第二十一章

氫原子中的電子

第四節(jié)

氫原子的概率幅函數(shù)與概率

密度函數(shù)第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋第二節(jié)用薛定諤方程解氫原子問題第一節(jié)氫原子的波爾模型CollegePhysics

大學(xué)物理波爾本章核心內(nèi)容1.玻爾對氫原子結(jié)構(gòu)的猜想、應(yīng)用與驗證。2.球坐標(biāo)系中三維定態(tài)薛定諤方程形式與求解思路。3.四個量子數(shù)n,l,ml,ms的來歷、意義與作用。4.計算氫原子中電子出現(xiàn)在空間某區(qū)間概率。CollegePhysics

大學(xué)物理（舊量子論）一、玻爾理論的歷史背景1、氫(原子)光譜的解釋研究原子結(jié)構(gòu)規(guī)律有兩條途徑：★

利用高能粒子轟擊原子—轟出未知粒子來研究

(高能物理)；★

通過在外界激發(fā)下，原子的發(fā)射光譜來研究光譜

分析。第一節(jié)氫原子的玻爾模型光譜的分類：線光譜：

譜線是分明、清楚的，表示波長的數(shù)值有一定間隔。

帶狀光譜：譜線是分段密集的，每段中相鄰波長

差別很小。連續(xù)光譜：譜線的波長具有各種值，而且相鄰波

長相差很小，或者說是連續(xù)變化的。

光譜光譜是電磁輻射的波長成分和強(qiáng)度分布的記錄。有時只是波長成分的記錄。第一節(jié)氫原子的玻爾模型

氫原子可見光譜4861.3?Hβ4340.5?Hγ4101.7?Hδ6562.8?Ha長度單位A即由此得來。。。1853年瑞典人埃格斯特朗（A.J.Angstrom）測得氫可見光光譜的紅線。(1)線狀譜1853年第一節(jié)氫原子的玻爾模型

1885年從某些星體的光譜中觀察到的氫光譜譜線已達(dá)14條。瑞士數(shù)學(xué)家巴爾末波長常數(shù)

1896年，瑞典物理學(xué)家里得堡波數(shù)（2）譜線系第一節(jié)氫原子的玻爾模型氫原子譜線系如下：里德伯常量

波數(shù)：單位長度中所包含的完整的波數(shù)目。第一節(jié)氫原子的玻爾模型

第一節(jié)氫原子的玻爾模型以上各譜線系可概括為：

依次代表萊曼系、巴爾末系、帕邢系、布喇開系、普豐德系。萊曼系巴爾末系帕邢系布拉開系普豐特系第一節(jié)氫原子的玻爾模型

意義：氫原子中電子從第

個狀態(tài)向第

狀態(tài)

躍遷時發(fā)光波長的倒數(shù)。討論：對應(yīng)同一線系不同譜線。不同值不同，對應(yīng)不同線系；同一(2)值，頻率公式光譜項第一節(jié)氫原子的玻爾模型(1)光譜是線狀的，譜線有一定位置。(2)譜線間有一定的關(guān)系，可構(gòu)成譜線系。同一譜線系可用一個公式表示，不同系的譜線有些也有關(guān)系，例如有共同的光譜項。

結(jié)論：

萊曼系巴爾末系帕邢系布拉開系普豐特系第一節(jié)氫原子的玻爾模型(3)每一條譜線的波數(shù)可以表示為二光譜項差。不同原子有不同形式的光譜項。說明：原子光譜線系的規(guī)律性深刻地反映了原子內(nèi)部的規(guī)律性，其他元素的光譜也有類似的規(guī)律性。第一節(jié)氫原子的玻爾模型

2、盧瑟福模型的問題(1911年)

盧瑟福根據(jù)α粒子散射實(shí)驗的結(jié)果，提出了原子的有核模型：①原子的中心是原子核，幾乎占有原子的全

部質(zhì)量，集中了原子中全部的正電荷。②電子繞原子核旋轉(zhuǎn)。③原子核的體積比原子的體積小得多。原子半徑~10-10m，原子核半徑10-14~10-15m第一節(jié)氫原子的玻爾模型+

根據(jù)經(jīng)典電磁理論，電子繞核作勻速率圓周運(yùn)動，作加速運(yùn)動的電子將不斷向外輻射電磁波。+發(fā)射光譜應(yīng)是連續(xù)譜；原子不穩(wěn)定在不到

