PAGE1專題07用空間向量研究夾角問(wèn)題內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：4大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01：用向量法求空間角1、用向量運(yùn)算求兩條直線所成角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則①②.2、利用空間向量求異面直線所成角的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，（2）求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)，（3）利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角，（4）結(jié)合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角．3、求兩條異面直線所成角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)（1）余弦值非負(fù)：兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值，而對(duì)應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角．（2）范圍：異面直線所成角的范圍是，故兩直線方向向量夾角的余弦值為負(fù)時(shí)，應(yīng)取其絕對(duì)值．知識(shí)點(diǎn)02：用向量運(yùn)算求直線與平面所成角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）知識(shí)點(diǎn)03：用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是鈍二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為鈍二面角（取負(fù)），則；【題型01：求異面直線所成角】一、單選題1．（24-25高二上·內(nèi)蒙古·期末）在直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)坐標(biāo)，代入余弦公式即可求得.【詳解】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)，則，，，，，.設(shè)直線與所成的角為，則，所以直線與所成角的余弦值為.故選：A2．（24-25高二上·湖北省直轄縣級(jí)單位·期末）已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)均相等，棱的中點(diǎn)為，則直線與直線所成的角的余弦值為（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出，，計(jì)算二者的數(shù)量積，即可得答案.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，由正三棱柱性質(zhì)知底面，底面，則，，又底面是等邊三角形，是中點(diǎn)，則．以為原點(diǎn)，，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)都為2，則，，，，∴，，則∴，即異面直線和成角的余弦值為0,故選：A.3．（24-25高二下·湖北·月考）在四面體中，，，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．-【答案】B【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出，根據(jù)異面直線夾角公式即可得到答案.【詳解】取BD的中點(diǎn)O，連接AO，OC，由，，得，且，在△AOC中，，故，又，平面，所以平面，以O(shè)B，OC，OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)異面直線AB與CD所成角為，則，即異面直線AB與CD所成角的余弦值為.故選：B.4．（24-25高二下·浙江杭州·期中）長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)分別是棱和的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面（包括邊界）移動(dòng)．若，則異面直線與所成角的余弦值的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式結(jié)合基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】在長(zhǎng)方體中，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)是的中點(diǎn)，所以.設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)異面直線與所成角為，因?yàn)楫惷嬷本€成角的范圍是，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，因此，異面直線與所成角的余弦值的最大值為.故選：A.5．（24-25高二下·福建寧德·期中）如圖，在四棱臺(tái)中，底面ABCD是菱形，平面，直線AC與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)建立適當(dāng)空間直角愛(ài)坐標(biāo)系求得兩直線方向向量，代入夾角公式即可計(jì)算求解.【詳解】取BC的中點(diǎn)，連接AF，則由題意可得,，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，所以，所以直線AC與直線所成角的余弦值為．故選：A【題型02：求直線與平面所成角】一、單選題1．（24-25高二下·福建龍巖·期中）若直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則l與所成的角為（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】由線面角的向量公式，求得正弦值，可得答案.【詳解】由題意可知與夾角的正弦值為，且?jiàn)A角的取值范圍為，則夾角為.故選：B.2．（24-25高二上·山東濟(jì)寧·月考）在四棱錐中，底面為正方形，底面分別為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，得出直線方向向量，利用線面角公式計(jì)算即可得.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，由分別為的中點(diǎn)，則，，則，，,設(shè)平面的法向量為，則，設(shè)，則，所以平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，.故選：C.3．（24-25高二上·廣西河池·月考）在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，E為棱的中點(diǎn)，則到平面的夾角余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建系標(biāo)點(diǎn)，求平面的法向量，利用空間向量求線面夾角.【詳解】底面ABCD為等腰梯形，，如圖，在底面ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為H，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)到平面的夾角為，則，可得，所以到平面的夾角余弦值為.