第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年吉林省友好學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，(1+3i)(3?i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=3+i(其中i是虛數(shù)單位)，則(

)A.z的實(shí)部是2 B.z的虛部是2i C.z?=1+2i 3.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是5，則該正四棱錐的表面積為(

)A.3 B.12 C.8 D.4.已知向量a=(0,1)，b=(2,x)，若b⊥(b?4A.?2 B.?1 C.1 D.25.已知O(0,0)，A(2,0)，B(3,1)，則(OB?OAA.4 B.2 C.?2 D.?46.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方式估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，45×250+55×450+65×1150A.14 B.38 C.5127.如圖，在四邊形ABCD中，DC=2AB，BE=2EC，設(shè)DC=a，DA=bA.56a+12b B.28.演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是(

)A.中位數(shù) B.平均數(shù) C.方差 D.極差二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.近年來(lái)，我國(guó)人口老齡化持續(xù)加劇，為改善人口結(jié)構(gòu)，保障國(guó)民經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展，國(guó)家出臺(tái)了一系列政策，如2016年起實(shí)施全面兩孩生育政策，2021年起實(shí)施三孩生育政策等.根據(jù)下方的統(tǒng)計(jì)圖，下列結(jié)論正確的是(

)

A.2010至2022年每年新生兒數(shù)量的平均數(shù)高于1400萬(wàn)

B.2010至2022年每年新生兒數(shù)量的第一四分位數(shù)低于1400萬(wàn)

C.2015至2022年每年新生兒數(shù)量呈現(xiàn)先增加后下降的變化趨勢(shì)

D.2010至2016年每年新生兒數(shù)量的方差大于2016至2022年每年新生兒數(shù)量的方差10.一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論，其中正確的是(

)A.AB⊥EF

B.AB與CM所成的角為60°

C.EF與MN是異面直線

D.MN//平面ACD11.下列選項(xiàng)中，正確是(

)A.如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)任取兩條直線，兩直線平行

B.如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一平面平行

C.如果一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)銳角的兩邊分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)平面平行

D.如果一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為_(kāi)_____．13.已知正三棱柱的棱長(zhǎng)均為2，則其外接球體積為_(kāi)_____．14.已知向量a,b滿足，|a|=3,|b|=2,(2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC．

(1)求A的大??；

(2)若a=7，且頂點(diǎn)A到邊BC的距離等于15314，求b和16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)．

(1)求證：BD⊥平面PAC；

(2)若點(diǎn)F是棱AB的中點(diǎn)，求證：CF//平面PAE．17.(本小題15分)

隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)得他們的身高(單位：cm)，按照區(qū)間[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求頻率分布直方圖中x的值及身高在170cm及以上的學(xué)生人數(shù)；

(2)估計(jì)該校100名學(xué)生身高的75%分位數(shù)．18.(本小題17分)

本著健康、低碳的生活理念，租自行車(chē)騎游的人越來(lái)越多.某自行車(chē)租車(chē)點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車(chē)每次租車(chē)時(shí)間不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元(不足一小時(shí)的部分按一小時(shí)計(jì)算).有甲、乙兩人分別來(lái)該租車(chē)點(diǎn)租車(chē)騎游(各租一車(chē)一次)，設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車(chē)的概率分別為14，12；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車(chē)的概率分別為12，14；兩人租車(chē)時(shí)間互不影響且都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)．

(1)求甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用相同的概率；

(2)求甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用之和為19.(本小題17分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，

(1)求異面直線AB1

答案解析1.【答案】A

【解析】解：(1+3i)(3?i)=3?i+9i+3=6+8i，

則在復(fù)平面內(nèi)，(1+3i)(3?i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,8)，位于第一象限．

故選：A．

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．2.【答案】D

【解析】解：由(1?i)z=3+i，得z=3+i1?i=(3+i)(1+i)(1?i)(1+i)=2+4i1?i2=1+2i．

∴z的實(shí)部為1，虛部為2，z3.【答案】B

【解析】解：如圖所示：

在正四棱錐S?ABCD中，取BC中點(diǎn)E，連接SE，

則△SBE為直角三角形，又底面正方形邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是5，

∴SE=SB2?BE2=5?1=2，

∴4.【答案】D

【解析】解：a=(0,1)，b=(2,x)，

則b?4a=(2,x?4)，

b⊥(b?4a)，

則2×2+x(x?4)=(x?2)5.【答案】A

【解析】解：因?yàn)镺(0,0)，A(2,0)，B(3,1)，

所以O(shè)B?OA=(1,1)

則(OB?OA)?OB=(1,1)6.【答案】A

【解析】解：依題意在12組隨機(jī)數(shù)中三次投籃恰有兩次命中的有：137，271，436共3個(gè)，

所以該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率P=312=14．

故選：A7.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查平面向量基本定理，向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

由已知結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解．【解答】

解：因?yàn)镈C=a，DA=b，DC=2AB，

所以DB=DA+AB=8.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的定義，分析可得答案．

本題考查數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，關(guān)鍵是掌握數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的定義以及計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題．【解答】

解：根據(jù)題意，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分，

7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，最中間的一個(gè)數(shù)不變，即中位數(shù)不變，

故選：A．9.【答案】AC

【解析】解：對(duì)A選項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可知2010年到2019年每年新生兒數(shù)量都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)1400萬(wàn)，

