湖南省湘潭市2025屆高三5月適應性考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】因，故，故選：D．2.某市AI智能機器人比賽項目有29位同學參賽，他們在預賽中所得的積分互不相同，只有積分在前15名的同學才能進入決賽．若某同學知道自己的積分后，要判斷自己能否進入決賽，則他只需要知道這29位同學的預賽積分的（）A.中位數(shù) B.眾數(shù) C.平均數(shù) D.極差【答案】A【解析】因為29位同學的積分，中位數(shù)是第15名，所以知道中位數(shù)即可判斷是否在前15.故選：A．3.已知橢圓的離心率為，則的短軸長為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】依題意，，即，則的焦點在軸上，因此，所以，故的短軸長為.故選：B．4.展開式中項的系數(shù)為（）A.10 B. C. D.5【答案】C【解析】由展開式的通項公式為，，令，解得，含項為，故展開式中項的系數(shù)為.故選：C5.記x，y為實數(shù)，設甲：，乙：，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】構(gòu)建函數(shù)，因為，等價于，即，且，可知在定義域R上遞增，則等價于，顯然可以推出，但不能推出，所以甲是乙的充分條件但不是必要條件.故選：A．6.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，令，則，因為，所以．故原條件等價于已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，所以，解得，又因為，故，故選：B．7.現(xiàn)有一塊棱長為2的正四面體木料，用平行于該木料底面的一個平面將木料截成兩部分，若這兩部分的表面積相等，則該平面在木料上的截面面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正四面體木料知，底面為邊長為2的正三角形，故底面面積為，因為平面平行于該木料底面，故該平面在木料上的截面也為正三角形，設該正三角形與底面的相似比為k，則該平面在木料上的截面面積為，截下部分一部分為小四面體，一部分為正三棱臺，其中小四面體部分的表面積即，正三棱臺表面積為，故，解得，所以該平面在木料上的截面面積為.故選：D．8.設函數(shù)的兩個極值點分別為，．則過，兩點的直線斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設，故，滿足，，也即，．而，同理，故過，兩點的直線斜率.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分．9.已知雙曲線，則（）A.C的實軸長為6 B.C的漸近線方程為C.C的焦點坐標為 D.C的焦點到其漸近線的距離為【答案】ACD【解析】中，，故C的實軸長為6，故A正確；，故，易得C的焦點坐標為，故C正確；由有解得C的漸近線方程為，故B錯誤；由對稱性，不妨取焦點到漸近線的距離為，故D正確，故選：ACD．10.定義域為R的函數(shù)滿足：①，②的圖象過點，則（）A. B.為偶函數(shù)C.的圖象關(guān)于點中心對稱 D.【答案】AC【解析】由①，，對于A，令，，則，由②可知，所以，解得，故A正確；對于B，令，則，即，故為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，令，則，即的圖象關(guān)于點中心對稱，故C正確；對于D，由于且，則有，即，所以，，…，，故D錯誤，故選：AC．11.記是的外接圓，且，，，則（）A. B.C.的面積為 D.圓O的周長為【答案】BCD【解析】對于A，因為是的外接圓，所以是的外心，在的中垂線上，若符合，則也應在的中垂線上，因為，故A錯誤；對于B，因為是的外心，所以在的中垂線上，所以，故B正確；對于C，對等式兩邊同時乘以，則，所以，解得，故，，所以面積為，故C正確；對于D，由余弦定理可得，解得，由正弦定理，，所以圓的半徑為，其周長為，故D正確，故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.復數(shù)的實部與虛部之和為________．【答案】4【解析】因為，所以z的實部為1，虛部為3，和為4，故答案為:4．13.已知銳角滿足，則________．【答案】【解析】由題意可得，解得或（舍去），所以，故答案為：．14.記為數(shù)列的前n項和，且，若每個數(shù)字出現(xiàn)的概率相同，則是奇數(shù)的概率為__．【答案】【解析】記事件為“為奇數(shù)”，設事件為“為奇數(shù)”，由題可知，當為奇數(shù)時，若2，則仍然為奇數(shù)，若為偶數(shù)，或3時，仍然為奇數(shù)，從而：，（其中表示的概率，），設，，從而有：，進而，，故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.