故選：B．二、解答題4．（24-25高二下·廣東廣州·月考）如圖，在四棱錐中，三角形是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，，E為PD的中點(diǎn).(1)證明：平面PAB；(2)若，求直線CE與平面PBC的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）取PA中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B，通過(guò)證明可完成證明；（2）通過(guò)證明，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出平面平面PBC法向量，然后由空間向量知識(shí)可得答案.【詳解】（1）取PA中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B，則，且，從而四邊形為平行四邊形.則，又平面PAB，平面PAB，則平面PAB；（2）如圖取AD中點(diǎn)為O，連接OP，OB.因三角形是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，則.因，，則四邊形為平行四邊形，則，，結(jié)合，則，，結(jié)合，則為等邊三角形，得.又，，則，故.又，平面ADCB，則.故如圖建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系.則，因E為PD的中點(diǎn)，則.從而，，.設(shè)平面PBC法向量為，則，取，設(shè)直線CE與平面PBC的夾角為，則，從而.5．（24-25高二下·廣東深圳·期中）圖1是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)、分別在、上，且．將沿折起到的位置，連接、，如圖2，若．(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，且【分析】（1）利用勾股定理可證得，，利用線面垂直、面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面所成的角為，以為原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）翻折前，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，因?yàn)椋?，．由余弦定理得．因?yàn)?，所以，折疊后有．在四棱錐中，連接，如下圖所示：在中，，，，由余弦定理可得，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)椋?、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，故平面平?（2）翻折前，翻折后，則有，又平面，以為原點(diǎn)，以點(diǎn)、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，過(guò)作交于點(diǎn)，設(shè)，則，，，易知，，，所以.因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，所以，解得.所以，滿足，符合題意.所以在線段上存在點(diǎn)P，使直線與平面所成的角為，此時(shí).6．（24-25高二下·浙江杭州·期中）在三棱柱中，，平面平面.(1)證明：；(2)若，且與平面所成角為，求與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)或【分析】（1）根據(jù)面面垂直可得平面，結(jié)合平行關(guān)系即可得線線垂直；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合空間向量列式求，進(jìn)而可求線線夾角.【詳解】（1）因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，可得平面，且平面，則，又因?yàn)椤?，所?（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫嫫矫妫芍S所在直線包含于平面，且點(diǎn)在平面內(nèi)的投影落在直線上，則，設(shè)，則，可得，因?yàn)?，即，又因?yàn)榕c平面所成角為，且平面的法向量為，則，整理可得，聯(lián)立方程，解得或，若，則，可得，所以與所成角的余弦值為；若，則，可得，所以與所成角的余弦值為；綜上所述：與所成角的余弦值為或.【題型03：求二面角及平面與平面所成角】一、單選題1．（24-25高二上·廣東湛江·期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，若，則平面與平面夾角的余弦值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求解求解.【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，由，得，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，所以平面與平面夾角的余弦值.故選：D2．（24-25高二上·北京·月考）如圖，三棱錐中，，且平面與底面垂直，為中點(diǎn)，，則平面與平面夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又平面底面，平面底面平面，所以平面，故兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，可得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，得，得，則，則平面與平面夾角的余弦值為.故選：B二、解答題3．（24-25高二下·遼寧朝陽(yáng)·期中）如圖所示，平面，四邊形為矩形，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，通過(guò)證明面面平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出坐標(biāo)，利用法向量求空間中兩個(gè)面的夾角的余弦值，進(jìn)而得到正弦值.【詳解】（1）證明：四邊形為矩形，.又平面平面平面.又，平面，平面，∴平面.又平面平面平面.又平面平面.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即,令，解得,所以平面的一個(gè)法向量又是平面的一個(gè)法向量，，平面與平面所成角的正弦值為.4．（24-25高二下·甘肅白銀·期中）如圖，在四棱錐中，，，，，，．(1)證明：．(2)證明：平面．(3)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理及線面垂直的判定性質(zhì)推理得證.（2）連接，利用平行線分線段成比例定理及線面平行的判定推理得證.（3）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解.【詳解】（1）由，得，又，則是正三角形，，在中，，，即，于是，又，平面，則平面，而平面，所以.（2）連接，連接，由，得,由，得，于是，而平面，平面，所以平面.（3）由（1）知，，而，四邊形是梯形，即相交，因此平面，在平面內(nèi)作，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，于是，所以平面與平面夾角的余弦值為.5．