內(nèi)即可落入核上，使原子瓦解。第一節(jié)氫原子的玻爾模型二、玻爾的三個假設(shè)

電子在原子中，可以在一些特定的圓周軌道上運(yùn)動而不輻射電磁波，這時原子處于穩(wěn)定狀態(tài)（定態(tài)），并具有一定的能量。1、定態(tài)假設(shè)說明：在經(jīng)驗性基礎(chǔ)上，借鑒了普朗克的能量子概念，解決了原子的穩(wěn)定性問題。1913年第一節(jié)氫原子的玻爾模型的定態(tài)時，要發(fā)射頻率為

的光子.頻率條件2、頻率條件

當(dāng)原子從高能量的定態(tài)躍遷到低能量氫光譜：能級躍遷

說明：從普朗克的能量子假設(shè)引申而來，并借鑒了愛因斯坦的光量子概念，因此是合理的，它能解釋線光譜的起源。第一節(jié)氫原子的玻爾模型3、角動量量子化假設(shè)電子繞核運(yùn)動時，只有電子角動量的整數(shù)倍的那些軌道上才是穩(wěn)定的，即(1)角動量

(2)量子化普郎克常數(shù)軌道半徑主量子數(shù)●+e●-ernvnEnmmp第一節(jié)氫原子的玻爾模型（3）定態(tài)

在軌道上顯示的是駐波

如果在電子軌道的長度上正好能擺下整數(shù)個駐波的波長，那么就是穩(wěn)定的，也就是允許的軌道。第一節(jié)氫原子的波爾模型說明：角動量量子化原先是人為加進(jìn)去的，它可以從德布羅意假設(shè)得出。三、玻爾氫原子圖像電子在原子核電場中的運(yùn)動核不動；圓軌道；非相對論

根據(jù)電子繞核作圓周運(yùn)動的模型及角動量量子化條件可以計算出氫原子處于各定態(tài)時的電子軌道半徑和能量。第一節(jié)氫原子的玻爾模型氫原子圖像：電子圍繞原子核在一些特定的穩(wěn)定軌道上運(yùn)動而不發(fā)出電磁波；電子通過吸收或者放出一個特定頻率的光子可以在不同的軌道之間跳躍。

1、軌道量子化利用角動量量子化條件:

平方乘庫侖力=向心力第一節(jié)氫原子的玻爾模型電子軌跡半徑玻爾半徑，記作電子軌跡半徑可表示為軌道量子化第一節(jié)氫原子的玻爾模型電子軌跡只能取分立值結(jié)論：電子運(yùn)動軌道半徑是量子化的，即電子運(yùn)動軌道量子化。2、電子的能量E

第一節(jié)氫原子的玻爾模型（2）靜電勢能

(3)電子總能

(1)動能第一節(jié)氫原子的玻爾模型激發(fā)態(tài)能量基態(tài)能量氫原子的能量只能取下列分立值：，…這些不連續(xù)能量稱為能級。能量是量子化的第一節(jié)氫原子的玻爾模型1913年玻爾理論說明原子有定態(tài)能級.1914年弗蘭克和赫茲用實(shí)驗證實(shí)了原子中存在分立的能級。討論：原子的能量是量子化的。（

時，能量

連續(xù)）相對能級間隔第一節(jié)氫原子的玻爾模型四、解釋氫光譜1、能級圖頻率條件速率第一節(jié)氫原子的玻爾模型賴曼系巴爾末系帕邢系布拉開系氫原子能級和能級躍遷圖：

第一節(jié)氫原子的波爾模型2、里德堡常數(shù)的理論值經(jīng)驗值

理論值第一節(jié)氫原子的玻爾模型（1）正確的指出原子能級的存在（原子能量量子化）；（2）正確的指出定態(tài)和角動量量子化的概念；（3）正確的解釋了氫原子及類氫離子光譜；五、氫原子玻爾理論的意義和困難（4）無法解釋比氫原子更復(fù)雜的原子；（5）把微觀粒子的運(yùn)動視為有確定的軌道是不正確的；（6）是半經(jīng)典半量子理論，存在邏輯上的缺點(diǎn)，即把微觀粒子看成是遵守經(jīng)典力學(xué)的質(zhì)點(diǎn)，同時，又賦予它們量子化的特征.第一節(jié)氫原子的玻爾模型處理方法(1)假定原子核是靜止的,氫原子的狀態(tài)由核外電子的運(yùn)動狀態(tài)來決定;(2)用波函數(shù)描述處于原子勢場中的電子;一、氫原子的薛定諤方程第二節(jié)用薛定諤方程解氫原子問題一維：

