.4導數的綜合應用考向一判斷零點的個數【例1-1】（2025·廣東湛江·一模）已知函數，其中．(1)若，求函數的單調區(qū)間；(2)當時，試判斷的零點個數并證明．【答案】(1)單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為(2)兩個零點，證明見解析【解析】（1）由題知，，當時，．令，得或（舍去）．當時，，故的單調遞減區(qū)間為．當時，，故的單調遞增區(qū)間為．（2）解法一：因為，故有一個零點是2．令，解得（舍去），．當時，，故單調遞減．當時，，故單調遞增．當時，，．．下面先證明當時，．令，，故在上單調遞增，所以．因為，所以．易知，所以在上存在唯一的零點，所以當時，有兩個零點，為2和．解法二：當時，，故2是的一個零點．令，又，所以．當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以是的極小值點．當時，，所以．下證．令，則．當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，從而，所以當時，，所以，即．令，則有，則．易得當時，，所以在上有唯一解．綜上，當時，有兩個零點．解法三：令，當時，，故2是的一個零點．當時，．令，易得在和上均單調遞減．因為（洛必達法則），所以當時，且單調遞減，故當時，在上有唯一解．而當時，，故當時，無解．綜上可知，當時，有兩個零點.【例1-2】（2025·內蒙古呼和浩特·一模）已知函數.(1)若，求函數在處的切線方程；(2)討論函數在上零點的個數.【答案】(1)；(2)答案見解析.【解析】（1）當時，，求導得，則，而，所以所求切線方程為，即.（2）依題意，，當時，；當時，，函數在上遞增，在上遞減，，當，即時，恒成立，此時在上無零點；當，即時，，，在上無零點，，在上有一個零點，則在上有一個零點；當，即時，，函數在和上各有一個零點，因此在上有兩個零點；當，即時，在上恒成立，當且僅當，函數在上有一個零點；當，即時，恒成立，此時在上無零點，所以當或時，在上無零點；當或時，在上有一個零點；當時，在上有兩個零點.【一隅三反】1．（24-25高三下·甘肅白銀·階段練習）已知函數.(1)證明：，；(2)求函數的零點個數.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）欲證，，即證，，令，則，因為，，所以，所以在上單調遞增，所以，所以，成立.（2）令，所以，①當時，，，所以，即在時無零點；②當時，，，所以，所以在時單調遞增，所以，即在時無零點；③當時，令，則，顯然在上單調遞增，又，，所以存在使得，因此可得時，，單調遞減；當時，，單調遞增，又，，所以存在，使得，即時，，，單調遞減；時，，，單調遞增，又，，所以在上有2個不同的零點；④當時，單調遞增，所以，即成立，所以在上無零點，綜上，函數有2個不同的零點.2．（23-24內蒙古通遼·期中）已知函數.(1)當時，求函數.(2)討論函數的極值點個數.【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）當時，，則，則.（2），由，解得，易知函數在上單調遞增，且值域為，令，由，解得，設，則，因為當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．因為趨近于時，趨近于，趨近于時，趨近于，所以的大致圖象如圖所示．因此有：（?。┊敃r，方程無解，即無零點，沒有極值點；（ⅱ）當時，，設，則，令，，在上單調遞增函數，在上單調遞減，所以，即，得，所以，函數在內單調遞增，此時沒有極值點；（ⅲ）當時，方程有兩個解，即有兩個零點，有兩個極值點；（ⅳ）當時，方程有一個解，即有一個零點，有一個極值點．綜上，當時，有一個極值點；當時，有兩個極值點；當時，沒有極值點．考向二根據零點個數求參數【例2-1】（23-24河南）已知函數在及處取得極值．(1)求a，b的值；(2)若方程有三個不同的實根，求c的取值范圍．【答案】(1)，(2)【解析】（1）∵，∴，由已知得，是的兩個根，故，解得，；此時，則，令，解得，令，解得或，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減.可知和均為極值點，符合題意，，.（2）由（1）得，，結合（1）可知，該函數的零點為，令，解得，令，解得或，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減.∴的極小值為，極大值為，若方程有三個不同的實根，只需，解得，∴a的范圍是.【例2-2】（2025·四川廣安·二模）已知函數（為常數）.(1)若曲線在處的切線在兩坐標軸上的截距相等，求的值；(2)是否存在實數，使得有3個零點？若存在，求實數的范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【解析】（1）因為，所以，，，所以曲線在處的切線為，即.令，則，若，則，則切點為，切線為，不合題意；若，則；令，則.又切線在兩坐標軸上的截距相等，即，故.（2）若函數有3個零點，等價于方程有三個解.其中時，顯然不是方程的根，當時，轉化為與的圖象有3個交點.