（24-25高二下·福建莆田·期中）如圖所示，半圓柱與四棱錐拼接而成的組合體中，F(xiàn)是半圓弧上（不含B，C）的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)G為圓柱的一條母線，點(diǎn)A在半圓柱下底面所在平面內(nèi)，，．(1)求證：；(2)若平面ABE，求平面FOD與平面GOD夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）取弧中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得；（2）由數(shù)據(jù)求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面FOD與平面的法向量，利用面面角的向量求法求解．【詳解】（1）取弧中點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，連接，在中，，，則，于是，設(shè)，則，其中，，因此，即，所以．（2）由平面平面，得，又，則，而平面，則平面，即為平面的一個(gè)法向量，，由平面，得，又，解得，此時(shí)，設(shè)是平面的法向量，則，取，得，設(shè)是平面的法向量，則，取，得，則平面與平面夾角的余弦值為．6．（24-25高二上·江蘇常州·期中）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面平面.(1)證明：；(2)若二面角的大小為，求平面與平面的夾角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的判定定理得出平面，進(jìn)而得出平面，得出即可得證；（2）根據(jù)線面垂直建立空間直角坐標(biāo)系，得出平面與平面的法向量即可得出二面角的余弦，再結(jié)合同角關(guān)系得出正弦.【詳解】（1）過(guò)作垂足為，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，又面，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平?因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以即為二面角的平面角，即，所以為等腰直角三角形，，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以.所以.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，解得，所以.同理，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以.【題型04：空間角中的探索性問(wèn)題】一、解答題1．（24-25高二上·湖南永州·期末）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）根據(jù)面面角的向量求法可構(gòu)造方程求得長(zhǎng)，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，即.（2）設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量，，令，則，，；軸平面，平面的一個(gè)法向量，，即，解得：或（舍），即，當(dāng)時(shí)，平面與平面夾角的余弦值為.2．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，在三棱柱中，，，側(cè)面是正方形，為的中點(diǎn)，二面角的大小是．

(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為．若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，【分析】（1）先證明，得平面，即得平面平面；（2）先由題意取中點(diǎn)，證明平面，建系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，依題設(shè)，計(jì)算出平面的法向量，利用空間向量的夾角公式列出方程，求解即得.【詳解】（1）因是正方形，則,因,故.由,則.因,則平面，又平面,故平面平面.（2）

如圖，取的中點(diǎn)，連接,易得,因，故即二面角的平面角，即，易得,取中點(diǎn)，連接,過(guò)點(diǎn)作,交于，因,故得正三角形，則,由（1）得平面平面，且平面平面，平面，故得平面.因此可分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,依題意，設(shè),，則，因，設(shè)平面的法向量為，則，故可取.設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得或，因，故，即,故當(dāng)點(diǎn)是的一個(gè)四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為,此時(shí)3．（24-25高二下·甘肅天水·期中）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ABCD，，，，E為AB的中點(diǎn).(1)求平面EMC與平面MBC夾角的余弦值；(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使直線PE與平面MBC所成的角為?若存在，求出PE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意可得，利用線面垂直的性質(zhì)定理得到，建立如圖空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用空間向量法求解面面所成角即可；（2）設(shè)，則，由（2）知平面MBC的法向量，利用空間向量法求解線面角，即可判斷.【詳解】（1）連接DE，由四邊形ABCD是菱形，，所以為正三角形，又E是AB的中點(diǎn)，得，即，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，建立如圖空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，，，，，得，，，設(shè)平面、平面MBC的一個(gè)法向量分別為、，則，令，得，令，得，∴，，得，又平面與平面MBC的夾角為銳角，∴平面與平面MBC所成角的余弦值為；（2）設(shè)，則，且，由（2）知平面MBC的法向量為，設(shè)直線PE與平面MBC的所成角為，則，所以，解得，不符合題意，∴在線段AM上不存在點(diǎn)P，使直線PE與平面MBC的所成角為．4．（23-24高二上·安徽六安·期中）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為.(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在點(diǎn)，位于的中點(diǎn)處，證明見(jiàn)解析【分析】（1）作出輔助線，證明出四邊形是平行四邊形，所以，從而得到線面平行；（2）先根據(jù)面面垂直得到線面垂直，是四棱錐的高，設(shè)，根據(jù)體積求出，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由線面角得到方程，求出，得到答案.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，∵分別為的中點(diǎn)，，，∵底面四邊形是矩形，為棱的中點(diǎn)，，，，，故四邊形是平行四邊形，所以.又平面，平面，∴平面.