設(shè)氫原子中電子的質(zhì)量為m，電荷為-e，它與原子核之間的距離為r。取原子核為原點(diǎn)O，電子的勢能為(1)勢能第二節(jié)用薛定諤方程解氫原子問題拉普拉斯算符

第二節(jié)用薛定諤方程解氫原子問題定態(tài)薛定諤方程時間因子方程三維薛定諤方程第二節(jié)用薛定諤方程解氫原子問題在球坐標(biāo)系下第二節(jié)用薛定諤方程解氫原子問題定態(tài)薛定諤方程為第二節(jié)用薛定諤方程解氫原子問題二、分離變量法

徑向方程

極角方程

方位角方程第二節(jié)用薛定諤方程解氫原子問題勢能三維定態(tài)薛定諤方程一+rnMmM>>m第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋波函數(shù)徑向方程極角方程方位角方程第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋一、量子數(shù)通解為1、方位角（）方程

為使波函數(shù)為單值函數(shù),即ryxz0

第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋---軌道角動量磁量子數(shù)由歸一化條件

---歸一化波函數(shù)第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋2、極角（）方程(連屬勒讓德方程)(1)兩個參數(shù)第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋物理條件波函數(shù)應(yīng)滿足單值、連續(xù)、有限。在區(qū)間，有限r(nóng)

yxz0角量子數(shù)第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋角動量大小

(2)

角量子數(shù)角動量的大小是量子化的。量子:經(jīng)典：角動量第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋（3）角動量方向

角動量外磁場z軸投影

---軌道角動量磁量子數(shù)空間量子化

角動量在空間的取向

只有（2l+1）種可能性。角動量矢量模型圖第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋z0例：ml

=1ml

=0ml

=-1角動量與軸的夾角第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋(4)

光譜學(xué)符號0s1p2d3f4g5h角量子數(shù)光譜學(xué)符號

ml

=0ml

=-2ml

=2ml

=1ml

=-1第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋3、徑向方程(連屬拉蓋爾方程)（1）

兩個參數(shù)

ryxz0第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋物理條件有限l=0，1，2，3…（n

1）其中：主量子數(shù)第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋★

n=1的能級稱為基態(tài)能級，n>1的能級稱為激發(fā)態(tài)能級。討論：★由解薛定諤方程得到的能量公式與玻爾理論的結(jié)果相同，氫原子的能量只能取分立值，即能量是量子化的,稱n為主量子數(shù);能量是量子化能級.第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋n=1基態(tài)能量n=2,3,…激發(fā)態(tài)能量12345

當(dāng)n很大時，能級間隔消失而變?yōu)檫B續(xù)。第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋4、電子的自旋

1925年兩位荷蘭學(xué)生烏侖貝克和古茲米特，根據(jù)一系列實(shí)驗事實(shí)提出了大膽的假設(shè)：電子除有軌道角動量外，還有自旋角動量。后又經(jīng)狄拉克從理論導(dǎo)出。

自旋量子數(shù)：s=1/2自旋在磁場方向的投影：自旋角動量：ms=

(1/2)

自旋磁量子數(shù)：

z(B)S-?/2?/2（1）史特恩---蓋拉赫實(shí)驗（2）堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)5、量子數(shù)關(guān)系

（1）主量子數(shù)n：它大體上決定了原子中電子的能量。

（2）角量子數(shù)l：它決定電子繞核運(yùn)動的角動量的大小。第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋對應(yīng)一個,有個取值。對應(yīng)一個,有

個取值。

第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋（3）磁量子數(shù)

:它決定電子角動量z分量Lz的量子化，

即空間量子化。（4）

自旋磁量子數(shù)：它決定電子自旋角動量z分量Sz的量子化，即自旋的空間量子化。二、波函數(shù)的不同表示第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋——

