專題02立體幾何大題綜合歸類

內(nèi)容早知道

?第一層鞏固提升練

題型一：存在型證明與計算

題型二：翻折型證明與計算

題型三：投影型證明與計算

題型四：斜棱柱型垂線法建系與證明

題型五：斜棱柱型垂面法建系與證明

題型六：等角建系與證明

題型七：二面角機器延長線建系與證明

題型八：最值范圍型

題型九：特殊幾何體：臺體型

題型十：五面體等特殊幾何體

題型十一：動點型求角度最大（?。?/p>

題型十二：壓軸難題第19題

?第二層能力提升練

?第三層高考真題練

鞏固提升練

題型01存在型證明與計算

技巧積累與運用

?

用向量證明空間中的平行關(guān)系

(1)線線平行：設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.

(2)線面平行：設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.

(3)面面平行：設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2.

用向量證明空間中的垂直關(guān)系

(1)線線垂直：設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.

(2)線面垂直：設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.

(3)面面垂直：設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.

1．如圖，在三棱錐ABCD中，ACADBCBD23，ABCD4．

(1)證明：ABCD；

25

(2)在棱AB上是否存在點F（不與端點重合），使得直線AF與平面FCD所成角的正弦值為，若存在，

5

1

求出點F的位置，若不存在，請說明理由．

【答案】(1)證明見解析；(2)存在，點F位于棱AB上靠近點A或點B的四等分點處.

【分析】（1）取CD的中點E，連接AE,BE，易得AECD，BECD，根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)定理

證結(jié)論；（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AFAB0,0,4，01，利用向量法及線面角的正

弦值，列方程求參數(shù)，即可判斷存在性.

【詳解】（1）如圖，取CD的中點E，連接AE,BE，

因為ACADBCBD，所以AECD，BECD，

因為AEIBEE，AE，BE平面ABE，

所以CD平面ABE，又AB平面ABE，所以CDAB．

25

（2）存在點F，位于棱AB上靠近點A或點B的四等分點處，使直線AF與平面FCD所成角的正弦值為，

5

證明如下：如圖，因為ACADBCBD，易知△ACD△BCD，則AEBE，

取AB的中點G，連接GE，易知GEAB，又CD平面ABE，易知CD,GE,AB兩兩垂

直，以G為坐標(biāo)原點，分別以GE,GA所在直線為y軸，z軸，過點G作CD的平行線為x軸，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系．由題設(shè)，易得AE22，GE2，則A0,0,2，B0,0,2，C2,2,0，D2,2,0，

則AB0,0,4，DC4,0,0，設(shè)AFAB0,0,4，01，

則F0,0,24，故FC2,2,42，

nDC4x0

設(shè)平面FCD的法向量為nx,y,z，則，

nFC2x2y42z0

令z1，則n0,21,1，設(shè)直線AF與平面FCD所成角為，

AFn42513

則，解得或，

sincosAF,n2

AFn4211544

25

故在棱AB上存在點F，使得直線AF與平面FCD所成角的正弦值為，

5

此時點F位于棱AB上靠近點A或點B的四等分點處．

1

2．如圖，在三棱錐SABC中，SAABBC2，ABC60，SBA45，二面角SABC為直

2

二面角，M為線段SC的中點，點N在線段BC上（不含端點位置）.

BNBN

(1)若MN//平面SAB，求的值；(2)若AMSN，求的值；

CNCN

5BN

(3)若平面AMN與平面CMN所成銳二面角的余弦值為，求的值.

7CN

BNBN1BNBN

【答案】(1)1(2)(3)6或1

CNCN2CNCN

【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)可得MN//SB，再利用中位線的性質(zhì)即可得解；

（2）由題意結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得SA、AC、AB兩兩垂直，即可建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

BNBC01，即可表示出AM、SN，再利用空間向量數(shù)量積公式計算即可得，即可得解；

（3）表示出平面AMN與平面CMN的法向量后，結(jié)合空間向量夾角公式計算即可得，即可得解.

【詳解】（1）由MN//平面SAB，SB平面SAB平面SBC，MN平面SBC，

2

BN

故MN//SB，又M為線段SC的中點，故N為線段BC的中點，即1；

CN

1

（2）由SAAB2，則ASBSBA45，則SAAB，由ABBC2，ABC60，則

2

1

AC422222423，有AB2AC2BC2，故ACAB，

2

又二面角SABC為直二面角，故平面SAB平面ABC，由AB平面SAB平面ABC，SAAB，SA

平面SAB，故SA平面ABC，又AC平面ABC，故SAAC，

即有SA、AC、AB兩兩垂直，故可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，

有、S0,0,2、C0,23,0、B2,0,0、M0,3,1，即AM0,3,1、SB2,0,2、

BC?0,0,20,23,0，設(shè)BNBC01，則SNSBBC22,23,2，

1

若AMSN，則AMSN323120，解得，

3

1BN1

即BNBC，故；

3CN2

（3）AM0,3,1，MB2,3,1，CM0,3,1，則MNMBBC22,323,1，

設(shè)平面AMN與平面CMN的法向量分別為、，

AMm3yz0CMn3yz0

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