（2）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，在等邊中，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面平面，平面，則是四棱錐的高.設(shè)，則，矩形的面積，所以.以點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

故.設(shè)，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令得，，.由題意可得，整理得，解得或，又因?yàn)椋?，故存在點(diǎn)，位于的中點(diǎn)處滿足題意.5．（24-25高二上·北京·期中）圖1是邊長(zhǎng)為的正方形，將沿折起得到如圖2所示的三棱錐，且.(1)證明：平面平面；(2)棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，.【分析】（1）在圖1中，連接,交于點(diǎn),證明，推得平面，由線面垂直即可證明面面垂直即得；（2）依題建系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式列出方程，求解即得.【詳解】（1）如圖，在圖1中，連接,交于點(diǎn),因?yàn)檫呴L(zhǎng)是的正方形，則,在圖2中，則有,,又，則,即,因,故平面,又平面,故平面平面；（2）如圖，由（1）已得平面，且，則可以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，,假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，滿足,使得二面角的余弦值為，則,又,設(shè)平面的法向量為，則故可取，又平面的法向量可取為，，化簡(jiǎn)得：，解得或（舍去），故存在點(diǎn)，只需滿足，即棱上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為.6．（24-25高二下·四川內(nèi)江·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在等腰梯形中，，，將沿翻折至，使得平面平面.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)點(diǎn)在棱（不包含端點(diǎn)）上，且平面與平面所成角的余弦值為，求的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)余弦定理，求得，結(jié)合勾股定理，可證，又根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得出線面垂直，可證平面，根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）如圖建系，求得各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得，，坐標(biāo)，即可求得平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得線面角的正弦值；（3）先設(shè)，再計(jì)算二面角計(jì)算余弦值為，計(jì)算求參.【詳解】（1）由等腰梯形中，，過(guò)C做，交于，連接AC，如圖所示根據(jù)對(duì)稱性可得，，所以，可得，又由，所以，即，所以，即，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又由平面，所以平面平?（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸正方向建立空間坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，則，令，得一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；（3）點(diǎn)在棱（不包含端點(diǎn)）上，設(shè)，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋驗(yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則，則，令，得一個(gè)法向量，因?yàn)槠矫媾c平面所成角的余弦值為，所以，所以，計(jì)算得；所以，即得.7．（24-25高二下·江蘇泰州·期中）如圖1，在矩形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置（如圖2），使得.

(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)設(shè)，若二面角的正弦值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)或【分析】（1）在平面圖形中，先證，則折疊后，，，利用線面垂直的判定定理判定線面垂直.（2）根據(jù)兩兩垂直，故可以以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求直線與平面所成角的三角函數(shù)值.（3）先求平面的法向量，再求平面的法向量（用表示），根據(jù)二面角的正弦值求的值.【詳解】（1）在圖1中，連接，交于點(diǎn)，，.因?yàn)?，，，，且，所以，?因?yàn)椋?