2

00基態(tài)n=1第一激發(fā)態(tài)n=2l=0——ml=0——ml=0、

1

210

21-1

211l=1——

100

第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋對一個值，波函數(shù)的數(shù)目

第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋llll

不同的量子態(tài)具有相同的能量，這種情形稱為能級簡并。

簡并度

對同一個n值，l可取不同的值，則電子的角動量就有不同的值，因而氫原子內(nèi)電子的狀態(tài)必須同時用n和l兩個量子數(shù)才能確切表征。第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋角動量狀態(tài)例1:n=3,l=0,1,2，電子分別為3s,3p，3d。

通常用主量子數(shù)和代表角量子數(shù)的字母一起來表示原子的狀態(tài)。第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋氫原子內(nèi)電子的狀態(tài)l=0l=1l=2l=3l=4l=5spdfghn=11sn=22s2pn=33s3p 3dn=44s4p 4d 4fn=55s5p 5d 5f5gn=66s6p 6d 6f6g 6h第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋例2:設(shè)氫原子處于2p態(tài)，求氫原子的能量、角

動量大小及角動量的空間取向。解：2p態(tài)表示n=2,l=1。根據(jù)得角動量的大小為第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋

當(dāng)l=1時，ml的可能值是-1,0,+1，可能值是-

?,0,+

?,角動量方向與外磁場的夾角可能值為：0ml

=1ml

=0ml

=-1第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋例3:氫原子中的電子處于由n=4與l=3所描述的狀態(tài)。問:

(1)電子軌道角動量L的數(shù)值為多少?

(2)這角動量L在z軸上的分量有哪些可能值?

(3)角動量L與z軸的夾角有哪些可能值?解：

電子處于n=4,l=3態(tài),即4f態(tài)

。(1)

軌道角動量(2)

根據(jù)Lz的可能值有：0，±?，±2?，±3?第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋

(3)

當(dāng)l=3時，ml的可能值是-3,

-2,

-1,0,+1,+2,+3,角動量方向與外磁場的夾角可能值為：第三節(jié)量子數(shù)的物理解釋B(z)（1）電子波函數(shù)一、基本概念

1、概率密度（2）電子在核外空間出現(xiàn)的概率密度:

波函數(shù)模的平方第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)

電子云：電子概率分布的一種形象化描述。——電子在（n,l,ml）態(tài)下，在空間（r,

,

）處單位體積出現(xiàn)的概率。

氫原子中的電子是按一定的概率分布在原子核的周圍。第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)

2、球坐標(biāo)體積元中概率

電子出現(xiàn)在r→r+dr，方向角為q→q+dq

、j→

j+dj

的概率為概率密度第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)

3、歸一化波函數(shù)：徑向角向第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)電子出現(xiàn)在r→r+dr的概率

二、徑向概率分布計算徑向幾率密度為：波函數(shù)：徑向角向第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)|

||

|基態(tài)：—玻爾半徑電子出現(xiàn)在r=a0

的單位厚度球殼層內(nèi)的概率最大。n=1,l=0⊕a0a0r第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)n=2，l=0,1 對l=1的電子，概率最大。激發(fā)態(tài)04第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)n=3，l=0,1,2 09對l=2的電子，概率最大。一般：l=n

1時，電子在的概率最大。第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)例4:基態(tài)氫原子的徑向波函數(shù)為：式中a0為玻爾半徑。問：

(1)基態(tài)氫原子中r為何值時電子的徑向概率密度最大?(2)基態(tài)氫原子中電子出現(xiàn)在玻爾半徑a0內(nèi)的概率為多大？解：

基態(tài)氫原子中電子概率密度的徑向分布函數(shù)為：(1)解得：只有

徑向概率密度最大。(2)基態(tài)氫原子中電子在玻爾軌道半徑a0內(nèi)的概率：第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)變量代換:設(shè)

，則：

，電子的幾率密度隨角度的變化電子在附近的立體角內(nèi)的幾率：三、角度概率分布圖第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)（1）按分布

第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)

角發(fā)現(xiàn)電子的概率相同。概率密度與無關(guān)，即不同的

幾率密度繞z軸旋轉(zhuǎn)對稱分布。ryxz0

第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)（2）按分布第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)（3）角向概率密度角向概率密度第四節(jié)氫原子的概率幅函數(shù)和概率密度函數(shù)

由坐標(biāo)原點(diǎn)引向曲線的長度表示方向的概率大小。各向