第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第一頁，共15頁。（優(yōu)選）第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第二頁，共15頁。顯然，若X與Y相互獨立則：Cov(X,Y)=03.計算協(xié)方差的一個簡單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得：證明：注：4.隨機變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系第三頁，共15頁。

若X1,X2,…,Xn兩兩獨立，上式化為：協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.為了克服這一缺點，對協(xié)方差進行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù)的概念。.問題：例如：第四頁，共15頁。稱為隨機變量二.相關(guān)系數(shù)1.定義2.量(無量綱)X,Y的相關(guān)系數(shù)，記為：即：2.相關(guān)系數(shù)的簡單性質(zhì)存在常數(shù)使得：X和Y以概率1線性相關(guān)第五頁，共15頁。由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知，對任意實數(shù)令，則上式為：證明：有：由于方差D(Y)是正的，故必有：所以證得：第六頁，共15頁。由方差與協(xié)方差協(xié)關(guān)系有：因此有：證明：存在常數(shù)使得：與是標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量，故其均值為0，方差為1第七頁，共15頁。由方差的性質(zhì)，可知:整理得：當(dāng)時有:為常數(shù)其中：第八頁，共15頁。同理，當(dāng)時也可推出此結(jié)論。因此得證。又所以：第九頁，共15頁。于是得：所以：即：注：X和Y獨立時，

但其逆不真.由于當(dāng)X和Y獨立時，Cov(X,Y)=0，故但并不一定能推出X和Y獨立。第十頁，共15頁。例1.設(shè)在上服從均勻分布，即：驗證：與是不相關(guān)的，但不是相互獨立的。證明：由已知，X,Y的邊緣概率密度為:與第十一頁，共15頁。又因為：顯然，所以：與是不獨立的所以：從而有：于是得：故得：是不相關(guān)的。奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為0第十二頁，共15頁。當(dāng)時，稱X與Y不相關(guān)。一般：故有：若X與Y相互獨立，則X與Y不相關(guān)；但反之不真。但對下述情形，獨立與不相關(guān)等價若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y相互獨立X與Y不相關(guān)1.2.注:相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.若考慮以X的線性函數(shù)a+bX來近似表示Y，以均方誤差來衡量以

a+bX近似表示Y的好壞程度。第十三頁，共15頁。則：e

值越小表示a+bX

與Y的近似程度越好.

現(xiàn)用微積分中求極值的方法，求出使e

達到最小時的a，b

：e=E{[Y-(a+bX)]2}

=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)