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正態(tài)分布課標闡釋思維脈絡1.了解正態(tài)曲線和正態(tài)分布的概念.2.認識正態(tài)曲線的特點及曲線所表示的意義.3.會根據(jù)正態(tài)曲線的性質求隨機變量在某一區(qū)間范圍內的概率.

曲線,簡稱正態(tài)曲線.正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定,常記作N(μ,σ2).如果隨機變量X服從正態(tài)分布,記作X~N(μ,σ2),那么X的均值

EX=μ,方差DX=σ2(σ>0).2.正態(tài)曲線的性質(1)曲線在x軸上方,與x軸不相交.(2)曲線關于直線x=μ對稱.(4)曲線與x軸之間的面積是1.知識梳理

3.正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內取值的概率P(μ-σ<X<μ+σ)=68.3%;P(μ-2σ<X<μ+2σ)=95.4%;P(μ-3σ<X<μ+3σ)=99.7%.通常服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率只有0.3%.名師點撥1.正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定,因此可把正態(tài)分布記作N(μ,σ2).2.要正確理解μ,σ的含義.若X~N(μ,σ2),則EX=μ,DX=σ2,即μ為隨機變量X取值的均值,σ2為其方差.3.若X是一個服從正態(tài)分布的隨機變量,則對任意的常數(shù)a>0及b,隨機變量aX+b也服從正態(tài)分布.【做一做1】

若隨機變量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ≤c)=P(ξ>c),則c的值為(

)

A.0 B.μ C.-μ D.σ解析由正態(tài)分布密度曲線的性質知:曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱,其概率為圖像與x軸以及垂直于x軸的直線所圍成的圖形的面積,則有c=μ.答案B答案:B思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.(1)標準正態(tài)分布的均值與標準差分別為0和1.(

)(2)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布,參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值,σ是正態(tài)分布的標準差.(

)(3)如果一個隨機變量是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和,那么它就服從或近似服從正態(tài)分布.(

)(4)把一條正態(tài)曲線C1沿著橫軸方向向右移動2個單位長度,得到一條新的曲線C2,以曲線C2為概率密度曲線的總體的方差比以曲線C1為概率密度曲線的總體的方差大2.(

)答案(1)√

(2)√

(3)√

(4)×探究一探究二探究三思維辨析

【例1】

下圖中分別是甲、乙、丙三種品牌石英鐘時間誤差分布的正態(tài)密度曲線,則下列說法不正確的是(

)A.三種品牌的石英鐘時間誤差的均值相等B.時間誤差的均值從大到小依次為甲、乙、丙C.時間誤差的方差從小到大依次為甲、乙、丙D.三種品牌的石英鐘中甲品牌的質量最好當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析解析正態(tài)曲線中的參數(shù)μ,σ分別表示隨機變量的均值和標準差.由圖像可知甲、乙、丙三種曲線的對稱軸相同,故它們的時間誤差的均值相等,A正確,B錯誤;再根據(jù)圖像的扁平與尖陡情況可以判斷它們的標準差從小到大依次為甲、乙、丙,這也說明甲品牌偏離均值的離散程度較小,所以甲品牌的質量最好,故C,D正確.答案B當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析反思感悟

利用正態(tài)曲線的性質可以求參數(shù)μ,σ(1)正態(tài)曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱,由此性質結合圖像可求μ.且①當σ一定時,曲線隨μ的變化沿x軸平移;②當μ一定時,曲線形狀由σ確定:σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體分布越分散.(3)由σ的大小區(qū)分曲線的胖瘦.當堂檢測變式訓練

1如圖為μ=0,σ取三個不同值σ1,σ2,σ3的正態(tài)曲線,則σ1,σ2,σ3的大小關系是(

)A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析答案:D當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析【例2】在某次大型考試中,某班同學的成績服從正態(tài)分布N(80,52),現(xiàn)已知該班同學中成績在80~85分的有17人.試計算該班成績在90分以上的同學有多少人.分析本題主要考查正態(tài)分布及其應用,解題關鍵是要記住正態(tài)總體取值在區(qū)間(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)內的概率,將所給問題轉化為上述區(qū)間內解決,同時要注意對稱性的運用和數(shù)形結合思想的應用.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析解依題意,由80~85分的同學的人數(shù)和所占百分比求出該班同學的總數(shù),再求90分以上同學的人數(shù).∵成績服從正態(tài)分布N(80,52),∴μ=80,σ=5,μ-σ=75,μ+σ=85.于是成績在(75,85]內的同學占全班同學的68.3%.由正態(tài)曲線的對稱性知,成績在(80,85]內的同學占全班同學的設該班有x名同學,則x·34.15%=17,解得x≈50.又μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90,當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析∴成績在(70,90]內的同學占全班同學的95.4%.∴成績在(80,90]內的同學占全班同學的47.7%.∴成績在90分以上的同學占全班同學的50%-47.7%=2.3%.即有50×2.3%≈1(人),即成績在90分以上的同學僅有1人.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析反思感悟

