第03講三角形中的“四心問題”與奔馳定理在平面向量中的應(yīng)用

內(nèi)容導(dǎo)航

串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點，有的放矢

重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺

舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升

復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破

知識點01三角形的重心

1、定義：三角形三條中線的交點為三角形的重心，重心為中線的三等分點；

2、重心的性質(zhì)：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．

②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等．

在平面向量的應(yīng)用：（1）設(shè)點G是△ABC所在平面內(nèi)的一點，則當(dāng)點G是△ABC的重心時，有

1

GAGBGC0或PG(PAPBPC)（其中P為平面內(nèi)任意一點）；

3

（2）在向量的坐標(biāo)表示中，若G、A、B、C分別是三角形的重心和三個頂點，且分別為G(x,y)、

xxxyyy

A(x,y)、B(x,y)，C(x,y)，則有G(123,123).

11223333

1

知識點02三角形的外心

1、定義：三角形三邊的垂直平分線的交點為三角形的外心，外心到三個頂點的距離相等；

2、外心的性質(zhì)：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在

三角形的外部．

③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而

一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．

3、外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．

在平面向量的應(yīng)用：若點O是△ABC的外心，則|OA||OB||OC|或

(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC0；

知識點03三角形的內(nèi)心

1、定義：三角形三個角的角平分線的交點為三角形的內(nèi)心

2、內(nèi)心的性質(zhì)：①三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等

②三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．

3、內(nèi)切圓

與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做

圓的外切三角形

在平面向量的應(yīng)用：若點I是△ABC的內(nèi)心，則有|BC|IA|CA|IB|AB|IC0

知識點04勾股定理證明

四、三角形的垂心

1.定義：三角形三邊上的高或其延長線的交點為三角形的垂心；

在平面向量的應(yīng)用：若H是△ABC的垂心，則HAHBHBHCHCHA或

222222

HABCHBACHCAB

知識點05勾股定理證明

一、奔馳定理

奔馳定理：是△內(nèi)一點，且，則

1.OABCSBOC:SCOA:SAOBx:y:z

2.奔馳定理推論：O是△ABC所在平面內(nèi)一點，且，則：

xOA