所以圖2中，，，平面，所以平面.平面.所以.（2）又因?yàn)椋?，即，所?所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，取.設(shè)直線與平面所成的角為，則.（3）因?yàn)?，所以所以，?則，，，.設(shè)平面的法向量為，則，取.設(shè)平面的法向量為，則,取.設(shè)二面角為，由得：.即，整理得：，解得：或.一、單選題1．（24-25高二上·山東·月考）已知平面，的法向量分別為，，則平面，的夾角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩個(gè)平面的夾角公式，再利用兩個(gè)平面的夾角，即可求得結(jié)果.【詳解】由向量與，得，又，則，所以平面，的夾角的大小為．故選：C．2．（24-25高二上·青海西寧·月考）在正方體中，點(diǎn)，滿足，，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求異面直線所成的角的余弦值，再根據(jù)同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求其正弦值.【詳解】根據(jù)正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為4，則，，，，故，，故，則與所成角的正弦值為，故選：A3．（24-25高二上·福建福州·期中）在三棱錐中，平面BCD，，且，M為AD的中點(diǎn)，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫(huà)出四面體，建立坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值即可.【詳解】四面體是由正方體的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的，如下圖所示建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為因?yàn)楫惷嬷本€夾角的范圍為，所以異面直線BM與CD夾角的余弦值為故選：B4．（24-25高二上·江蘇無(wú)錫·期中）在正四棱柱中，，為棱的中點(diǎn)，為線段上的一點(diǎn)，且，則直線與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量法求解即可.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，所以，則，所以，即直線與直線所成角的余弦值為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.5．（24-25高二上·河北張家口·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在正四棱錐中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先利用向量法求，則得線線角.【詳解】連接交于，連接，由四棱錐是正四棱錐，則平面，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，不妨設(shè)，則，在中，，則，則，，則，由異面直線與所成角為銳角，所求余弦值為.故選：B.【點(diǎn)睛】6．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）如圖，四邊形，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角的大小在時(shí)，直線和所成角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，過(guò)點(diǎn)O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AB與CD所成角的余弦值的最大值．【詳解】取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，，則，且，于是是二面角的平面角，顯然平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，則，直線兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)二面角的大小為，，因此，，，于是，顯然，則當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量建立函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.二、解答題7．（2025·河南焦作·三模）如圖，在圓錐中，平面是軸截面，為底面圓周上一點(diǎn)（與不重合），為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，求平面與平面的夾角的大?。敬鸢浮?1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面，可得，結(jié)合，即可根據(jù)線面垂直的判定定理求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解兩個(gè)平面法向量，，利用向量的夾角求解.【詳解】（1）在圓錐中，平面，平面,所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，因?yàn)?，平面，所以平面．?）在平面內(nèi)，過(guò)作交于點(diǎn)，分別以直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．因?yàn)椋?，由?）知平面的一個(gè)法向量為．又，所以．設(shè)平面的法向量為，則取，則．所以，所以平面與平面的夾角為．8．（24-25高二下·江蘇南京·期中）如圖，在三棱柱中，是的中點(diǎn)，、均為邊長(zhǎng)為的正三角形，且.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、均為邊長(zhǎng)為的正三角形，所以，，且，同理可得，又因?yàn)?，故，所以，又因?yàn)?，、平面，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，由得，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.9．（24-25高二下·四川成都·期中）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側(cè)面底面，，且，分別為，的中點(diǎn)，(1)證明：平面；(2)若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，由幾何性質(zhì)得四邊形為平行四邊形，則，根據(jù)線面平行的判定定理證得結(jié)論；（2）取中點(diǎn)，連接，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解平面與平面的法向量，由向量夾角余弦公式從而得銳二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，為的中點(diǎn)，，，又∵，，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）取中點(diǎn)，連接，由，點(diǎn)為中點(diǎn)，可得因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，

