江西二診數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)

2.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2,3},則A∩B=？

A.{1}

B.{2}

C.{1,2}

D.{3}

3.若復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|等于？

A.1

B.√2

C.2

D.√3

4.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是？

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

5.拋擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率是？

A.0

B.1/2

C.1

D.3/4

6.已知等差數(shù)列{a?}的首項為1，公差為2，則第5項a?等于？

A.9

B.10

C.11

D.12

7.直線y=2x+1與x軸的交點坐標(biāo)是？

A.(0,1)

B.(1,0)

C.(-1/2,0)

D.(0,-1)

8.圓x2+y2=4的圓心坐標(biāo)是？

A.(0,0)

B.(2,0)

C.(0,2)

D.(2,2)

9.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，則？

A.a>0

B.a<0

C.b>0

D.c>0

10.已知三角形ABC的三邊長分別為3,4,5，則該三角形是？

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.等邊三角形

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有？

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2

D.f(x)=|x|

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=54，則該數(shù)列的公比q和首項a?分別為？

A.q=3,a?=2

B.q=3,a?=3

C.q=-3,a?=-2

D.q=-3,a?=-3

3.下列不等式中，成立的有？

A.log?(3)>log?(4)

B.23<32

C.arcsin(0.5)>arcsin(0.25)

D.tan(π/4)=1

4.若向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，則下列運算結(jié)果正確的有？

A.a+b=(4,6)

B.2a-b=(-1,0)

C.a·b=11

D.|a|=√5

5.關(guān)于圓x2+y2-4x+6y-3=0，下列說法正確的有？

A.圓心坐標(biāo)為(2,-3)

B.半徑為4

C.圓心到原點的距離為√13

D.該圓與x軸相交

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x2-mx+1在x=2時取得最小值，則實數(shù)m的值為________。

2.已知直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x-by+9=0互相平行，則a與b的關(guān)系為________。

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，a??=19，則該數(shù)列的公差d為________。

4.計算：lim(x→∞)(3x2-2x+1)/(x2+5x-3)=________。

5.若復(fù)數(shù)z=2-3i的共軛復(fù)數(shù)為z?，則z·z?的值為________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2^(x+1)-5*2^x+2=0。

2.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，求函數(shù)的極值點及對應(yīng)的極值。

3.計算不定積分：∫(x2+2x+1)/xdx。

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5。求角B的正弦值sinB。

5.將函數(shù)f(x)=sin(2x)+cos(2x)化為只含正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：對數(shù)函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域要求真數(shù)x-1大于0，即x>1，所以定義域為(1,+∞)。

2.C

解析：解方程x2-3x+2=0得(x-1)(x-2)=0，解得x=1或x=2，所以集合A={1,2}。A與B的交集為A∩B={1,2}中同時屬于A和B的元素，即{1,2}。

3.B

解析：復(fù)數(shù)z=1+i的模|z|=√(12+12)=√2。

4.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)可以利用和差化積公式化為√2sin(x+π/4)，其最小正周期為2π。

5.B

解析：拋擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面或反面的概率都是1/2。

6.C

解析：等差數(shù)列{a?}的通項公式為a?=a?+(n-1)d，其中a?=1，d=2，所以a?=1+(5-1)×2=11。

7.C

解析：直線y=2x+1與x軸相交時，y=0，代入得0=2x+1，解得x=-1/2，交點坐標(biāo)為(-1/2,0)。

8.A

解析：圓x2+y2=4的標(biāo)準(zhǔn)形式為(x-0)2+(y-0)2=22，圓心坐標(biāo)為(0,0)。

9.A

解析：二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口方向由二次項系數(shù)a決定，當(dāng)a>0時開口向上。

10.C

解析：根據(jù)勾股定理，32+42=52，所以三角形ABC是直角三角形。

二、多項選擇題答案及解析

1.AB

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。

A.f(x)=x3，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)。

B.f(x)=sin(x)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

C.f(x)=x2，f(-x)=(-x)2=x2≠-f(x)，不是奇函數(shù)。

D.f(x)=|x|，f(-x)=|-x|=|x|≠-f(x)，不是奇函數(shù)。

2.AD

解析：等比數(shù)列的通項公式為a?=a?q??1。由a?=a?q=6，a?=a?q3=54，得到a?q=6和a?q3=54。

將a?q=6代入a?q3=54得(6/q)q3=54，即6q2=54，解得q2=9，所以q=3或q=-3。

當(dāng)q=3時，a?=6/3=2，a?=2×33=2×27=54，符合條件。

當(dāng)q=-3時，a?=6/(-3)=-2，a?=(-2)×(-3)3=(-2)×(-27)=54，符合條件。

所以公比q為3或-3，首項a?為2或-2。

3.BCD

解析：

A.log?(3)<log?(4)因為3<4且對數(shù)函數(shù)y=log?(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