服從正態(tài)分布的概率的求法(1)正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定,其中μ是隨機變量取值的均值,可用樣本均值去估計,σ是隨機變量取值的標準差,可以用樣本標準差去估計.(2)求正態(tài)總體X在某區(qū)間內取值的概率(即正態(tài)曲線與x軸之間在這個區(qū)間上的面積)的基本方法.①利用正態(tài)分布的三個常數(shù)數(shù)據(jù),把所求的問題轉化為X落在區(qū)間(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)內的概率分別是68.3%,95.4%,99.7%求解.②充分利用正態(tài)曲線的對稱性及面積為1的性質.正態(tài)曲線關于直線x=μ對稱,從而在關于直線x=μ對稱的區(qū)間上概率相等.在利用對稱性轉化區(qū)間時,要注意區(qū)間是關于直線x=μ對稱,而不是關于x=0(μ≠0時)對稱.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析變式訓練2設X~N(1,22),試求:(1)P(-1<X<3);(2)P(3<X<5);(3)P(X≥5).解:∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.(1)P(-1<X<3)=P(1-2<X<1+2)=P(μ-σ<X<μ+σ)=68.3%.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析【例3】有一種精密零件,其尺寸X(單位:mm)服從正態(tài)分布,即X~N(20,4).若這批零件共有5000個.試求:(1)這批零件中尺寸在18mm~22mm間的零件所占的百分比.(2)若規(guī)定尺寸在24mm~26mm間的零件不合格,則這批零件中不合格的零件大約有多少個?分析解答此題需先確定μ,σ以及所給區(qū)間與μ,σ之間的關系.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析解:(1)∵X~N(20,4),∴μ=20,σ=2.∴μ-σ=18,μ+σ=22.于是零件尺寸X在18

mm~22

mm間的零件所占百分比大約是68.3%.(2)∵μ-3σ=20-3×2=14,μ+3σ=20+3×2=26,μ-2σ=16,μ+2σ=24,∴零件尺寸X在14

mm~26

mm間的百分比大約是99.7%,而零件尺寸在16

mm~24

mm間的百分比大約是95.4%.∴零件尺寸在24

mm~26

mm間的百分比大約是

=2.15%.因此尺寸在24

mm~26

mm間的大約有5

000×2.15%≈108(個).當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析反思感悟1.在實際應用題中,通常認為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之間的值,并簡稱為3σ原則.2.正態(tài)總體幾乎總取值于區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)之內,而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.3%,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生,這是統(tǒng)計中常用的假設檢驗方法的基本思想.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析變式訓練3在一次數(shù)學考試中,某班學生的分數(shù)ξ服從正態(tài)分布N(110,202),且滿分為150分,這個班的學生共54人,求這個班在這次數(shù)學考試中,及格(大于90分)的人數(shù)和不低于130分的人數(shù).解:因為ξ~N(110,202),所以μ=110,σ=20,所以P(110-20<ξ<110+20)=68.3%,P(ξ>90)=P(ξ≥130)+P(110-20<ξ<110+20)=68.3%+15.85%=84.15%,所以及格的有54×84.15%≈45(人),不低于130分的有54×15.85%≈9(人).當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析因不注意結合圖形而致誤【典例】

隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=84.13%,求P(-1<ξ≤0).易錯分析對于隨機變量ξ~N(μ,σ2),若其以直線x=μ為對稱軸,應結合圖形,利用對稱性求解,否則容易出錯.解:如圖所示,因為P(ξ≤1)=84.13%,所以P(ξ>1)=1-84.13%=15.87%.所以P(ξ≤-1)=15.87%,所以P(-1<ξ≤0)=50%-15.87%=34.13%.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析糾錯心得1.求解時,要注意結合圖形對稱性,不要錯解為P(-1<ξ≤0)=1-P(ξ≤1)=15.87%.2.針對μ=0的正態(tài)分布,求某區(qū)間上的取值概率時常利用如下兩個公式:(1)P(X<-x0)=1-P(X≤x0);(2)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析變式訓練佛山某學校的功能室統(tǒng)一使用“佛山照明”的一種燈管,已知這種燈管使用壽命ξ(單位:月)服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且使用壽命不少于12個月的概率為80%,使用壽命不少于24個月的概率為20%.(1)求這種燈管的平均使用壽命μ;(2)假設一間功能室一次性換上4支這種新燈管,使用12個月時進行一次檢查,將已經(jīng)損壞的燈管換下(中途不更換),求至少有兩支燈管需要更換的概率.當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析解:(1)∵ξ~N(μ,σ2),P(ξ≥12)=80%,P(ξ≥24)=20%,∴P(ξ<12)=20%,顯然P(ξ<12)=P(ξ≥24).由正態(tài)分布密度函數(shù)的對稱性可知,即這種燈管的平均使用壽命是18個月.(2)每支燈管使用12個月時已經(jīng)損壞的概率為1-0.8=0.2,假設使用12個月時該功能室需要更換的燈管數(shù)量為η支,則η~B(4,0.