又由，令，解得或；令，解得，所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，函數取得極小值，極小值為.又由時，；當時，且；當時，，故函數的大致圖象如下圖所示：所以，即實數的取值范圍為.【例2-3】（2025·新疆·三模）已知函數，且．(1)當（為自然對數的底數）時，求函數在處的切線方程；(2)函數在上有且僅有兩個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)且．【解析】（1）因為，所以，，，，所以函數在處的切線方程為．（2）因為函數在上有且僅有兩個零點，所以方程有且僅有兩個不同的實數根，即方程有且僅有兩個不同的實數根．令，則方程有且僅有兩個不同的實數根，∵，所以在區(qū)間上，，單調遞增，在區(qū)間上，，單調遞減且，∴，∵與有兩個交點，∴，結合圖像解得且．【例2-4】（2025·北京·模擬預測）已知函數.(1)若函數的極值點在內，求m的取值范圍；(2)若有兩個零點，求m取值的范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）由,則，要使函數的極值點在內，則在上有解，即在上有解，則，解得，即m的取值范圍為.（2）由，，則，當時，，，則，此時函數在上單調遞增，不可能有兩個零點，不符合題意；當時，，令，得，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，又時，，時，，要使有兩個零點，則恒成立，設，則，所以函數在上單調遞增，又，則，解得.綜上所述，m取值的范圍為.【例2-5】（24-25高三上·山西·階段練習）若函數恰有2個零點，則實數的取值范圍是.【答案】【解析】令，得，即，令，，所以函數恰有2個零點等價于函數的圖象與的圖象有兩個交點.，令，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，且時，時，所以的圖象如圖所示，設是經過點的的圖象的切線，切點為，則切線斜率為，所以的方程為，又經過點，所以，即，解得或，或，所以由圖可知，當或，即或時，函數的圖象與的圖象有兩個交點，即函數恰有2個零點，所以實數的取值范圍是.故答案為：.【一隅三反】1．（24-25高二下·山東·期中）函數有兩個零點，則m的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可知：的定義域為，且，令，可知在內單調遞增，原題意等價于在定義域為有2個零點，令，可得，可知與（過原點的直線）有2個交點，對于，則，設切點坐標為，則切線斜率，可得切線方程為，代入點，得，解得，即切線斜率，結合圖象可知：若與有2個交點，則，即，所以m的取值范圍是.故答案為：.2．（2025·河北秦皇島·一模）已知函數．(1)當時，求的極小值；(2)若函數有2個零點，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【解析】（1）當時，函數定義域為，求導得，當時，；當時，，函數在上遞增，在上遞減，所以當時，取得極小值.（2）依題意，函數的定義域為，由，得，令函數，求導得，當時，，當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，，當從大于0的方向趨近于0時，；當時，，則當，即時，直線與函數的圖象有兩個交點，即有兩個零點，所以的取值范圍是.3．（2025·貴州畢節(jié)·二模）已知函數.(1)當時，求函數的單調區(qū)間；(2)若方程有兩個根，求的取值范圍.【答案】(1)函數的單調遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為(2)的取值范圍為【解析】（1）當時，，所以，由，得或，由，得，所以函數的單調遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為；（2）因為不是的根，當時，由，可得，設，則，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，當時，且，當時，，要使有兩個根，則，解得，所以的取值范圍為.4．（2025·福建福州·模擬預測）已知定義在上的函數.(1)若，判斷是否存在極小值點，并說明理由；(2)若存在兩個零點，求的取值范圍.【答案】(1)無極小值點；理由見解析(2)【解析】（1）依題意可得，，故，設，則，，在上單調遞增，，在上單調遞增，無極小值點；（2）令，可得，所以與恰有兩個交點，設，則，令可得，當時，；當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，；當時，，的取值范圍是5．（2025·山東·模擬預測）已知函數．(1)若曲線在點處的切線的斜率為（是自然對數的底數），求的值；(2)若有且只有兩個零點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得的定義域為，，則，即，所以，即,令，則,又在區(qū)間上單調遞增，且當時，，所以，即，所以．