第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年安徽省馬鞍山市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={0,1,2,3}，B={x|2x<8}，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為A.{0,1,2} B.3 C.2 D.12.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(2?i)z=10+5i，則z的虛部為(

)A.3 B.4 C.3i D.4i3.如果x，y是實(shí)數(shù)，那么“|x?y|=|x|+|y|”是“xy<0”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知兩個(gè)非零向量a與b的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|sinθ叫作向量a與b的叉乘a×b的模，記作|a×b|，即A.?1 B.1 C.0 D.5.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差d<0，S2024?S2025A.1012 B.1013 C.2024 D.20256.圓錐的側(cè)面積等于和它等高等底的圓柱的側(cè)面積，則圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為(

)A.3π B.23π 7.已知函數(shù)f(x)=sinx+32sin2x+2x+3在[?2π,2π]上的所有極值點(diǎn)從小到大依次記為x1，x2，?，xA.12 B.15 C.18 D.248.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線C的漸近線上，且點(diǎn)P在第一象限，線段PFA.1 B.2 C.4 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法中正確的有(

)A.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)r就越接近1

B.已知隨機(jī)變量X～N(0,1)，若P(X>1)=p，則P(?1<X≤0)=12?p

C.數(shù)據(jù)3，4，6，7，8，9，10，11的第75百分位數(shù)為9

D.若事件A，B滿足P(A)P(B)≠0，10.已知(2x?1)2025=aA.a1=2025

B.a2023=?2202111.已知平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)O(0,0)和A(2,2)的距離的乘積為2，點(diǎn)P的軌跡Ω如圖所示，則(

)A.Ω過(guò)點(diǎn)(1,1)

B.Ω關(guān)于直線x+y=2和直線y=x均對(duì)稱

C.P到原點(diǎn)O(0,0)距離的最大值為2+2

D.直線y=?x+5與Ω三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a12<1，且loga13.若把滿足a2+b2=c2(a<b<c)的正整數(shù)組14.已知實(shí)數(shù)a，b滿足3a+b=2，則a+4b?1a2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.當(dāng)x=A時(shí)，函數(shù)f(x)=23sinxcosx?cos2x取得最大值．

(1)求角A的大??；

(2)若邊BC上中線AD=2，求△ABC16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形.PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)．

(1)證明：平面EBD⊥平面ABCD；

(2)若平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為55，求點(diǎn)F到平面PBC的距離．17.(本小題15分)

已知f(x)=x2?alnx，a∈R．

(1)曲線y=f(x)與直線y=x相切，求a的值；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a18.(本小題17分)

已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到橢圓x24+y2=1右焦點(diǎn)的距離等于橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．

(1)求拋物線C方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(0,?4)作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B(A在B的右側(cè))，點(diǎn)D為線段AP上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，過(guò)D作拋物線C的另一條切線，切點(diǎn)為E，直線DE19.(本小題17分)

在某項(xiàng)趣味籃球游戲中，每個(gè)參與者投籃若干次，根據(jù)投籃情況獲取相應(yīng)積分，得分規(guī)則如下：第一次投籃，投中得2分，未投中得1分；從第二次投籃開(kāi)始，投中得上一次所得分?jǐn)?shù)的2倍，未投中得1分.已知甲每次投籃投中的概率均為23，且每次投籃結(jié)果互不影響．

