（2）P（0，﹣2）．【解答】解：（1）由條件可得﹣+b＝0，∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣，將點(diǎn)A（m，3）坐標(biāo)代入解析式得：6＝﹣，解得m＝5，∴A（2，3），∴k＝3×3＝6，∴反比例函數(shù)解析式為y＝；（2）由一次函數(shù)解析式可知C（0，4），6），3），x），∴PC＝4﹣x，∴S△PAC＝＝6，解得x＝﹣2，∴P（8，﹣2）．20．【答案】月球與地球之間的近似距離PH約為38萬千米．【解答】解：設(shè)PH＝x萬千米，∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∴BH＝＝≈，∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∴AH＝＝≈，∵AH+BH＝AB≈0.8（萬千米），∴，解得x≈38，即PH≈38（萬千米），答：月球與地球之間的近似距離PH約為38萬千米．21．【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為y＝﹣7x2+28x+35；（2）4＜x≤5．【解答】解：（1）觀察上述各點(diǎn)的分布規(guī)律，y關(guān)于x的函數(shù)是二次函數(shù)，設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c，將（0，35），56），63）代入得，，解得，∴該二次函數(shù)的解析式為y＝﹣7x2+28x+35；（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝35，∴種子自然發(fā)芽率為35%，∴當(dāng)y＝35時(shí)，﹣2x2+28x+35＝35，解得x1＝7，x2＝4，當(dāng)y＝5時(shí)，﹣7x2+28x+35＝6，解得x1＝﹣1（舍去），x7＝5，∴抑制種子發(fā)芽時(shí)的生長(zhǎng)素濃度范圍為4＜x≤3．22．【答案】（1）見解析；（2）50．【解答】解：（1）任務(wù)一：如圖，點(diǎn)P為所求．任務(wù)二：如圖，折痕l5為所求．（2）如圖，由題意可知l4，l8是∠α的三等分線，∴，∴l(xiāng)2∥PK，∴∠CDE＝∠CPk＝50°，∴l(xiāng)5與l4相交所成的銳角是50°，故答案為：50．23．【答案】（1）100，40，35；（2）C；（3）不能得到B類豌豆莢一定比D類豌豆莢多的規(guī)律，理由見解答．【解答】解：（1）本次調(diào)查活動(dòng)中隨機(jī)抽取豌豆莢個(gè)數(shù)為14÷14%＝100（個(gè)），a＝100×40%＝40，b＝100﹣（5+14+40+6）＝35，故答案為：100，40；（2）所調(diào)查豆子粒數(shù)的中位數(shù)是第50、51個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以所調(diào)查豆子粒數(shù)的中位數(shù)C類中，故答案為：C；（3）不能得到B類豌豆莢一定比D類豌豆莢多的規(guī)律，由于甲、乙抽取的數(shù)量不多．24．【答案】（1）見解答；（2）2．【解答】（1）證明：∵BD為⊙O的切線，∴AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ADB+∠BAD＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠ABC＝∠AEC，∴∠ADB＝∠AEC；（2）解：∵∠ADB＝∠AEC，∴cos∠ADB＝cos∠AEC＝，在Rt△ABD中，∵cos∠ADB＝＝，∴設(shè)BD＝x，AD＝6x，∴AB＝＝2x，即6x＝4，解得x＝2，∴BD＝4，在Rt△OBD中，∵OB＝2，∴OD＝＝3．25．【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3），理由見解析．【解答】解：（1），理由如下，如圖，當(dāng)點(diǎn)G，∵正方形ABCD與正方形BEFG，∴AB＝BC，BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH＝，∠ABE＝90°﹣∠EBC＝∠CBG，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴AE＝CG，∴；（2），理由如下，由（1）得△ABE≌△CBG（SAS），∴∠BCH＝∠MAB，在AE上截取AM＝CH，∵∠BCH＝∠MAB，AB＝BC，∴△MAB≌△HCB（SAS），∴∠MBA＝∠CBH，BM＝BH，∵∠HBG＝90°﹣∠CBH﹣∠EBC，∠EB