B.23=8，32=9，8<9，所以23<32成立。

C.arcsin(0.5)=π/6，arcsin(0.25)<π/6（因為sin(π/6)=0.5，sin(0)=0，0.25在0和0.5之間，反正弦函數(shù)在[-1,1]上單調(diào)遞增），所以arcsin(0.5)>arcsin(0.25)成立。

D.tan(π/4)=1，成立。

4.ABCD

解析：

A.a+b=(1,2)+(3,4)=(1+3,2+4)=(4,6)。

B.2a-b=2(1,2)-(3,4)=(2,4)-(3,4)=(2-3,4-4)=(-1,0)。

C.a·b=(1,2)·(3,4)=1×3+2×4=3+8=11。

D.|a|=√(12+22)=√(1+4)=√5。

5.CD

解析：將圓方程x2+y2-4x+6y-3=0配方得(x2-4x+4)+(y2+6y+9)=3+4+9，即(x-2)2+(y+3)2=16。

A.圓心坐標(biāo)為(2,-3)，正確。

B.半徑為√16=4，不正確，半徑是4。

C.圓心到原點的距離為√[(2-0)2+(-3-0)2]=√(4+9)=√13，正確。

D.令y=0，得(x-2)2+(-3)2=16，即(x-2)2=7，解得x=2±√7。所以圓與x軸相交于(2-√7,0)和(2+√7,0)，正確。

三、填空題答案及解析

1.4

解析：f(x)=x2-mx+1在x=2時取得最小值，說明x=2是二次函數(shù)的對稱軸，即x=-b/(2a)=-(-m)/(2×1)=m/2=2，解得m=4。

2.a=-9/b

解析：直線l?:ax+3y-6=0的斜率為-ax/3，直線l?:3x-by+9=0的斜率為3/b。兩直線平行，斜率相等且截距不相等，即-ax/3=3/b且-6≠9/b。解-ax/3=3/b得ax=-9/b，即a=-9/b（注意b≠0）。

3.1

解析：由a?=a?+4d=10，a??=a?+9d=19，兩式相減得(a?+9d)-(a?+4d)=19-10，即5d=9，解得d=9/5。將d=9/5代入a?=a?+4d=10得a?+4(9/5)=10，即a?+36/5=10，a?=10-36/5=50/5-36/5=14/5。則a?=a?+4d=14/5+4(9/5)=14/5+36/5=50/5=10?；蛘咧苯佑胊??-a?=5d得19-10=5d，即9=5d，d=9/5。

4.3

解析：lim(x→∞)(3x2-2x+1)/(x2+5x-3)=lim(x→∞)[3-2/x+1/x2]/[1+5/x-3/x2]=(3-0+0)/(1+0-0)=3。

5.13

解析：復(fù)數(shù)z=2-3i的共軛復(fù)數(shù)為z?=2+3i。z·z?=(2-3i)(2+3i)=22-(3i)2=4-9(-1)=4+9=13。

四、計算題答案及解析

1.解：令2^x=t，則原方程變?yōu)閠2-5t+2=0。

解一元二次方程得t=(5±√(25-8))/2=(5±√17)/2。

因為t=2^x>0，舍去t=(5-√17)/2（小于1）。

所以t=(5+√17)/2，即2^x=(5+√17)/2。

取對數(shù)得x=log?((5+√17)/2)。

另一個解t=(5-√17)/2<1，則2^x<1，x<0。

x=log?((5-√17)/2)。

所以解集為{x|x=log?((5+√17)/2)或x=log?((5-√17)/2)}。

2.解：f'(x)=3x2-6x。

令f'(x)=0得3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。

當(dāng)x<0時，f'(x)=3x(x-2)>0；當(dāng)0<x<2時，f'(x)=3x(x-2)<0；當(dāng)x>2時，f'(x)=3x(x-2)>0。

所以x=0是極大值點，x=2是極小值點。

f(0)=03-3(0)2+2=2，極大值為2。

f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2，極小值為-2。

3.解：∫(x2+2x+1)/xdx=∫(x+2+1/x)dx=∫xdx+∫2dx+∫1/xdx

=x2/2+2x+ln|x|+C。

4.解：由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)。

代入a=3,b=4,c=5得cosC=(32+42-52)/(2×3×4)=(9+16-25)/24=0/24=0。

因為0≤C≤π，所以C=π/2。

在直角三角形中，sin(π/2)=1。

所以sinB=1。

5.解：f(x)=sin(2x)+cos(2x)=√2[(1/√2)sin(2x)+(1/√2)cos(2x)]

=√2[sin(2x)cos(π/4)+cos(2x)sin(π/4)]（利用和角公式sin(A+B)）

=√2sin(2x+π/4)。

知識點總結(jié)

本試卷主要涵蓋了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論知識，包括：

1.函數(shù)部分：函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像，函數(shù)的求值和化簡。

2.集合部分：集合的表示、運算（交、并、補），集合關(guān)系的判斷。

3.復(fù)數(shù)部分：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、幾何意義、模、共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的運算。

4.數(shù)列部分：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式，數(shù)列的通項和求和。

5.解析幾何部分：直線方程、圓的方程、