.1導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運(yùn)算（精講）考向一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例1】（24-25山東淄博）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)(2)；(3)；(4)(5)；(6)；(7).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得：.所以；（6）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得：.所以（7）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，，所以.【一隅三反】（24-25湖北）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．(6)；(7)；(8)；(9)；(10)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【解析】（1）．（2）．（3）∵是常數(shù)函數(shù)，∴．（4）∵，∴．（5）∵，∴．（6）．（7）．（8）．（9），．（10）令，則，即．考向二導(dǎo)數(shù)值【例2-1】（24-25江蘇揚(yáng)州）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B．-1 C． D．【答案】B【解析】，令得，解得.故選：B【例2-2】（24-25山東聊城）若在上可導(dǎo)，，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】由，可得，所以，解得，則，則.故選：B.【一隅三反】1．（24-25安徽蚌埠）已知函數(shù)，則等于（

）A．0 B．3 C．4 D．6【答案】D【解析】對(duì)求導(dǎo)，可得.將代入中，可得.解得.將代入原函數(shù)中，得到.再將代入中，可得.故選：D.2.（2024山東）如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線是，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【解析】由題可得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則切線，，，.故選：D．3．（2024·上海黃浦）已知函數(shù)，則．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則，解得：，所以，則.故答案為：.考向三導(dǎo)數(shù)定義及幾何意義【例3-1】（24-25江蘇鹽城）已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且則（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在處可導(dǎo)，且，所以.故選：A【例3-2】（2025·河北唐山）已知曲線在處的切線為，則的斜率為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】對(duì)求導(dǎo)得，，由題意曲線在處的切線的斜率為.故選：A.【例3-3】（2025·福建莆田·二模）曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，令，則，故，當(dāng)時(shí)，，即的坐標(biāo)為.故選：B.【例3-4】（2024春·河南）點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是【答案】[0，【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，故選：D.【一隅三反】1.（24-25山西呂梁）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，則，所以，，所以，.故選：C.2．（24-25安徽合肥）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為2，則（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，由導(dǎo)數(shù)定義可知：.故選：C.3（2025·甘肅蘭州·一模）若函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底）的一條切線與x軸平行，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，函數(shù)，所以，因?yàn)榍芯€與x軸平行，所以，解得，，故切點(diǎn)坐標(biāo)為故選：B4.（2024·新疆阿克蘇）若直線與曲線相切，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，.故選：A5（24-25山東濟(jì)寧）點(diǎn)在曲線上，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，設(shè)，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，則，又，切線斜率存在，故，則.故選：B考向四在型切線【例4-1】（24-25高三上·河南·期末）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，因?yàn)?，所以，所以切線方程為，即，故選：D.【一隅三反】1．（2025·廣東·一模）曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【解析】因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即得.故答案為：.2（2025·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，則，從而曲線在點(diǎn)處的切線方程為，整理得.3（2025·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【解析】已知函數(shù)，則，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即得.故答案為：考向五過型切線【例5】（2025·新疆·模擬預(yù)測）曲線過點(diǎn)的切線方程為.【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則，故切線方程為，將代入可得，解得，故切線方程為，即，故答案為：【一隅三反】1.（2024·陜西西安·一模）已知直線l為曲線過點(diǎn)的切線．則直線l的方程為．【答案】或【解析】∵，∴.設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，則直線的斜率為，∴過點(diǎn)的切線方程為，即，又點(diǎn)在切線上，∴，整理得，∴，解得或；∴所求的切線方程為或.故答案為：或.2（2024四川綿陽·期末）過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)，且，則，①又，則切線斜率為，②由①②解得，，所以，切線的斜率為，切線方程為，即.故答案為：.3.（2025四川雅安·期中）已知，則經(jīng)過點(diǎn)的曲線的切線方程為.【答案】或【解析】令該切線方程的切點(diǎn)為，則，，，則有，又該直線過點(diǎn)，故有，化簡得，即，故或，當(dāng)時(shí)，有，即，當(dāng)時(shí)，有，即.故答案為：或.考向六切線求參數(shù)【例6-1】（2024·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若的圖象在處的切線方程為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，所以，解得，又，所以，解得，所以.故選：C.【例6-2】（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）已知，，成等差數(shù)列，若直線與曲線相切，則．【答案】【解析】由題意得，直線，故直線過定點(diǎn)，且曲線過點(diǎn)，故直線與曲線（無拐點(diǎn)）相切于點(diǎn).∵，∴直線的斜率，∴直線的方程為，∴，∴.故答案為：.【一隅三反】1.（24-25高三下·廣東惠州·階段練習(xí)）若直線與曲線相切，則（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，故由得，故，得，故.故選：B2（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法1：由得，當(dāng)時(shí)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即.由，得，所以，解得，故選：D.解法2：由得，當(dāng)時(shí)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即.因?yàn)椋?，令，得，所以與曲線的切點(diǎn)為，由切點(diǎn)在切線得，解得，故選：D.3（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知直線與曲線相切，則．【答案】【解析】設(shè)直線（）與函數(shù)相切，切點(diǎn)為：，因?yàn)?，所以切線斜率為：.所以切線方程為：.由切線過點(diǎn)，得：所以，解得：或.所以（舍去）或.故答案為：考向七公切線【例7-1】（2024·山東）已知（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，請(qǐng)寫出與的一條公切線的方程.