（2）因為有且只有兩個零點，所以有且只有兩個大于1的實數根，又，所以方程，即有且只有兩個大于1的實數根，令，則，由，解得，當時，，當時，，所以在區(qū)間上單調遞減且，在區(qū)間上單調遞增且當時，，作出的圖象，如圖①，又，所以，要使，則，即有且只有兩個大于1的實數根，令，則，當時，，當時，，所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，又，當時，，且無限趨近于0，作出的圖象，如圖②，所以，即，故的取值范圍是．考向三恒（能）成立求參數【例3-1】（2025·安徽蚌埠·模擬預測）已知函數，其中．(1)當時，求函數的圖象在處的切線方程；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）當時，，則所以，又，則所求切線方程為．（2），其中，所以問題轉化為（）恒成立，記，則，令，得；令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，的最大值為，所以．【例3-2】（2025·湖北·三模）已知函數（為自然對數的底數）.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）當時，，則，所以切線方程為，即；（2）當時，恒成立，即在上恒成立，設，則，令，則.①當時，因為，則，可知在上單調遞減，則，所以在上單調遞減，所以，即恒成立，所以滿足題意；②當時，令，解得：，當時，，則單調遞增，此時，則在上單調遞增，所以，即當時，，即不恒成立，可知不合題意.綜上所述，.【一隅三反】1．（2025·河南鶴壁·二模）已知函數.(1)當時，證明:.(2)若對于定義域內的任意恒成立，求t的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：當時，，所以證明即證明，設,則，所以當時，在區(qū)間單調遞增；當時，在區(qū)間單調遞減，所以在處取到最大值，即，所以，得證.（2）由恒成立，得在上恒成立；由(1)可以得到，所以；所以，所以，當且僅當時取等號，于是t的取值范圍是2．（2025·湖北武漢·二模）已知函數．(1)若在處的切線斜率為，求；(2)若恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）因為，所以，依題意，解得；（2）因為的定義域為，又，所以恒成立，令，，則，令，，則，所以在上單調遞增，又，，所以使得，即，，則，所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，即實數的取值范圍為.3．（2025·北京·模擬預測）已知函數，，.(1)求函數的極值；(2)若恒成立，求實數的最小值.【答案】(1)極大值為-1，無極小值；(2)【解析】（1）由題意得函數，得的定義域為，所以，令，得，所以函數在單調遞增；令，解得，所以函數在單調遞減；所以函數在處取得極大值，且極大值為，無極小值.（2）由，即在恒成立，且，所以，即，令，則，所以，且，因為，所以，所以在單調遞增，所以，令，則，令，解得，則在單調遞增，令，解得，則在單調遞減，所以在處取得最大值，所以實數的取值范圍為，故實數的最小值為.考向四隱零點【例4】（2024湖北）已知函數.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)求證：函數的圖象在x軸上方.【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；(2)證明見解析.【分析】(1)求，根據正負即可求y的單調區(qū)間；(2)求，根據零點的范圍求出g(x)的最小值，證明其最小值大于零即可.【詳解】（1），令則.當時，，∴函數在上單調遞增；當時，，∴函數在上單調遞減.即的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是；（2），，易知單調遞增，又，，∴在上存在一個，使得：，即：，且，當，有單調遞減；當，有單調遞增.∴，∴，∴函數的圖象在x軸上方.【一隅三反】1.(2025河南)已知a≥1，函數f(x)＝xlnx－ax＋1＋a(x－1)2．(1)若a＝1，求f(x)的單調區(qū)間；(2)討論f(x)的零點個數．【答案】見解析【解析】(1)若a＝1，則f(x)＝xlnx－x＋1＋(x－1)2，f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋2(x－1)．當0＜x＜1時，f′(x)＜0；當x＞1時，f′(x)＞0．所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(0，1)，單調遞增區(qū)間為(1，＋∞)．(2)當a＝1時，f(x)＝xlnx－x＋1＋(x－1)2，因為f(1)＝0，且f(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，所以f(x)有1個零點．當a＞1時，f′(x)＝1＋lnx－a＋2a(x－1)＝1＋lnx＋2ax－3a，令g(x)＝1＋lnx＋2ax－3a，因為a＞1，所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，又f′(1)＝g(1)＝1－a＜0，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝1＋lneq\f(3,2)＞0，所以存在實數x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，使得g(x0)＝0．