，又，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，則，取，則，平面的一個(gè)法向量可取，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值.10．（24-25高二下·云南曲靖·期中）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面平面.(1)證明：；(2)若，，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）分別取，的中點(diǎn)，，連接、、，則可證，由空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化可證，從而可證；（2）在平面內(nèi)過(guò)作，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，如圖，則，，四邊形為平行四邊形，，由，得，又平面平面，平面平面，平面，平面，則平面，平面，，又為的中點(diǎn)，.（2）由（1）知，平面，平面，得，而，，，平面，則平面，又，則平面，在平面內(nèi)過(guò)作，則，直線，，兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，得，而，解得，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則即取，則，，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.11．（24-25高二下·浙江·期中）如圖1，在平面五邊形中，，且，，，，將沿折起，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，且，得到如圖所示的四棱錐.(1)求證:平面；(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【分析】（1）在中利用余弦定理求，證明為等邊三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，結(jié)合線面垂直判定定理及定義證明，再結(jié)合勾股定理證明，根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面與平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求結(jié)論.【詳解】（1）在題圖1的中，因?yàn)?，，由余弦定理得，連接，因?yàn)?，，，所以為正三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，可得，又，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，在中，，，所以，在中，可得，又，可得，所以，因?yàn)?，平面，所以平?（2）因?yàn)椋?，又平面，且平面，所以，，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成的角為，由題意可得為銳角，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.12．（24-25高二上·江蘇無(wú)錫·期中）在如圖所示的多面體中，四邊形為菱形，在梯形中，，平面⊥平面.(1)證明：；(2)若直線與平面所成的角為，點(diǎn)為中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值；(3)在（2）的條件下，試探究在棱(不含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，由此可得，結(jié)合可證明平面，從而可完成證明；（2）先確定直線與平面所成的角，然后建立合適空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出的坐標(biāo)，計(jì)算出向量夾角的余弦值即可求得結(jié)果；（3）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解出平面的一個(gè)法向量，直接取平面的一個(gè)法向量，根據(jù)法向量夾角余弦值的絕對(duì)值求解出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，且平面平面，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樗倪呅问橇庑危?，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（2）記，以為原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)平行于方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，因?yàn)槠矫妫灾本€與平面所成的角即為，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑危跃鶠榈冗吶切?，由條件可知，，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.（3）假設(shè)存在滿足要求，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，所以，取，則，所以，取平面的一個(gè)法向量為，所以，解得（舍去），所以的長(zhǎng)為.13．（24-25高二上·福建泉州·期中）如圖所示，在三棱錐中，平面，，，為中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)為上異于，的點(diǎn)，平面與平面夾角余弦值為，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明平面，從而得到，再結(jié)合條件證明平面，由此可證明；（2）建立合適空間直角坐標(biāo)系，分別求解出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)法向量夾角的余弦值求解出的坐標(biāo)，由此可求的值.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，且平面，所以，因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?（2）以為原點(diǎn)，分別以，過(guò)平行于方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，且，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，取，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，取，則，所以，所以，解得或（舍去）所以為中點(diǎn)，所以.14．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，.(1)證明：平面平面.(2)點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)點(diǎn)為線段上距離點(diǎn)長(zhǎng)度為的點(diǎn)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵平面的法向量，利用法向量相互垂直證明面面垂直即可.（2）利用線面垂直的判定定理證明平面，進(jìn)而求出面的法向量，再利用平面夾角的向量求法建立方程，求解參數(shù)，最后得到動(dòng)點(diǎn)位置即可.【詳解】（1）由題可得平面，且底面為菱形，則，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，又，在中，，解得，，，，，，則，，.設(shè)平面的法向量為，，即，令，解得，，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，，即，令，解得，，平面的一個(gè)法向量為.而，平面平面.（2）底面是菱形，，平面，且，平面，，.又，，平面，平面.平面，.