(1)求甲投籃3次得分總和為4分的概率；

(2)記甲第n次(n∈N?)投籃的得分為Xn，甲投n(n∈N?)次籃的得分總和為X．

(i)求E(X1)，E(X2)，E(X3)，并寫出k≥2(k∈N?)時(shí)，E(X答案解析1.【答案】B

【解析】解：因?yàn)锳={0,1,2,3}，B={x|2x<8}={x|x<3}，

所以A∩B={0,1,2}，元素個(gè)數(shù)為3．

故選：B．

先求得集合B2.【答案】B

【解析】解：由(2?i)z=10+5i，

則z=10+5i2?i=(10+5i)(2+i)(2?i)(2+i)=15+20i5=3+4i，

所以z的虛部為4．

3.【答案】B

【解析】解：若|x?y|=|x|+|y|，則xy≤0，即充分性不成立；

當(dāng)xy<0時(shí)，若x<0，y>0，則x?y<0，

所以|x?y|=?(x?y)=?x+y，而|x|+|y|=?x+y，則|x?y|=|x|+|y|；

若x>0，y<0，則x?y>0，

所以|x?y|=x?y，而|x|+|y|=x?y，則|x?y|=|x|+|y|，即必要性成立，

所以“|x?y|=|x|+|y|”是“xy<0”的必要不充分條件．

故選：B．

將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件．

本題主要考查了充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】D

【解析】解：由a=(0,1)，b=(3,1)，

則cosθ=a?b|a|?|b|=11×4=12，

由θ∈[0,π]，

所以θ=π3，

5.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，

若S2024?S2025<0，則有S2024?S2025=2024(a1+a2024)2?2025(a1+a2025)2=1012(a1012+a1013)?2025a1013<0，

變形可得：(a1012+6.【答案】A

【解析】解：由題意圓錐的側(cè)面積等于和它等高等底的圓柱的側(cè)面積，

可設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為r，高為?，

則圓錐的母線長(zhǎng)為l=?2+r2，

則圓錐的側(cè)面積為πrl=πr??2+r2，

而圓柱的側(cè)面積為2πr?，則πr??2+r2=2πr?7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)函數(shù)f(x)=sinx+32sin2x+2x+3，

那么導(dǎo)函數(shù)f′(x)=cosx+3cos2x+2=cosx+3(2cos2x?1)+2

=6cos2x+cosx?1=(3cosx?1)(2cosx+1)，

令導(dǎo)函數(shù)f′(x)=0，得cosx=13或cosx=?12．

如圖，畫出y=cosx圖象，

結(jié)合圖象可得f(x)的極值點(diǎn)有8個(gè)．

那么x1，x8；x4，x5；x2，x7；x3，x6互為相反數(shù)，又因?yàn)閟inx+sin(?x)=0，

那么i=18sinxi8.【答案】C

【解析】解：已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線C的漸近線上，且點(diǎn)P在第一象限，

則F1(?c,0)，漸近線y=±bax，

設(shè)P(at,bt)，t>0，

則M(at?c2,bt2)，

由點(diǎn)M在C的左支上，

得(at?c)24a2?t24=1，

整理得2act=c2?4a2，

由|OF9.【答案】BD

【解析】解：對(duì)于A，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，

則樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值就越接近1，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，由X～N(0,1)，則μ=0，因?yàn)镻(X>1)=p，所以P(X<?1)=p，

則P(?1<X≤0)=P(X≤0)?P(X<?1)=12?p，故B正確；

對(duì)于C，由8×75%=6，則第75百分位數(shù)為9+102=9.5，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，由P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，則P(AB)=P(A)P(B)，

所以P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)，故D正確．

故選：BD．

根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可判斷A10.【答案】BCD

【解析】解：(2x?1)2025=a0+a1x+a2x2+?+a2025x2025，

對(duì)于AB，(2x?1)2025展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C2025r?(2x)2025?r?(?1)r=C2025r?(?1)r?22025?r?x2025?r，

令2025?r=1，得r=2024，

所以a1=C20252024?(?1)2024?21=4050，故A錯(cuò)誤，

令2025?r=2023，得r=2，

所以a2023=C20252?(?1)2?22023=C20252?22023，

令2025?r=2，得r=202311.【答案】ABC

【解析】解：根據(jù)題意，x2+y2?(x?2)2+(y?2)2=2，

化簡(jiǎn)得點(diǎn)P(x,y)的軌跡Ω的方程為(x2+y2)?[(x?2)2+(y?2)2]=4．

對(duì)于選項(xiàng)A，將點(diǎn)(1,1)代入得(12+12)?[(1?2)2+(1?2)2]=4，

那么軌跡方程Ω過(guò)點(diǎn)(1,1)，因此選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，

將(y,x)代入得(y2+x2)?[(y?2)2+(x?2)2]=(x2+y2)?[(x?2)2+(y?2)2]=4，

將(2?y,2?x)代入得[(2?y)2+(2?x)2]?[(2?y?2)2+(2?x?2)2]

=(x2+y2)?[(x?2)2+(y?2)2]=4，

所以Ω關(guān)于直線x+y=2和直線y=x均對(duì)稱，因此選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C，由B知，Ω關(guān)于直線x+y=2和直線y=x均對(duì)稱，