為了解正在研發(fā)的新產(chǎn)品在18~22歲和23~27歲兩個年齡段青年群體中的受眾面，某科技公司發(fā)布問卷調(diào)查，回收整理了400份問卷并整理數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：感興趣不感興趣合計18~22歲1604020023~27歲s70t合計290110400（1）求表中s，t的值；（2）分別計算18~22歲和23~27歲青年群體對新產(chǎn)品感興趣的頻率；（3）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為對新產(chǎn)品感興趣與青年的年齡段有關(guān)？附：0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）由列聯(lián)表可得，．（2）由題意可得18~22歲青年群體對新產(chǎn)品感興趣的頻率為：，23~27歲青年群體對新產(chǎn)品感興趣的頻率為：．（3）零假設為：對新產(chǎn)品感興趣與青年的年齡段無關(guān)聯(lián)．因為，則根據(jù)小概率值獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為對新產(chǎn)品感興趣與青年的年齡段有關(guān)．16.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求a的取值范圍．解：（1）由題意可知：的定義域為，且，當時，，可知在上單調(diào)遞減；當時，由得；由得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當時，的單調(diào)減區(qū)間為，無單調(diào)增區(qū)間；當時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（2）解法一：（參變分離法）由已知得在上恒成立，等價于在上恒成立，設，，則，設，，可知在上單調(diào)遞減，且，當時，，即；當時，，即；可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，可得，即a的取值范圍為．解法二：（分類討論法）由題意可知：在上恒成立，由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減，且，不合題意；當時，可知，設，，可知在上單調(diào)遞增，且，若，則，可得，故a的取值范圍為．17.如圖，矩形紙片中，，，將點D沿對角線AC折疊至點，使得平面平面，形成三棱錐．（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值．（1）證明：由折疊知，，又因為平面平面，平面，平面平面，故平面．又平面，所以平面平面．（2）解：由（1）可得，在內(nèi)，過點作，垂足為，則，所以，又，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面，在內(nèi)，，又，即，進而，，如圖，以點B為原點，為x軸正方向，為y軸正方向，過點垂直于平面方向為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面法向量為，則，即，取，則可取設與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．18.已知F為拋物線的焦點，點滿足，其中O為坐標原點，過F的直線交E于A，B兩點，點A在第一象限，過點A作直線AB的垂線，交x軸正半軸于點M，直線BC交直線AM于點N．記，，的面積分別為，，．（1）求E的準線方程；（2）證明：；（3）求的最小值及此時點A的坐標．（1）解：點滿足，則，解得．故，準線方程：．（2）證明：設直線，（，否則直線軸，不合題意），聯(lián)立消元得，設，，則，，由拋物線定義有，，則，得證．（3）解：令，則，代入拋物線方程可得，，即，，由于，且直線的斜率，故直線，即，令，則得點M的橫坐標為，由，可得直線，聯(lián)立，解得點N縱坐標，因此，，記，，則，因為當時，，所以時，，時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此當時，取到最小值，此時．19.已知為正整數(shù)且，為非零實數(shù)，數(shù)列滿足，且，，…，是公差為1的等差數(shù)列，，，…，是公差為的等差數(shù)列，，，…，是公差為的等差數(shù)列，以此類推．（1）當，時，求；（2）求的最小值（用含的代數(shù)式表示）；（3）記除以的整數(shù)部分為，余數(shù)為，求的通項公式（用含，，，，的代數(shù)式表示）．解：（1）由題可知：，，…，為公差為1的等差數(shù)列，故，，，…，為公差為的等差數(shù)列，故，解得；（2）由題可知：，