只有2020，2021，2022三年每年新生兒數(shù)量略低于1400萬(wàn)，

故可看出2010至2022年每年新生兒數(shù)量的平均數(shù)高于1400萬(wàn)，∴A選項(xiàng)正確；

對(duì)B選項(xiàng)，∵13×14=3.25，∴第一四分位數(shù)為從小到大排列的第4個(gè)數(shù)據(jù)，

由圖可知從小到大排列的第4個(gè)數(shù)據(jù)為第2019年的新生兒數(shù)量，該數(shù)量大于1400萬(wàn)，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)C選項(xiàng)，由圖可知2015至2022年每年新生兒數(shù)量呈現(xiàn)先增加后下降的變化趨勢(shì)，∴C選項(xiàng)正確；

對(duì)D選項(xiàng)，由圖可知2010至2016年每年新生兒數(shù)量比較集中于平均數(shù)，

而2016至2022年每年新生兒數(shù)量相對(duì)平均數(shù)比較分散，

∴2010至2016年每年新生兒數(shù)量的方差小于2016至2022年每年新生兒數(shù)量的方差，∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：AC．

10.【答案】ACD

【解析】解：如圖所示，將平面圖形還原為立體圖形，

根據(jù)正方體的性質(zhì)，知EF⊥MC，MC/?/AB，故AB⊥EF，A正確，B錯(cuò)誤；

EF與MN是異面直線，C正確；

平面MNF//平面ACD，MN?平面MNF，MN/?/平面ACD，D正確．

故選：ACD．

將平面圖形還原為立體圖形，根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知MC/?/AB，AB⊥EF，A正確，B錯(cuò)誤，由立體圖形，知C正確，根據(jù)平面MNF//平面ACD得到D正確．

本題空間中直線與直線的位置關(guān)系以及線面平行問(wèn)題，屬于中檔題．11.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于A，如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面，故A不正確；

對(duì)于B，如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一平面平行，故B正確；

對(duì)于C，如果一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)銳角的兩邊分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)平面平行，故C正確；

對(duì)于D，如果一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行或者相交，故D不正確．

故選：BC．

根據(jù)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可．

本題主要考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判斷，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．12.【答案】310【解析】解：由題意，從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，基本事件總數(shù)C53=10，

甲、乙被選中，則從剩下的3人中選一人，包含的基本事件的個(gè)數(shù)C31=3，

根據(jù)古典概型及其概率的計(jì)算公式，甲、乙都入選的概率P=C31C53=13.【答案】28【解析】解：取三棱柱ABC?A′B′C′的兩底面中心O，O′，連結(jié)OO′，取OO′的中點(diǎn)D，連結(jié)BD

則BD為三棱柱外接球的半徑．

∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，O是△ABC的中心，

∴BO=233．

又∵OD=1，

∴BD=213．

∴三棱柱外接球的體積V=43π×B14.【答案】34【解析】解：由(2a+b)?b=1，得2a?b+|b|2=1，

有2a?b15.【答案】解：(1)由正弦定理，2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，

即a2=b2+c2+bc．

因?yàn)閏osA=b2+c2?a22bc=?bc2bc=?12，0<A<π，

所以A=2π【解析】(1)先利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求解；

(2)利用面積公式求出bc=15，聯(lián)立方程組可求答案．

本題考查正弦定理與余弦定理，考查三角形的面積公式及方程思想與化歸思想，屬于中檔題．16.【答案】證明：(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

所以PA⊥BD，

又因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，則BD⊥AC，PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，

所以BD⊥平面PAC．

(2)連接CF，AE，如圖所示：

因?yàn)镋，F(xiàn)分別為CD，AB的中點(diǎn)，

則AF//E且AF=CE，

所以四邊形AFCE為平行四邊形，所以AE/?/CF，

又AE?平面PAE，CF?平面PAE，

所以CF/?/平面PAE．

【解析】(1)由PA⊥平面ABCD，且底面ABCD為菱形，即可得到BD⊥平面PAC內(nèi)的兩條相交直線，則可證得BD⊥平面PAC；

(2)由E，F(xiàn)分別為中點(diǎn)，可得到CF/?/AE，則問(wèn)題即可得以證明．

本題主要考查線面垂直、線面平行的判定定理，考查推理能力，屬于中檔題．17.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可知：

5×(0.01+0.02+0.04+x+0.07)=1，

解得x=0.06，

(0.06+0.04+0.02)×5×100=60(人)，

即身高在170cm及以上的學(xué)生人數(shù)為60人；

(2)[180,185]的人數(shù)占比為5×0.02=10%，[175,180]的人數(shù)占比為5×0.04=20%，

∴該校100名生學(xué)身高的75%分位數(shù)落在[175,180]，

設(shè)該校100名生學(xué)身高的75%分位數(shù)為x，

則0.04(180?x)+0.1=25%，解得x=176.25，

故該校100名生學(xué)身高的75%分位數(shù)為176.25．

【解析】(1)由頻率和為1求出x的值，再計(jì)算身高在170

cm以上的學(xué)生人數(shù)；

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合分位數(shù)公式，即可求解．

本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)，考查了百分位數(shù)的計(jì)算，屬于中檔題．18.【答案】解：(1)甲、乙兩人租車(chē)時(shí)間超過(guò)三小時(shí)不超過(guò)四小時(shí)的概率分別為1?14?12=14，1?12?14=14；

租車(chē)費(fèi)用相同可以分為租車(chē)費(fèi)用都為0元、2元、4元三種情況，

都付費(fèi)0元的概率為P1=14×12=18；

都付費(fèi)2元的概率為P2=12×14=18；

都付費(fèi)4元的概率為P3=【解析】(1)先求出甲、乙兩人租車(chē)時(shí)間超過(guò)三小時(shí)不超過(guò)四小時(shí)的概率，分析可得租車(chē)費(fèi)用相同可以分為租車(chē)費(fèi)用都為0元、2元、4元三種情況，利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理以及相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求解即可；

(2)兩人的租車(chē)費(fèi)用