在(0，x0)上，f′(x)＜0，f(x)是減函數；在(x0，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)是增函數．所以f(x)的最小值是f(x0)，其中x0滿足f′(x0)＝0，即1＋lnx0＋2ax0－3a＝0．所以f(x0)＝x0lnx0－ax0＋1＋a(x0－1)2＝x0(3a－1－2ax0)－ax0＋1＋a(x0－1)2＝(1－x0)(a＋ax0＋1)，因為x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以f(x0)＜0，因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(a,9)＋1－eq\f(ln3,3)＞0，f(3)＝3ln3＋a＋1＞0，所以f(x)有2個零點．綜上所述，當a＝1時，f(x)有1個零點；當a＞1時，f(x)有2個零點2.（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）已知函數，．(1)求的極值；(2)證明：當時，．（參考數據：）【答案】(1)極大值為，無極小值(2)證明見解析【解析】（1）的定義域為，，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得極大值，所以的極大值為，無極小值；（2）設，則，令，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，又，，，所以存在，使得，即．當時，，即，單調遞減，當時，，即，單調遞增，所以當時，在處取得極小值，即為最小值，故，設，因為，由二次函數的性質得函數在上單調遞減，故，所以當時，，即．3.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數．(1)當時，討論的單調性；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)在上單調遞減(2)【解析】（1）因為，所以，則，令，由于，所以，所以，因為，，，所以在上恒成立，所以在上單調遞減.（2）法一：構建，則，若，且，則，解得，當時，因為，又，所以，，則，所以，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價于，所以的取值范圍為.法二：因為，因為，所以，，故在上恒成立，所以當時，，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；當時，因為，令，則，注意到，若，，則在上單調遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點，使得，此時在上有，所以在上單調遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.考向五不等式的證明【例5】（2025·湖北鄂州·一模）已知函數有兩個零點.(1)求的值；(2)證明：當時，.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）因為，則，由于，當或時，；當時，.所以，函數的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，因為函數有兩個零點，則或，解得或（舍），故.（2）當時，，結合函數單調性知，當時，，，，此時不等式成立.下面證明時的情況，設，滿足，則原不等式等價于.考慮到三次函數圖象極值點附近的非對稱性：令，則，故在上單調遞減，.，故只需證，令，當時，，故在上單調遞減.所以，故原不等式得證.【一隅三反】1．（2025·北京順義·一模）已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，求證：是上的單調遞減函數；(3)求證：當時，.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】（1）依題意，．又，所以.所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）由（1）知，，，所以.令，則，因為，所以，即，所以在上單調遞減，所以，即，所以是上的單調遞減函數.（3）令，則，由（2）知，在上單調遞減，所以當時，，此時，即在上單調遞減，所以，即，當時，，，.所以即，所以即，綜上可得：當時，.2．（2025·遼寧錦州·二模）已知．(1)若在上單調遞增，求a的取值范圍；(2)若的圖像在處的切線為，求a與b的值，并證明時，．【答案】(1)(2)，，證明見解析【解析】（1）若在上單調遞增，則對恒成立，設，則在上恒成立，所以在上單調遞減，所以只需，即，所以a的取值范圍是.