則Ω的中心點(diǎn)為(1,1)，

結(jié)合圖象可知，當(dāng)P在直線y=x上，且在右上角時(shí)，

P到原點(diǎn)O(0,0)距離最大，設(shè)P(t,t)，t>1，

此時(shí)P到原點(diǎn)O(0,0)距離為2t，12.【答案】(0,1【解析】解：①因?yàn)閍12<1，

即a<1，

即0≤a<1．

②因?yàn)閘oga12<1，

當(dāng)a>1時(shí)，

則loga12<1可轉(zhuǎn)化為loga12<logaa，

因?yàn)楹瘮?shù)遞增，

即12<a，

即a>1；

當(dāng)0<a<1時(shí)，

此時(shí)loga12<1可轉(zhuǎn)化為log13.【答案】3364【解析】解：由題意可知基本事件的總數(shù)為C143=364，

其中能組成“勾股數(shù)組”的有(3,4,5)，(6,8,10)，(5,12,13)，共3個(gè)，

故隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，能組成“勾股數(shù)組”的概率為3364．

故答案為：336414.【答案】5【解析】解：實(shí)數(shù)a，b滿足3a+b=2，

a+4b?1a2+b2=2a+8b?22a2+b2=2a+8b?(3a+b)2a2+b2=15.【答案】π3；

4【解析】(1)根據(jù)題意可知，函數(shù)f(x)=23sinxcosx?cos2x=3sin2x?cos2x=2sin(2x?π6)，

因?yàn)锳∈(0,π)，所以2x?π6∈(?π6,11π6)，

則2x?π6=π2，即x=π3時(shí)，f(x)取得最大值，則A=π3；

(2)因?yàn)锳D為BC邊的中線，則AD=12(AB+AC)，

則AD2=16.【答案】證明見(jiàn)解析；

25【解析】(1)證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE，

在正方形ABCD中，O為AC的中點(diǎn)，

∵E為PC的中點(diǎn)，∴OE/?/PA，

又∵PA⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，

又∵OE?平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD．

(2)解：以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)AP=a，a>0，則P(0,0,a)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，F(xiàn)(0,2,a2)，

∴PB=(4,0,?a)，BC=(0,4,0)，

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)，

則m?PB=4x?az=0m?BC=4y=0，令x=a，得m=(a,0,4)，

∴平面PAD的一個(gè)法向量為n=(1,0,0)，

∴|cos<m，n>|=|m?n||m||n|=aa2+16×1=55，解得a=2，

∴m=(2,0,4)17.【答案】1；

(2e,+∞)．

【解析】(1)由題意可得，f′(x)=2x?ax，x>0，

設(shè)切點(diǎn)為(x0,x02?alnx0)，

則f′(x0)=2x0?ax0=1，則2x02?x0=a，

又x02?alnx0=x0，所以x02?(2x02?x0)lnx0=x0，

則x0?(2x0?1)lnx0=1，即x0?1?(2x0?1)lnx0=0，

設(shè)g(x)=x?1?(2x?1)lnx，x>0，

則g′(x)=1?2lnx?(2x?1)?1x=1x?2lnx?1，

因?yàn)楹瘮?shù)y=1x,y=?2lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，又g′(1)=0

則x∈(0,1)時(shí)，g′(x)>0；x∈(1,+∞)時(shí)，g′(x)<0，

所以函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

因?yàn)間(1)=0，所以x0=1，則a=2x02?x0=1．

(2)由f(x)=x2?alnx，x>0，則f′(x)=2x?ax=2x2?ax，

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，則f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)=2(x+18.【答案】x2=4y；

證明過(guò)程見(jiàn)解析，定值為4【解析】(1)易知拋物線C的焦點(diǎn)為(0,p2)，

因?yàn)闄E圓的方程為x24+y2=1，

所以a=2,b=1,c=3，

所以橢圓的右焦點(diǎn)為(3,0)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a=2，

因?yàn)閽佄锞€C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到橢圓右焦點(diǎn)的距離等于橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，

所以3+(p2)2=2，

解得p=2，

則拋物線C方程為x2=4y；

(2)證明：設(shè)過(guò)點(diǎn)P(0,?4)與拋物線C相切的直線方程為y=kx?4，

聯(lián)立y=kx?4x2=4y，消去y并整