【答案】或(寫出其中一條即可)【解析】設(shè)公切線與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，，，則公切線斜率，公切線方程為或，整理得或，所以，即，，解得或，公切線方程為或.故答案為：或<(寫出其中一條即可)【例7-2】（2024·廣東茂名·一模）曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)分別為，設(shè)，圖象上的切點(diǎn)分別為，，則過這兩點(diǎn)處的切線方程分別為，，則，，所以，設(shè)，，，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，.故選：B.【一隅三反】1.（24-25高三上·江西撫州·階段練習(xí)）與曲線和都相切的直線l的方程為.【答案】【解析】設(shè)直線與的圖象相切于點(diǎn)，與的圖象相切于點(diǎn)，又，，且，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故解得，，故故，故直線的方程為.故答案為：.2.（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則.【答案】【解析】由題意可得，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，則又切點(diǎn)在曲線上，所以，聯(lián)立解得，即.，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，所以，又，聯(lián)立兩式，解得.故答案為：23.（2024·湖南長沙·三模）斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實(shí)數(shù)的值為【答案】0或2【解析】依題意得，設(shè)直線的方程為，即，由直線和圓相切可得，，解得，當(dāng)時(shí)，和相切，，設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，，又切點(diǎn)同時(shí)在直線和曲線上，即，解得.即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，和相切，，設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，，又切點(diǎn)同時(shí)在直線和曲線上，即，解得.即時(shí)，.綜上所述，或.故選：A.4.（24-25高三上·山東聊城·階段練習(xí)）一條直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為．【答案】-2【解析】因?yàn)?，，所以，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即；在點(diǎn)處的切線方程為：，即，由已知，由得，故，故，解得，所以，因此．故答案為：．5.（2024·廣東江門·二模）若曲線與曲線存在公切線，則a的最大值．【答案】【解析】設(shè)公切線與曲線切與點(diǎn)，與曲線切與點(diǎn)，由，得；由得.則，所以，所以，即.設(shè)，則.由；由.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以函數(shù).即的最大值為.故答案為：考向八切線的數(shù)量【例8】（2025·河南）若過點(diǎn)作曲線的切線，則這樣的切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，得，所以切線方程為，即．因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得或，所以過點(diǎn)作曲線的切線可以作2條.故選：C【一隅三反】1．（2024·全國·模擬預(yù)測）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】A【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由可得，則過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線的斜率，故，即，解得，故過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線共有1條．故選：A．2（24-25高三上·河北承德·開學(xué)考試）過點(diǎn)可作曲線的切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【解析】由，當(dāng)點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí)，此時(shí)切線的斜率為，此時(shí)有一條切線；當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，切線方程為：，該切線過點(diǎn)，于是有或（舍去），綜上所述：過點(diǎn)可作曲線的切線條數(shù)為，故選：B3．（2024北京）已知函數(shù)，則過點(diǎn)與曲線相切的直線有條.【答案】2【解析】曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，由，得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，在處的切線的斜率為，故切線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以聯(lián)立得，解得或，故所求切線方程為或，則過點(diǎn)與曲線相切的直線有2條.故答案為：2.考向九已知切線的條數(shù)求參數(shù)【例9-1】（2024·山東·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)可以作的三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，求導(dǎo)得，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，由切線過點(diǎn)，得，令，依題意，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，而當(dāng)時(shí)，恒有，又，因此當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B【例9-2】（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)P處的切線方程為，又因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，令，則與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則，即，故選：B【一隅三反】1.（23-24遼寧本溪）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】在曲線上任取一點(diǎn)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以.設(shè)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，的圖象如圖：由題意可知，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則.故選：B2（2025·黑龍江·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)可作出曲線的三條切線，則的取值范圍是【答案】【解析】，則過的切線為，即.由過點(diǎn)可作曲線的三條切線得有3個(gè)不等實(shí)根.令，，由得或.當(dāng)或，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值為.要使有3個(gè)不等實(shí)根，則，即得，即所求m的取值范圍是.故答案為：.3（24-25高三上·廣西·期中）已知函數(shù)，過點(diǎn)可作2條與曲線相切的直線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，將點(diǎn)代入切線方程得，，化簡得，設(shè)，則，令，解得，令，解得或，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，作出函數(shù)的大致圖象如下圖所示，由圖象可知，要使直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，故答案為：．考向十切線方程的應(yīng)用【例10-2】（2024·河南）直線分別與曲線，直線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題，設(shè)到直線的距離為，直線的傾斜角為，則，又，，故最小即最小，即為當(dāng)過點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)最小，由曲線，得，所以切點(diǎn)為，可求得點(diǎn)到直線的距離最小值為故，故選：C【例10-2】（23-24山東棗莊）若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】直線的斜率，函數(shù)定義域?yàn)?，點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，設(shè)，由，令，解得或（舍去），，此時(shí)，∴曲線上與直線平行的切線的切點(diǎn)為，所以曲線上點(diǎn)到直線的最小距離，為點(diǎn)到直線的距離.故選：C.【例10-3】（2023·四川·?？寄M預(yù)測）若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，