（2）因為，，所以在處切線方程為，根據題意，該切線為，所以，解得，，所以，因為，所以，下面證明：，（法一）先證，即，令，，則，所以在是增函數，所以，即，①再證，即，令，則，當時，，當時，，所以在上是減函數，在上是增函數，所以，即，所以，②由①②得，綜上，在上成立．（法二）設，則，因為兩個函數均在上單調遞增，所以在上單調遞增，因為，，所以使，所以，即，當時，，時，，所以在單調遞減，在單調遞增，所以，當且僅當時等號成立，因為，所以，即，所以在上成立.3．（2025·江西南昌·一模）已知．(1)若在定義域上單調遞增，求a的取值范圍；(2)若有極大值m，求證：【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）函數的定義域為，可得，令，所以，因為時，，所以單調遞減，時，，所以單調遞增，所以，因為在定義域上單調遞增，所以恒成立，所以，即；（2）由（1）可知，當有兩個不同的零點時，，此時，且時，時，所以，則，，其中，因為時，，單調遞增，時，，單調遞減，時，，單調遞增，所以為的極大值點，則，且，設，則，所以在單調遞增，所以，即.考向六極值點偏移【例6-1】（2025·湖南郴州·三模）已知函數.(1)當時，求函數的最值；(2)若函數有兩個不同極值點，證明：.【答案】(1)的最大值為，無最小值.(2)證明見解析【解析】（1）當時，對函數求導可得.令，解得.當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；因此，在處取得最大值，最大值為，無最小值.（2）函數對求導可得令，得到.設是的兩個根，則①，②①-②得③；①+②得④.③④得，即，不妨設，令則，即.要證，即證，即證，即證，即證，即證.設，對求導可得恒成立，故在上單調遞增，即故成立，即成立.【例6-2】（2025·江蘇·模擬預測）設，曲線在處的切線方程為.(1)求，的值；(2)證明：；(3)若存在兩根，，且，證明：.【答案】(1)，；(2)證明見解析；(3)證明見解析；【解析】（1）因為，所以，即，因為，所以點在直線上，即，所以．（2）由（1）知，切線的方程為，所以要證，即證．設，則，當時，此時單調遞增：當時，此時單調遞減，所以，當且僅當時，等號成立．所以．（3）因為，當時，此時單調遞減：當時，此時單調遞增：則極小值為，且，，且小于0，，，因為存在兩根，所以，且．首先證明：，即證．因為在上單調遞減，所以只要證，即證．設，因為，當時，，，則，所以在上恒成立，所以在上單調遞增，所以，故，所以．其次證明：．因為在處的切線為，由（2）知，，當且僅當時等號成立，所以，即，所以．綜上，．【一隅三反】1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數．(1)若函數有兩個零點，求的取值范圍；(2)設是函數的兩個極值點，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1），則，令，得，若函數有兩個零點，則直線與函數的圖象有兩個不同的交點．設，則．當時，單調遞減，當時，單調遞增，因此．當時，，當時，，作出函數的大致圖象與直線，如圖所示，要使二者有兩個不同交點，則，故的取值范圍為．（2）因為是函數的兩個極值點，所以．由（1）知，不妨設，要證，即證，只需證，顯然．由（1）知當時，單調遞增，所以只需證，而，所以即證．設，則，當時，單調遞減，所以當時，，所以當時，，原不等式得證．2.（2025·甘肅平涼·模擬預測）已知函數.(1)當時，若直線過原點且與曲線相切，求的方程；(2)若函數在上恰有2個零點，.①求的取值范圍；②求證：.【答案】(1)；(2)①；②證明見解析.【解析】（1）當時，，設直線與曲線相切于點，因為，所以直線的斜率，又，故的方程為，又過原點，所以，所以，所以，故的方程為，即.（2）①因為在上恰有兩個零點，所以關于的方程有兩個不相等的正根，即恰有2個不相等的正實數根，，令，則與的圖象有兩個不同的交點.因為，所以當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，當從0的右側無限趨近于0時，趨近于；當無限趨近于時，則趨近于，則圖象如圖所示，

所以當時，直線與的圖象有兩個不同交點，所以實數的取值范圍為.②由①知，，所以，，所以，不妨設，則，要證，只需證，因為，所以，所以，則只需證.令，則只需證當時，恒成立，令，所以，所以在上單調遞增，所以，所以當時，恒成立，所以原不等式得證.3．（2025·江蘇南京·一模）已知函數.(1)當時，求證：；(2)若對于恒成立，求的取值范圍；(3)若存在，使得，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【解析】（1）由，得.要證，只需證.令，則.當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增，所以，故，因此.（2）令，則①當時，由，得，因此，滿足題意.②當時，由，得，因此，則在上單調遞增.若，則，則在上單調遞增，所以，滿足題意；若，則，因此在存在唯一的零點，且，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以，不合題意.綜上，的取值范圍為.（3）由（2）知，設，則在上單調遞減，在上單調遞增，注意到，故在上存在唯一的零點.注意到，且在上單調